用折紙探索兩角和正弦公式的證法

張賀珍

【摘 要】由于傳統的理論證明兩角和的正弦公式對于中職學生來說理解難度過大，本文重點闡述如何開展折紙活動來證明兩角和的正弦公式，配以圖形及操作方法，以便于同仁應用教學。

【關鍵詞】折紙；中職數學；兩角和的正弦公式

兩角和的正弦公式是高中階段三角函數中其中一個公式，該公式的證明需要借助向量的數量積來進行，總的來說這樣的理論證明對于數學知識極其薄弱的中職學生來說是巨大的挑戰，很多學生都是云里來霧里去，完全無法聽懂，因此對于這個公式大多中職數學教師都會省去證明這一塊，直接教學生如何去應用這個公式，盡管教師也知道這樣并不好，但是卻也沒有更好的選擇。

筆者一直覺得這是一種缺憾教學，因此不間斷地尋找適合中職學生理解的方法進行該公式的證明。一次偶然的機會筆者有幸在西南大學黃燕蘋教授的引領下接觸了折紙數學。我們知道活動教學可以培養學生的動手能力、觀察能力、想象能力和創造性思維能力，而折紙又是學生容易產生興趣的活動。這個學習機會讓我豁然開朗，也許我可以通過開展折紙活動，來帶領中職的學生體驗并證明兩角和的正弦公式。

由此我開始思考怎樣開展折紙教學探究活動，從而利用折紙證明兩角和的正弦公式：

探究1：如何通過折紙表示sinα，cosα，sinβ ，cosβ

【思路】若一個直角三角形的斜邊是1，則它的直角邊可以用銳角的正弦值或余弦值表達。

操作1：如圖1-1可以折出一個直角三角形，我們可以假設ON=1，展開后如圖1-2。

操作2：設∠AON=α，則AN=sinα、AO=cosα.

操作3：仿照操作1折出一個新的直角三角形，但要保證新直角三角形的斜邊長度與前面的直角三角形的斜邊長度一致，這時我們可以仿照操作2得到的線段表達.

探究2：如何在一張矩形折紙中折出4個斜邊相等的直角三角形。

將原矩形紙張的邊緣在另一張較大的紙上畫出兩個，然后將剪下的四個直角三角形【假定它們的斜邊均為1】按照一定的規則拼在矩形框圖中（如圖3-1、3-2），容易得到兩個圖中空白處的面積相等。（我們設四個三角形的斜邊長均為1，在圖中規定出角α、β）

這部分內容由老師引導出來【借由勾股定理的折紙證明引導學生進行類比思考】

這是一次教學實踐，在實踐中發現學生對折紙活動很感興趣，同時他們也通過折紙回顧了初中相關的幾何知識，學生普遍反應他們通過這次折紙所用到的幾何知識給了他們很大的震撼，原來幾何還有這么活潑的一面，尤其是在最后通過拼圖證明出兩角和的正弦公式時，學生甚至發出了驚呼聲。

通過折紙活動證明兩角和的正弦公式既有其優點，也有其缺點。優點是：①學生能夠體驗理論到實踐的操作過程，增強了學生的動手能力，讓學生看到不一樣的數學。②折紙可以讓兩角和的正弦公式很直觀的表現出來，對中職學生來說理解起來特別容易。③折紙教學可以有效提升學生學習數學、理解數學的能力。缺點是：①通過折紙折出的α，β只能是銳角，對于超出銳角范圍的角無法證明。②折紙活動需要的時間跨度大，也需要對初中的數學知識進行靈活運用，很多中職學校的數學周課時很少，這會讓很多中職老師難以用幾周的時間去開展折紙活動。

參考文獻：

[1]黃燕蘋，李秉彝.《折紙與數學》.科學出版社，2012

[2]黃秦安.《數學教師的數學觀和數學教育觀》[J].數學教育學報，2004年11月，第13卷第4期.