旋轉穩定二維彈道修正彈在固定舵作用下的角運動特性研究

吳映鋒， 鐘揚威， 王良明

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094; 2.63961部隊, 北京 100012; 3.中國航天科工集團公司 第九總體設計部， 湖北 武漢 430040)

旋轉穩定二維彈道修正彈在固定舵作用下的角運動特性研究

吳映鋒1,2， 鐘揚威1,3， 王良明1

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094; 2.63961部隊, 北京 100012; 3.中國航天科工集團公司 第九總體設計部， 湖北 武漢 430040)

為研究旋轉穩定二維彈道修正彈在固定舵作用下的攻角及速度運動特性，建立了復數形式的角運動方程。推導了固定舵勻速轉動時攻角的強迫運動解及固定舵產生階躍激勵時攻角的瞬態、穩態響應解析解；推導了有控時平均速度偏角的解析解，導出了平均偏角的幅值和相位角與固定舵參數的關系；提出了旋轉穩定二維彈道修正彈在固定舵作用下的飛行穩定性條件。結果表明：二維彈道修正彈無控時應避免共振，有控時應限制攻角最大增量及平衡攻角幅值；有控時平均偏角的相位角較固定舵滾轉角提前一個前置角。研究結果對旋轉穩定二維彈道修正彈的飛行穩定性設計及制導方法研究提供了參考。

兵器科學與技術； 二維彈道修正彈； 角運動； 飛行穩定性； 共振； 響應譜

0 引言

隨著精確打擊作戰理念地應用，使得對常規彈藥的制導化改造成為了一種發展方向。安裝固定舵的修正引信由于其低成本、小體積、通用化等優點，使其在常規彈丸的制導化改造中極具優勢。

二維彈道修正彈的固定舵與修正引信體采用軸承連接，無控階段固定舵低速旋轉，修正階段相對地面固定在某一角度，使得彈丸的動力學特性不同于傳統彈丸。國內外一些學者對這方面進行了研究，取得較多成果。文獻[1-2]建立了該類彈丸的角運動方程，研究了其飛行穩定性和在脈沖力作用下的運動特性。文獻[3]推導了彈丸的飛行穩定性條件，并討論了不同系數對穩定性的影響。文獻[4-5]分別研究了彈丸在重力和控制力作用下的動態響應特性、強迫運動特性等問題。文獻[6]研究了固定舵勻速轉動和固定舵靜止時彈丸的動力學特性，并給出了彈丸飛行穩定性判據。文獻[7]采用霍爾維茨判據建立了彈丸的飛行穩定性判據。文獻[8]采用小擾動理論建立了彈丸的飛行穩定性判據。文獻[9-10]分別分析了靜穩定二維彈道修正彈的穩定特性和共振特性。由于彈體高速旋轉的陀螺效應，固定舵對彈丸的攻角及速度的影響比靜穩定彈復雜的多，這些影響是二維彈道修正彈的關鍵技術—飛行穩定性設計及修正原理研究的基礎，而目前這些方面的研究較少。

本文擬對固定舵作用下彈丸的攻角及速度運動特性展開研究。首先建立了在固定舵作用下的彈丸角運動方程；然后求解了彈丸無控飛行時的強迫運動解；其次推導了有控飛行時的瞬態、穩態角運動及平均偏角的解析解，得到了平均偏角的幅值與相位角的解析解；最后提出了彈丸無控飛行時應避免共振，有控飛行時應限制攻角瞬態響應的最大值，同時還應限制平衡攻角等飛行穩定性條件。

1 二維彈道修正彈角運動方程

1.1 彈丸在準彈體坐標系中的動力學方程

根據質心運動定理，推導出二維彈道修正彈在準彈體坐標系中質心運動的動力學方程為

(1)

式中：m為彈丸質量；vx4、vy4、vz4為彈丸速度矢量在準彈體坐標系上的分量；ωytan ?、ωy、ωz為準彈體坐標系的轉動角速度，?為俯仰角；Fx4、Fy4、Fz4為彈丸受到的合力在準彈體坐標系下的分量。

