單軸旋轉捷聯慣性導航系統加速度計尺寸誤差標定方法

王昆明， 謝建， 周召發

(火箭軍工程大學 兵器發射理論與技術國家重點學科實驗室， 陜西 西安 710025)

單軸旋轉捷聯慣性導航系統加速度計尺寸誤差標定方法

王昆明， 謝建， 周召發

(火箭軍工程大學 兵器發射理論與技術國家重點學科實驗室， 陜西 西安 710025)

加速度計尺寸誤差在載體角運動情況下，會造成捷聯慣性導航系統導航解算誤差，這在單軸旋轉捷聯慣性導航系統中尤為顯著。為提高導航精度，提出一種新的加速度計尺寸誤差標定方法。通過分析單軸旋轉調制下尺寸誤差的作用機理，建立導航誤差與尺寸誤差的數學模型；為進一步提高標定效果，引入加速度計等效誤差作為擴展觀測量，利用可觀測性分析方法設計具體的標定路徑，通過濾波獲取尺寸誤差參數。仿真和實驗結果表明，相比僅以速度誤差為觀測量的方法，該方法可以實現對加速度計尺寸誤差的更高精度快速標定，導航速度解算誤差可降低約50%.

兵器科學與技術； 旋轉調制； 尺寸效應； 擴展觀測量； 可觀測性分析； 誤差標定

0 引言

旋轉調制捷聯慣性導航系統是一種運用旋轉調制技術的新型慣性導航系統，其通過在慣性器件上加裝轉動機構和測角裝置，利用轉動機構的旋轉功能將誤差調制成周期變化的形式，進而在導航解算中采用積分運算法來盡可能消除其影響，最終減少系統誤差的累積，保證長時間導航的精度，而無需對慣性元件的漂移誤差進行估計[1]。旋轉調制技術補償了慣性器件的常值漂移誤差、比例因子對稱性誤差、不對稱性誤差以及安裝誤差等[2]，有效提升了捷聯慣性導航精度。然而，旋轉調制技術對某些誤差有放大作用，如加速度計尺寸效應等。

加速度計尺寸效應，也稱為內桿臂誤差[3]，是由于受到實際加速度計物理大小和安裝位置的限制，其安裝敏感點不會位于慣性測量單元(IMU)質心，而是存在一個尺寸誤差所導致的。根據剛體轉動理論，在角運動中不同點上的加速度各不相同，位置差異會導致比力測量的差異，如果直接將加速度計的輸出代入導航算法，在角運動時勢必造成導航解算誤差，文獻[4]指出：在一定振幅下，內桿臂效應造成的導航速度漂移率與振動頻率平方呈正比。可見，旋轉調制技術引入的角運動會大大激勵加速度計尺寸效應，導致嚴重的導航解算速度誤差。因此，對于旋轉調制捷聯慣性導航系統，除了需進行常規的靜態標定外，對加速度計尺寸效應進行補償也是必不可少的。

對于加速度計尺寸效應的標定補償，目前國內外學者做了許多研究：文獻[5]給出了桿臂效應力學補償法的模型，并通過實驗驗證了力學補償法的可行性；文獻[6]分析了內桿臂效應產生的原因，指出進行內桿臂效應補償的方法是將加速度計敏感點處的加速度測量值折算至它們的敏感軸交點，但其分析是建立在IMU的3個加速度計敏感軸互相垂直并相交于一點比較理想的條件下，使其應用大大受限；文獻[7]對內桿臂誤差進行了分析與建模，推導出內桿臂誤差與導航速度誤差之間的數學表達式，通過分析確定了內桿臂長度和振動頻率是影響內桿臂誤差的2個因素；文獻[8]針對加速度計非正交安裝情形，從常規靜態標定模型出發建立了尺寸效應的誤差模型，但未給出具體標定方法；文獻[9]分析了單軸旋轉產生的加速度計尺寸誤差效應，研究了有無阻尼條件下尺寸效應引起的系統導航誤差，但同樣未給出具體標定方法；文獻[10]通過轉臺勻速轉動，以重力加速度為基準對捷聯慣性導航系統尺寸效應進行了標定補償，但此方法需要速率轉臺及高精度水平基準，對實驗條件要求較高；文獻[11]建立了導航速度誤差與加速度計尺寸誤差之間關系的數學模型，設計了多位置轉動實驗以辨識加速度計尺寸誤差參數，但此方法針對的是傳統捷聯慣性導航系統，對于單軸旋轉捷聯慣性導航系數未進行具體分析。

