淺談數(shù)學(xué)家高斯的貢獻

萬忠義 周小義

(1.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院 四川 成都 610059;2.四川省安岳縣乾龍九義校 四川 安岳 642350)

?

淺談數(shù)學(xué)家高斯的貢獻

萬忠義1周小義2

(1.成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院 四川 成都 610059;2.四川省安岳縣乾龍九義校 四川 安岳 642350)

18世紀德國著名的一個偉人約翰·卡爾·弗里德里希·高斯，他是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他的一生在不同的領(lǐng)域都為人類做出了偉大的貢獻，本文主要目的是解讀數(shù)學(xué)家高斯，從高斯的生活背景，高斯在數(shù)學(xué)方面的貢獻，以及高斯為后人帶來的影響作為重點，對偉大的數(shù)學(xué)家高斯進行較為詳細的解讀。

高斯；數(shù)學(xué)家；貢獻；影響

一、引言

高斯的全名是約翰·卡爾·弗里德里希·高斯，是德國著名的數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，天文學(xué)家和大地測量學(xué)家。在很多方面都為人們做出了偉大貢獻，在數(shù)學(xué)方面，幾乎遍及了數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，在物理方面，磁場上的巨大貢獻，以及在天文、大地測量上都做出了巨大的貢獻。他出生平凡卻不平庸。憑著自己的聰明才智，勤奮努力的學(xué)習(xí)，刻苦的專研，終于成為了數(shù)學(xué)史上的傳奇人物，并享有“數(shù)學(xué)王子”的美名，他與阿基米德、牛頓、歐拉齊名，被稱為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

二、高斯在數(shù)學(xué)上的成就

(一)二次互逆定理

“二次互逆定理”非常漂亮的解決了勒讓德符號的計算問題，從而在實際問題上解決了二次剩余的判別問題。1796年，高斯作為世界上第一個嚴格的證明“二次互逆定理”的人，在此之后他又發(fā)現(xiàn)了這種定理的另外七種不同證明方法。高斯把二次互逆定理看作是算術(shù)理論中的寶石，是一個黃金定律。有人說：“二次互逆定理是數(shù)論中最重要的工具，并且在數(shù)論的發(fā)展史中，處于中心地位。”

在高斯之后柯西、克羅內(nèi)克、雅克比、劉維爾、弗洛比紐斯等等也一個個地給出了新的證明方法。時至今日，二次互逆定理已經(jīng)有了一百五十種不同的證明方法。二次互反律可以推廣到高次互反律。二次互反律被稱為“數(shù)論之母”，在數(shù)論中有著極高的地位。表述如下：

后來希爾伯特、塞爾等數(shù)學(xué)家將它推廣到更一般的情形。其表述如下：

(二)尺規(guī)作圖

幾千年前，古希臘的數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)深入的研究過一類作圖問題，那就是：怎么樣運用尺規(guī)作內(nèi)接正多邊形。早在《幾何原本》一書中，大數(shù)學(xué)家歐幾里德就用尺規(guī)完成了內(nèi)接正三邊形、正四邊形、正五邊形，甚至正十五邊形的作圖。然而正7、9、11…邊形卻未能做出。這讓歐幾里德之后的許多數(shù)學(xué)家感到尷尬的是，自從歐幾里德完成一部分尺規(guī)作圖的后2000多年中，有關(guān)正多邊形的尺規(guī)作圖，仍然只是停留在歐幾里德給出的一些內(nèi)接正多邊形的作圖方法，其他的并沒有任何的進步。直到1796年，年僅19歲的高斯發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖方法。這在當時的數(shù)學(xué)界來說，可是引起了相當大的震撼。

在經(jīng)過反反復(fù)復(fù)研究后，高斯在1801年終于對尺規(guī)作圖問題給出了一個完美的回答。高斯指出，如果僅僅用圓規(guī)和直尺，作圓內(nèi)接正a邊形，當a滿足如下的形式之一時就能運用尺規(guī)作圖完成：

(1)a=2k,k=2,3,…

阿里終于見到他朝思夜想的母親。他情不自禁地仰頭發(fā)出呵呵的大笑，然后拔腿向母親身邊跑去。他扒開那些花，對著母親叫道：“姆媽!呵呵。姆媽!呵呵。你回了。”

費馬質(zhì)數(shù)是形如：Fk=22k的質(zhì)數(shù)。比如：F0=3,F1=5,F2=17,F3=257…的質(zhì)數(shù)。高斯用代數(shù)的方法解決了2000多年一直困擾著人們的幾何難題，高斯自然將此視為他平生的得意之作。

通過高斯的證明，正多邊形作圖的問題與費馬數(shù)密切的聯(lián)系在了一起。這就是數(shù)學(xué)的一大魅力所在，看似兩個全無關(guān)系的領(lǐng)域竟然用出乎意料的方式，彼此聯(lián)系到一起。通過“數(shù)學(xué)王子”高斯的杰出發(fā)現(xiàn)，我們可以從中充分的領(lǐng)悟到這種魅力。正是兩者的聯(lián)系，使人們對費馬數(shù)有了更大的興趣。

(三)高斯函數(shù)

1.高斯函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：

2.高斯函數(shù)的求解

高斯函數(shù)的求解方法沒有固定的模式，根據(jù)實際的求解情況，合理的采用適應(yīng)的求解方法。我們用以下的三種方法來探討。

嚴格函數(shù)定義求解

借助對偶式求解

利用對偶式求解高斯函數(shù)就是要觀察題設(shè)中表達式的特點，根據(jù)實際情況合理地組建或者構(gòu)建與之相匹配的相應(yīng)的表達式，然后通過借助兩個表達式之間的高斯函數(shù)值的緊密聯(lián)系，從而間接地求解高斯函數(shù)值的方法。

[1]徐品方，數(shù)學(xué)家傳奇叢書[M]，山東教育出版社

[2]周明儒，走近高斯——數(shù)學(xué)文化小叢書[M]，高等教育出版社

萬忠義(1991-)，男，湖北興山人，成都理工大學(xué)，碩士研究生，主要從事優(yōu)化與控制研究；周小義(1993-)，女，四川安岳人，四川省安岳縣乾龍九義校，中學(xué)教師。