根據動量矩定理，可推導出二維彈道修正彈在準彈體坐標系中繞質心轉動的動力學方程為

(2)

式中：ωfx、ωax分別為固定舵和彈身的轉動角速度；Ifx、Iax分別為固定舵和彈身的極轉動慣量；Iy為全彈的赤道轉動慣量；Mfx、Max、My、Mz分別為固定舵和彈身在準彈體坐標系各軸上受到的力矩。

1.2 彈丸角運動方程

如圖1所示，從速度矢量v上取距離原點O單位長度的一點R，過點R作平行于Oy4軸的線段為實軸，其正向與Oy4軸一致。再過R作平行于Oz4軸的線段為虛軸，其正向與Oz4軸相反。由實軸和虛軸可構成一復平面，彈軸與該平面的交點為B，定義復攻角為Δ，其大小和方向分別為矢量RB的大小和方向。

圖1 攻角的幾何描述Fig.1 Geometrical description of angle of attack

由圖1可得

(3)

式中：α為攻角；β為側滑角。

下面略去準彈體坐標系較小的軸向分量ωytan ?，將其視為非滾轉坐標系，推導彈丸的角運動方程。

將(1)式的第2、第3個方程的自變量改為彈道弧長s并除以v2，得

(4)

將(4)式中第2個方程乘以虛數單位i，并與第1個方程相加，得

(5)

(6)

將(2)式的第3、第4個方程的自變量也改為弧長s，并除以v2，得

(7)

將(7)式的第2個方程乘以虛數i，并與第1個方程相加，得

(8)

(9)

將(8)式、(9)式合并，得到復數形式的橫向轉動方程：

(10)

復數方程中相關的力和力矩也應該表示為復數形式。在不考慮風的影響下，將彈丸上的作用力和力矩投影到準彈體坐標系中，寫成復數形式如表1所示。

表1 氣動力與力矩的復數形式

表1中：CD、CLα、CNpα、CMα、CMq、CMpα分別為彈丸的阻力系數、升力系數導數、馬格努斯力系數導數、靜力矩系數導數、赤道阻尼力矩系數導數、馬格努斯力矩系數導數；CNδ、CMδ分別為固定舵的升力系數和俯仰力矩系數對固定舵安裝角δz的導數；S、l、d分別為彈丸的參考面積、參考長度、參考直徑；ρ為空氣密度。

將復數形式的力和力矩代入到彈丸橫向運動方程的復數方程，并用“′”表示對弧長s的導數，得

(11)

(12)

將(11)式對弧長s求一次導，得

(13)

由(12)式得到μ′的表達式，并代入到(13)式，得

(14)

(15)

1.3 角運動方程解的形式

采用緩變系數法，角運動方程(15)式為2階常系數非齊次線性微分方程。由常系數線性微分方程理論知，方程(15)的解由齊次解和非齊次解疊加而成。齊次解表示初始條件引起的運動，非齊次解表示由強迫因素造成的運動。因此，二維彈道修正彈角運動方程的解可分成3部分：齊次方程的通解Δ1、重力產生的動力平衡角Δp和由固定舵產生的角運動Δc. 前兩個解在文獻[2-3,6,11] 中都有論述，本文重點討論第3個解Δc.

在固定舵作用下，非齊次角運動方程為

(16)

二維彈道修正彈在飛行時，固定舵大致處于兩種狀態，即固定舵相對地面勻速轉動(無控飛行)和固定舵相對地面固定在某一方位(有控飛行)。下面分別對固定舵處于兩種狀態時的角運動特性進行分析。

2 無控飛行時固定舵產生的角運動特性分析

設固定舵相對地面轉動的角速度為γ′f=ωfx(s)，則γf=γf0+ωfx(s)s，代入(16)式得

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=K1eiωfx(s)s，

(17)