針對上述文獻的不足，本文根據文獻[11]的基本思路，具體分析了單軸旋轉調制情況下加速度尺寸效應的作用機理，進而借鑒文獻[12]充分利用外部可觀測信息進行狀態估計的思路，通過引入更多觀測信息以提高標定精度，提出了一種將加速度計等效誤差作為擴展觀測量的單軸旋轉調制系統加速度計尺寸誤差標定方法，仿真和實驗結果表明該方法相對傳統方法具有更好的標定效果。

1 誤差描述

首先對加速度計尺寸效應誤差做具體描述。對于陀螺儀來說，其尺寸效應誤差可以忽略，任意安裝位置均能實現系統的空間三維角速度測量。然而，加速度計安裝敏感點的位置差異會導致比力測量的不同，因此加速度計尺寸效應誤差是系統最主要的尺寸效應誤差，不能忽略。常規的標定方法主要是靜態標定，即利用轉臺或正交六面體進行多位置靜態數據采集和標定處理，得到加速度計的靜態標定模型。但是由于尺寸效應只有在載體角運動時才得到激勵，使用多位置靜態標定法只能確定各加速度計敏感軸的指向，而無法標定尺寸誤差。下面在靜態標定的基礎上，研究加速度計尺寸效應。

非正交安裝情況下，各加速度計輸出為

(1)

式中：fk為各加速度計敏感點處的加速度矢量；UAk為各加速度計敏感軸的單位方向矢量。

以x向加速度計為例，已知

(2)

fx=fb+fLx，

(3)

式中：fb為真實加速度；fLx為考慮桿臂效應引入的干擾加速度。

由(1)式和(3)式可知

(4)

(5)

fox即為載體加速度在x向加速度計敏感軸上的投影，可以通過(5)式對加速度計輸出進行補償，以消除加速度計尺寸效應。

將3個加速度計標定合在一起，寫成矢量形式，得

(6)

根據(5)式和(6)式，可以得出載體加速度fb為

(7)

(8)

(8)式給出了非正交安裝情況下的尺寸效應補償公式，式中MA、KA都可以通過加速度計靜態標定獲取。

2 單軸旋轉調制下的加速度計尺寸效應模型

旋轉調制捷聯慣性導航系統相比固定式捷聯慣性導航系統，增加了轉位機構，因而其分析方法也相應有所差異，為描述單軸旋轉調制下的加速度計尺寸誤差，首先定義如下坐標系：

1)導航坐標系(n系)：該坐標系隨地球的自轉和載體的運動而相對慣性系運動，本文采用東- 北- 天導航坐標系。

2)載體坐標系(b系)：該坐標系與單軸旋轉捷聯慣性導航系統的基座固聯，xb、yb、zb分別指向載體的右方、正前方和上方，構成右手直角坐標系。

3)慣性器件敏感坐標系(s系)：該坐標系的原點位于IMU中心，當轉位機構位于轉角零位時，s系與b系的對應坐標軸重合。

4)慣性坐標系(i系)：其坐標原點位于地心，相對于慣性空間靜止的參考慣性坐標系，其zi軸沿地軸指向北極方向，xi與yi軸在地球赤道平面內，xi與yi、zi構成右手直角坐標系。

加速度計尺寸誤差如圖1所示。

圖1 x加速度計尺寸誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of x accelerometer dimension error

(9)

已知單軸旋轉捷聯慣性導航系統中：

(10)

則(9)式可展開為

k=x,y,z.

(11)

根據(7)式，可知s系內有

(12)

(13)

(12)式可簡化為

(14)

則在s坐標系內，(8)式可表示為

(15)

則fs在載體坐標系內的投影為

(16)

式中：

(17)

θs為轉位機構轉過的角度，可以通過測角機構實時測量給出。

通過計算得到的加速度值為

(18)

則加速度測量誤差為

(19)

將(14)式代入(19)式，得

(20)

3 基于擴展觀測量的加速度計尺寸誤差標定方法

對于加速度計尺寸誤差的標定，傳統的方法是控制慣性導航系統作角運動，由此產生的加速度計尺寸效應會導致導航速度解算出現相應的誤差，根據此誤差即可標定出加速度計尺寸誤差。

文獻[10]中導航速度誤差在較短時間內的變化規律為

(21)

將(20)式代入(21)式，得

(22)

由此便建立起導航速度誤差與尺寸誤差參數Rs之間關系的量測方程，可通過最小二乘法或者Kalman濾波法辨識獲得尺寸誤差參數。

理論上，地球重力加速度僅在天向存在分量，其水平分量應為0 m/s2，然而由于轉位機構旋轉帶來的加速度計尺寸效應，導致加速度計輸出折算至導航坐標系下，與地球重力加速度不匹配，即存在等效誤差。可見，加速度計等效誤差中也包含了加速度計尺寸效應，可將這一分量作為系統觀測信息引入Kalman濾波器中。

