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張賀珍

【摘 要】由于傳統(tǒng)的理論證明兩角和的正弦公式對(duì)于中職學(xué)生來(lái)說(shuō)理解難度過(guò)大，本文重點(diǎn)闡述如何開(kāi)展折紙活動(dòng)來(lái)證明兩角和的正弦公式，配以圖形及操作方法，以便于同仁應(yīng)用教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】折紙；中職數(shù)學(xué)；兩角和的正弦公式

兩角和的正弦公式是高中階段三角函數(shù)中其中一個(gè)公式，該公式的證明需要借助向量的數(shù)量積來(lái)進(jìn)行，總的來(lái)說(shuō)這樣的理論證明對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)極其薄弱的中職學(xué)生來(lái)說(shuō)是巨大的挑戰(zhàn)，很多學(xué)生都是云里來(lái)霧里去，完全無(wú)法聽(tīng)懂，因此對(duì)于這個(gè)公式大多中職數(shù)學(xué)教師都會(huì)省去證明這一塊，直接教學(xué)生如何去應(yīng)用這個(gè)公式，盡管教師也知道這樣并不好，但是卻也沒(méi)有更好的選擇。

筆者一直覺(jué)得這是一種缺憾教學(xué)，因此不間斷地尋找適合中職學(xué)生理解的方法進(jìn)行該公式的證明。一次偶然的機(jī)會(huì)筆者有幸在西南大學(xué)黃燕蘋(píng)教授的引領(lǐng)下接觸了折紙數(shù)學(xué)。我們知道活動(dòng)教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀(guān)察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力，而折紙又是學(xué)生容易產(chǎn)生興趣的活動(dòng)。這個(gè)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)讓我豁然開(kāi)朗，也許我可以通過(guò)開(kāi)展折紙活動(dòng)，來(lái)帶領(lǐng)中職的學(xué)生體驗(yàn)并證明兩角和的正弦公式。

由此我開(kāi)始思考怎樣開(kāi)展折紙教學(xué)探究活動(dòng)，從而利用折紙證明兩角和的正弦公式：

探究1：如何通過(guò)折紙表示sinα，cosα，sinβ ，cosβ

【思路】若一個(gè)直角三角形的斜邊是1，則它的直角邊可以用銳角的正弦值或余弦值表達(dá)。

操作1：如圖1-1可以折出一個(gè)直角三角形，我們可以假設(shè)ON=1，展開(kāi)后如圖1-2。

操作2：設(shè)∠AON=α，則AN=sinα、AO=cosα.

操作3：仿照操作1折出一個(gè)新的直角三角形，但要保證新直角三角形的斜邊長(zhǎng)度與前面的直角三角形的斜邊長(zhǎng)度一致，這時(shí)我們可以仿照操作2得到的線(xiàn)段表達(dá).

探究2：如何在一張矩形折紙中折出4個(gè)斜邊相等的直角三角形。

將原矩形紙張的邊緣在另一張較大的紙上畫(huà)出兩個(gè)，然后將剪下的四個(gè)直角三角形【假定它們的斜邊均為1】按照一定的規(guī)則拼在矩形框圖中（如圖3-1、3-2），容易得到兩個(gè)圖中空白處的面積相等。（我們?cè)O(shè)四個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)均為1，在圖中規(guī)定出角α、β）

這部分內(nèi)容由老師引導(dǎo)出來(lái)【借由勾股定理的折紙證明引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比思考】

這是一次教學(xué)實(shí)踐，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)折紙活動(dòng)很感興趣，同時(shí)他們也通過(guò)折紙回顧了初中相關(guān)的幾何知識(shí)，學(xué)生普遍反應(yīng)他們通過(guò)這次折紙所用到的幾何知識(shí)給了他們很大的震撼，原來(lái)幾何還有這么活潑的一面，尤其是在最后通過(guò)拼圖證明出兩角和的正弦公式時(shí)，學(xué)生甚至發(fā)出了驚呼聲。

通過(guò)折紙活動(dòng)證明兩角和的正弦公式既有其優(yōu)點(diǎn)，也有其缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)是：①學(xué)生能夠體驗(yàn)理論到實(shí)踐的操作過(guò)程，增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，讓學(xué)生看到不一樣的數(shù)學(xué)。②折紙可以讓兩角和的正弦公式很直觀(guān)的表現(xiàn)出來(lái)，對(duì)中職學(xué)生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)特別容易。③折紙教學(xué)可以有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的能力。缺點(diǎn)是：①通過(guò)折紙折出的α，β只能是銳角，對(duì)于超出銳角范圍的角無(wú)法證明。②折紙活動(dòng)需要的時(shí)間跨度大，也需要對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，很多中職學(xué)校的數(shù)學(xué)周課時(shí)很少，這會(huì)讓很多中職老師難以用幾周的時(shí)間去開(kāi)展折紙活動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃燕蘋(píng)，李秉彝.《折紙與數(shù)學(xué)》.科學(xué)出版社，2012

[2]黃秦安.《數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀(guān)和數(shù)學(xué)教育觀(guān)》[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004年11月，第13卷第4期.