對于勻速不變的角速度ωfx(s)，(17)式右邊是一個指數強迫函數，可采用與強迫函數相同的特解，于是(17)式的通解為

Δ=C1el1s+C2el2s+C3eiωfx(s)s，

(18)

式中：C1、C2為待定系數，由初始條件確定；l1,2=λ1,2+iω1,2的意義及計算公式參考文獻[11]；C3由直接代入法求得，即

(19)

在零初始條件下，即s=0時，Δ0=0，Δ′0=0，有方程組

(20)

解(20)式得

(21)

將(21)式代入到(18)式中，得到固定舵勻速轉動時產生的攻角為

(22)

由(22)式可知，由固定舵勻速轉動產生的周期性強迫干擾使得攻角的運動為3圓運動。3個圓運動的角頻率分別為ω1、ω2、ωfx(s)，其中ω1、ω2為齊次方程所對應的快、慢圓運動角頻率，ωfx(s)為固定舵轉動產生的強迫運動角頻率。

在彈道初始段，略去數值較小的阻尼因子λ1、λ2，則l1,2≈iω1,2. 對于某型旋轉穩定二維彈道修正彈，在初速930 m/s，射角51°射擊時，出炮口處有ω1≈0.156 rad/m，ω2≈0.024 rad/m. 若固定舵的轉速為ωfx=-120 rad/s，則強迫運動的角頻率ωfx(s)≈-0.129 rad/m. 將ω1、ω2、ωfx(s)代入到(20)式，得到快、慢圓運動的模分別為

C1≈1.151|C3|，C2≈2.151|C3|.

(23)

由于強迫運動的幅值與快慢圓運動相當，角頻率的模介于快、慢圓運動之間，故強迫運動將顯著改變攻角的二圓運動曲線，如圖2所示。

圖2 攻角圓運動Fig.2 Circular movement of angle of attack

隨著飛行弧長增加，若彈丸滿足動態穩定性條件，在阻尼因子λ1,2的作用下， (22)式的快、慢圓運動幅值逐漸衰減至消失。最后只剩下一圓強迫運動，其角頻率為ωfx(s)，幅值為|C3|，如圖3所示。

圖3 1圓運動Fig.3 One circular movement

3 有控飛行時固定舵產生的角運動特性

為了對二維彈道修正彈的彈道進行修正，固定舵需要不時地進行滾轉控制，將其固定在某個方位上，這會對彈丸的角運動產生影響。固定舵進行滾轉控制時，相當于對彈丸產生了階躍激勵，下面研究彈丸在階躍激勵下攻角的響應。

當固定舵固定在某個方位時，有γf=γfc，γ′f=0 rad/s. 因此，角運動方程(16)式變為

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=K2，

(24)

3.1 階躍激勵時角運動方程的瞬態解

固定舵產生階躍激勵時，角運動方程(24)式變為

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=K2ε(s)，

(25)

式中：ε(s)為單位階躍函數。

階躍激勵相當于在角運動方程等號右邊突加了一個常值強迫項，可以先設立新坐標[12]為

(26)

將(26)式代入到(25)式，得

Δ″n+(H-iP)Δ′n-(M+iPT)Δn=0，

(27)

式中：初始條件為Δn0=K2/(M+iPT)，Δ′n0=0.

由(27)式可見，角運動在階躍激勵作用下的響應為初始條件為Δn0、Δ′n0的自由運動。于是得到階躍激勵作用時彈丸角運動方程的解為

(28)

在第2節的射擊條件下，取彈道上某個特征點，固定舵滾轉角固定在0°時，通過數值積分出來的攻角和(28)式理論推導計算出來的攻角曲線如圖4所示。

圖4 數值積分和理論推導的攻角曲線Fig.4 Numerically integrated and theoretically derived attack angle curves

從圖4可以看出，理論推導出的攻角和數值積分出的攻角，幅值和頻率都很接近。從圖4中還可以看出，與靜穩定彈丸不同，二維彈道修正彈在向上的控制力作用下并不是產生向上的攻角，而是產生向下和向右的攻角。