對比速度誤差及加速度計等效誤差與加速度計尺寸誤差的數學關系，可以看出：導航速度誤差是尺寸誤差的1階導數，而加速度計等效誤差是尺寸誤差的線性函數。因此，相比導航速度誤差，加速度計等效誤差的可觀測性更好。引入加速度計等效誤差作為擴展觀測量，則可以有效提升加速度計尺寸誤差的觀測精度和速度，這就是基于擴展觀測量的加速度計尺寸誤差標定的基本原理。

3.1 狀態方程的建立

由于陀螺及加速度計已經過靜態標定，這里忽略慣性器件本身誤差，只考慮加速度計尺寸效應。根據靜基座條件下捷聯慣性導航系統的誤差模型[12]：

(23)

(24)

結合第2節推導的加速度計誤差模型，可得出捷聯慣性導航系統10階誤差狀態方程：

(25)

式中：

X=

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

RM、RN分別為地球子午圈和卯酉圈半徑，h為慣性導航系統所在的海拔高度，L為當地地理緯度，g為地球重力加速度大小。

以速度誤差為觀測量，列寫觀測方程有

Z1=H1X+v1,

(33)

式中：

(34)

以加速度計等效誤差為觀測量，已知

(35)

則加速度計等效誤差為

(36)

式中：gn=[0 0gn]T為地球重力加速度矢量在導航坐標系的投影。

列寫觀測方程有

Z2=H2X+v2,

(37)

式中：

(38)

3.2 基于奇異值分解的可觀測度分析

系統的可觀測性決定了Kalman濾波對系統誤差參數的標定速度和精度，因而建立狀態方程后，需要分析系統的狀態可觀測性，從而設計標定路徑。這里采用可觀測性矩陣的奇異值分解(SVD)方法來對各參數的可觀測度進行分析。SVD方法通過對系統提取可觀測矩陣(SOM)進行奇異值分解，求出奇異值大小即可以判斷狀態量的可觀測程度，且不需要事先做Kalman濾波運算即可實現系統可觀測度分析[13]。下面采用SVD方法對單軸旋轉捷聯慣性導航系統進行可觀測性分析。

系統誤差方程如3.1節所示，地理緯度取為L=34.246°，初始姿態角設置為(5°，5°，25°)。可觀測度分析時時間段長度取1 s，設置

當慣性導航系統的轉位機構保持靜止時，對于兩種觀測量，都有rank[Qs(1)]=6<10，系統不完全可觀，參數ax、bx、ay、by均不可觀，這與前面所述的尺寸效應只有在載體角運動時才得到激勵相對應。

當慣性導航系統的轉位機構勻速旋轉時，設角速度為10°/s，計算可知2種觀測量對于任意j>1，都有rank[Qs(j)]=8<10，系統不完全可觀，參數bx、ay不可觀。這也可以由(13)式推導得出：當角加速度為0°/s2時，bx、ay相對應的項近似為0，無法有效觀測。

當轉位機構變速旋轉時，先從靜止開始，以角加速度1°/s2轉動10 s，再以角速度10°/s勻速旋轉。計算2種觀測量可知，對于任意j>1，都有rank[Qs(j)]=10，系統完全可觀。

表1給出了變速旋轉情況下，同一時間段，兩種觀測量對于加速度計尺寸誤差參數的可觀測度。

表1 可觀測度對比

由表1可見，引入加速度計等效誤差作為擴展觀測量時，雖然對加速度計尺寸誤差參數的可觀測性沒有顯著影響，但是有效提升了誤差參數的可觀測度，從而對誤差參數的估計速度和精度都會得到提高。

3.3 標定方案設計

由3.2節可觀測度分析，可以確定如下外場條件下加速度計尺寸誤差標定方案：

1)慣性導航系統通電，靜置5 min至狀態穩定；

2)采集數據200 s；

3)控制轉位機構按照勻加速—勻速—勻減速旋轉，采集數據600 s.

標定過程數據處理包括以下步驟：

1)靜基座對準。利用慣性導航系統靜止時采集的前200 s數據進行初始對準；

2)導航濾波估計。對準完轉入導航計算，同時進行誤差參數濾波估計，標定出加速度計尺寸誤差；

3)誤差補償。估計出加速度計尺寸誤差后，對慣性導航系統的輸出信號進行誤差補償。

4 實驗及分析

4.1 仿真標定實驗

采用Matlab環境進行仿真標定實驗，設置加速度計尺寸誤差ax、bx、ay、by均為2.0 mm，其余參數設置與3.2節相同。

分別以兩種觀測量進行Kalman濾波，兩種方法對加速度計尺寸誤差的標定結果如圖2～圖5所示。

圖2 ax、bx仿真標定結果對比Fig.2 Comparison of calibrated results of ax and bxin simulation

圖3 ax、bx仿真標定結果局部放大圖Fig.3 Partial enlarged views of ax and bx

圖4 ay、by仿真標定結果對比Fig.4 Comparison of calibrated results of ay and by in simulation

由圖2～圖5可看出，相比速度誤差觀測量方法，擴展觀測量方法的收斂速度更快，且標定精度更高，這與前面理論分析結果一致，說明擴展觀測量方法可以有效提升對尺寸誤差的標定效果。

4.2 實物標定實驗

采用某型單軸旋轉捷聯慣性導航系統進行尺寸誤差標定實驗，系統如圖6所示。

圖6 單軸旋轉捷聯慣性導航系統Fig.6 Single-axial rotation SINS

根據3.3節中所述的標定方法，分別采用兩種觀測量方法對加速度計尺寸誤差進行標定，標定結果如圖7和圖8所示。

圖7 ax、bx實驗標定結果對比Fig.7 Comparison of calibrated results of ax and bx in experiment

圖8 ay、by實驗標定結果對比Fig.8 Comparison of calibrated results of ay and by in experiment

由標定出的加速度計尺寸誤差，根據(14)式和(16)式，以及由測角機構測量的角速度對加速度計輸出進行尺寸效應補償，圖9給出了兩種方法誤差補償后載體水平速度變化曲線。

圖9 補償尺寸誤差前后的導航速度結果對比Fig.9 Comparison of navigation velocities before and after compensation of dimension error

由圖9可以看出，經過補償修正后，加速度計尺寸效應引起的水平速度變化大大減小，具體結果見表2.

由上述圖和表可見，兩種補償方法都能有效補償由尺寸誤差導致的水平速度差，本文提出的擴展觀測量方法補償效果更好，相比傳統方法，導航速度誤差降低了50%以上，即擴展觀測量方法對尺寸誤差的標定精度更高。

表2 導航速度誤差對比

5 結論

尺寸效應誤差是激光陀螺捷聯慣性導航系統的一個重要動態誤差，本文分析了單軸旋轉調制捷聯慣性導航系統中加速度計尺寸效應的具體作用機理，建立了導航誤差與尺寸誤差的數學模型，在此基礎上提出了一種將加速度計等效誤差作為擴展觀測量的單軸旋轉調制系統加速度計尺寸誤差標定方法，并利用基于奇異值分解的可觀測性分析方法設計了標定路徑，最后通過仿真及實驗驗證了標定方法的有效性。實驗結果表明：該標定方法可以有效補償由于加速度計尺寸效應導致的導航誤差，相比僅以速度誤差為觀測量的方法，該方法可以實現對加速度計尺寸誤差的更高精度快速標定，導航速度解算誤差可降低約50%，具有較強的工程意義。

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Calibration Method of Dimension Error of Accelerometer in Single-axial Rotation SINS

WANG Kun-ming, XIE Jian, ZHOU Zhao-fa

(State Key Discipline Laboratory of Armament Launch Theory and Technology, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, Shaanxi, China)

Accelerometer dimension error leads to navigation velocity error under the carrier angular movement in strapdown inertial navigation system (SINS). This is particularly significant in single-axial rotation SINS. In order to improve the navigation accuracy, a new method is presented to realize the calibration of accelerometer dimension errors. A mathematical model of navigation and dimension errors is established by analyzing the mechanism of action of dimension errors in rotary condition. The equivalent errors of accelerometers are introduced into system as extended measurements to improve calibration effect. A calibration route is designed by observability analysis. The dimension error parameters are acquired by filtering. The simulated and experimental results show that the proposed method has higher calibration accuracy and speed compared with the method that uses speed error as observed quantity, and the amount of navigation velocity errors is decreased by about 50%.

ordnance science and technology; rotary modulation; dimension effect; extended measurement; observability analysis; error calibration

2016-11-03

國家自然科學基金項目(41174162)

王昆明(1988—)，男，博士研究生。E-mail:984088528@qq.com

謝建(1967—)，男，教授，博士生導師。E-mail:467040646@qq.com

TJ765.2+31

A

1000-1093(2017)07-1314-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.07.009