3.2 階躍激勵時角運動方程的穩態解

在穩態飛行時，有Δ″=0、Δ′=0，代入到(24)式，得到攻角的穩態響應解為

(29)

在3.1節的特征點上，固定舵滾轉角固定在0°時，理論推導計算出的攻角響應瞬態解和穩態解如圖5所示。

圖5 理論推導的攻角瞬態解和穩態解Fig.5 Theoretically derived transient and steady state solutions of angle of attack

從圖5可以看出，攻角的穩態解反映了攻角在擺動結束后的位置。

4 固定舵產生的角運動對速度方向的影響及運動機理分析

4.1 固定舵產生的角運動對速度方向的影響分析

固定舵產生控制力后，會使彈丸攻角發生變化，有了攻角就會在攻角面內產生升力。由于攻角面不斷繞速度線旋轉，升力方向也就不斷地改變，于是速度方向也在不斷旋轉改變。引入復偏角Ψ=Ψ1+iΨ2(Ψ1、Ψ2分別表示速度高低角及速度方向角的增量)[11]，在攻角產生的升力和舵面產生的控制力作用下，彈丸復偏角的導數為

(30)

將固定舵產生階躍激勵時的攻角代入，得

(31)

將s=vt代入(31)式，并從0到t積分得

bcvδzeiγfct,

(32)

式中：el1vt和el2vt為周期衰減項，可忽略掉，只考慮偏角的平均位置。將l1+l2=-(H-iP)，l1l2=-(M+iPT)代入到(32)式，化簡得

(33)

(34)

則可得

(35)

(35)式是兩個很重要的公式：第1式表示偏角增量與彈丸當前飛行參數和舵偏角的關系；第2式反映了偏角的平均位置較γfc提前了χ角，χ可稱為相位角φψ相對于γfc的前置角。在進行制導方法設計時，要使得速度高低角和方向角耦合修正，需考慮這個前置角。χ計算公式為

(36)

式中：

Rχ=-by·

N=(bx+gsinθ/v2-kzz)bc+kc；

Iχ=-by·

圖6為固定舵滾轉角在0°時，數值積分和理論推導計算出的偏角及理論推導出的平均偏角。

圖6 數值積分和理論推導的偏角曲線及平均位置Fig.6 Numerically integrated and theoretically derived deflection angle curves

從圖6可以看出，理論計算的偏角圍繞平均偏角變化，且和數值積分出的偏角比較接近。

4.2 有控時旋轉穩定彈丸攻角及速度運動機理

彈丸在控制力矩作用下的擺動特性用動量矩定理描述：

(37)

高旋彈丸的動量矩為H=[Iaxωax,Iyωy,Iyωz]T，由于彈丸的旋轉角速度ωax遠大于其擺動角速度ωy和ωz，故彈丸的動量矩主要為大小不變的軸向動量矩。因此，在控制力矩作用下，(37)式寫為

ω×H=Mc.

(38)

前面通過復攻角分析了彈丸在固定舵控制力作用下的角運動及對速度方向的影響，得出向上的控制力作用下彈丸產生向右和向下的攻角，且速度響應的平均方向比固定舵滾轉角提前了χ角。下面以固定舵滾轉角固定在0°時為例，根據(38)式解釋這個原因。

當固定舵滾轉角固定在0°時，向上的舵面升力對彈體產生了向右的俯仰力矩。根據(38)式，在該力矩作用下，彈體會產生一個向下的擺動角速度，此時，彈丸會產生向右的側滑角βc. 由βc產生的向右升力會對彈體產生向下的力矩，該力矩對彈體產生向左的擺動角速度，因此，彈體會產生向下的攻角αc. 由于向下的αc是由向右的βc產生的，故αc滯后βc一段時間。攻角所產生的升力總是使速度方向沿攻角方向變化，因此速度方向也平均向右下方變化。盡管經過一段時間后產生向左的側滑角，偏角也向左轉動，但平均位置回不到正下方，因此形成了向右下的平均偏角，如圖6所示。

在穩態情況下，彈體的擺動角速度ω趨向于0，此時由攻角αtc產生的靜力矩與由固定舵產生的俯仰力矩平衡，有

(39)

可得

(40)

(40)式表示了在平衡狀態下，彈丸的平衡攻角與固定舵舵偏角的關系。

5 固定舵作用下的飛行穩定性條件

5.1 無控飛行時的共振不穩定

固定舵無控時的低速旋轉形成了對彈丸角運動的周期干擾，如果這個干擾頻率與彈體自由擺動的頻率相同，就會發生共振，共振的出現會使攻角突然增大甚至發散，造成飛行不穩定，下面討論這種共振不穩定的特性。

將-(H-iP)=l1+l2、-(M+iPT)=l1l2代入到(19)式的分母，并分解因式，得

(41)

再將l1,2=λ1,2+iω1,2代入(41)式，求得強迫運動的幅值為

|C3|=

(42)

對于旋轉穩定的二維彈道修正彈，共振條件為

(43)

因此，固定舵與彈丸旋轉方向相同時可能發生共振。|C3|隨固定舵轉速ωfx(s)的變化趨勢如圖7所示。

圖7 強迫運動幅值的變化趨勢Fig.7 Variation trends of amplitude of forced motion

下面通過數值仿真驗證二維彈道修正彈存在的共振特性。對某型旋轉穩定二維彈道修正彈，初速930 m/s，射角51°射擊時進行7 自由度仿真。選取彈道上3個特征點，計算得到強迫運動幅值|C3|隨ωfx的變化曲線(見圖8)。

圖8 強迫運動幅值的變化趨勢Fig.8 Variation trends of amplitude of forced motion

從圖8可以看出，3個特征點上，攻角強迫運動在ωfx>0 rad/s時都會出現兩個大的幅值。

在相同的仿真條件下，固定舵轉動角速度分別取-120 rad/s、-50 rad/s、-10 rad/s、10 rad/s、50 rad/s、120 rad/s時進行7自由度無控彈道仿真，全彈道上強迫運動幅值|C3|的變化如圖9所示。

圖9 不同固定舵轉動角速度時全彈道攻角強迫運動幅值Fig.9 Amplitudes of forced motion during the whole trajectory at different spin rates of fixed canards

從圖9中可以看出，當ωfx<0 rad/s時，攻角強迫運動幅值始終較小，且|ωfx|越大，幅值越小。當ωfx為10 rad/s和120 rad/s時，攻角會產生較大的幅值，使得彈丸飛行時間和射程減小。

當ωfx為120 rad/s時，全彈道攻角快、慢圓運動頻率ω1、ω2如圖10所示。

圖10 全彈道攻角快、慢圓運動頻率Fig.10 Fast and slow circular motion frequencies of angle of attack during the whole trajectory

從圖10中可以看出，當ωfx=120 rad/s時，快圓運動的頻率在89 s附近穿越120 rad/s，攻角會產生較大幅值，驗證了圖9的結論。

5.2 有控飛行時的瞬態攻角限制

在受到階躍激勵后，攻角通常會產生一個較大的峰值，在第5.1節的3個特征點上，計算得到的階躍響應曲線如圖11所示。

圖11 攻角階躍響應曲線Fig.11 Step response curves of angle of attack

在彈丸的飛行穩定性設計中，需要將攻角響應的最大幅值限制在一定的范圍內[13]。這時，研究攻角的響應譜就很有必要。計算攻角響應譜時，可忽略阻尼項λ1,2，使計算結果更加安全。(28)式可寫為

(44)

對于旋轉穩定的二維彈道修正彈，一般有ω1?ω2，故攻角響應最大值主要由慢圓運動頻率決定。設慢圓運動的周期T2=2π/ω2，因此攻角最大值出現在s=T2/2處，最大值為

(45)

圖12給出了全彈道上攻角對階躍激勵的響應譜。

圖12 攻角響應譜Fig.12 Response spectrum of angle of attack

由圖12可以看出，固定舵產生階躍激勵時，全彈道上攻角響應譜的最大值超過15°.

設二維彈道修正彈允許的最大攻角幅值增量為δmax，則有

|Δ|max≤δmax.

(46)

(46)式可以看成是二維彈道修正彈在控制力作用下的穩定性條件。

5.3 有控飛行時的穩態攻角限制

為了避免彈丸長時間以較大的平衡攻角飛行，還需對攻角的穩態響應解加以限制。對于(29)式，忽略掉較小的力和力矩，則

(47)

(47)式是二維彈道修正在控制力矩作用下的平衡條件，即固定舵產生的俯仰力矩和彈體攻角產生的靜力矩平衡，(40)式也得出了這個結論。-CMδ/CMα是一個比較重要的參數，因為二維彈道修正彈沒有姿態穩定系統，只能通過限制攻角的最大值來保證飛行穩定。由于彈丸的靜力矩系數導數一般變化不大，因此，為了使穩態攻角的模|Δ|在限定的范圍內，需要合理地設計固定舵的俯仰力矩系數。

6 結論

本文以安裝固定舵修正引信的旋轉穩定二維彈道修正彈為研究對象，推導了彈丸角運動方程，深入研究了彈丸在固定舵作用下的角運動特性，得到了以下結論：

1)固定舵勻速旋轉時攻角的強迫運動特性為由3圓運動逐漸變為1圓運動，此時固定舵轉速接近彈丸自由運動頻率會出現共振，導致飛行不穩定，應避免出現這種情況。

2)固定舵產生階躍控制激勵時，理論推導了攻角的瞬態和穩態響應解析解，數值仿真可以看出這兩個解析解的精度較高。

3)固定舵產生階躍控制激勵時，平均偏角的相位角較固定舵的滾轉角提前了一個前置角，在進行制導方法設計時，應考慮這個前置角。

4)為保證彈丸有控時穩定飛行，首先應限制最大攻角幅值增量，可以根據本文提供的響應譜公式計算得到；其次應限制平衡攻角的大小，通過設計固定舵的俯仰力矩系數實現。

本文的研究結果對二維彈道修正彈的氣動設計、飛行穩定性設計及制導原理方法研究具有一定的意義。后續的工作是在本文的基礎上進行基于速度方向修正的制導方法研究。

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Study on Angular Motion Characteristics of Spin-stabilized 2D Trajectory Correction Projectile under the Effect of Fixed Canards

WU Ying-feng1,2， ZHONG Yang-wei1,3， WANG Liang-ming1

(1.School of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China; 2.Unit 63961 of PLA, Beijing 100012, China; 3.The 9th General Department, China Aerospace Science and Industry Corporation, Wuhan 430040, Hubei, China)

An angular motion equation in complex form is established to study the angle of attack and velocity characteristics of spin-stabilized 2D trajectory correction projectile under the effect of fixed canards. The solution of forced motion when the canards spin at a constant rate and the analytical solutions of transient and steady state responses when the canards generate step excitation are both derived. The relationships between the amplitude and phase angle of average deflection angle and the parameters of the fixed canards are presented by deriving the analytical solutions of average velocity deflection angle. The flight stability conditions of spin stabilized 2D trajectory correction projectile under the effect of fixed canards are proposed. The result shows that the projectile should avoid resonance without control, and should limit the maximum increment of angle of attack and the equilibrium angle of attack with control. In addition, the phase angle of average deflection angle has a lead angle ahead of the roll angle of fixed canards. The results provide some references for the studies of flight stability and guidance method of spin-stabilized 2D trajectory correction projectile.

ordnance science and technology; two-dimensional trajectory correction projectile; angular motion; flight stability; resonance; response spectrum

2016-10-11

武器裝備預先研究項目(9140C300305140C30140)

吳映鋒(1972—), 男, 高級工程師。E-mail: wuyingfeng911@126.com

TJ012.3+3

A

1000-1093(2017)07-1263-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.07.003