基于附加約束方法的空間飛網碰撞動力學與仿真

甄 明，楊樂平，張青斌

基于附加約束方法的空間飛網碰撞動力學與仿真

甄 明，楊樂平，張青斌

（國防科技大學航天科學與工程學院，長沙410073）

針對空間飛網捕獲目標時的碰撞問題，基于向量式有限元離散方法，采用Kelvin?Voigt繩段模型，引入附加約束方法，對飛網捕獲碰撞過程進行了動力學建模和仿真，分析了飛網在捕獲碰撞階段的位形變化、能量變化、碰撞力和繩段張力變化。結果表明，空間飛網的位形、能量和對角線繩段內力在碰撞過程中都會發生顯著變化。可為空間飛網系統的設計提供一定的借鑒。

空間飛網；碰撞捕過程；附加約束法；動力學模型

1 引言

隨著人類空間活動的不斷探索和發展，大量空間碎片散布于地球軌道［1］，空間碎片的急劇增加導致更多的碎片碰撞事故，造成空間飛行器結構破壞、脫離軌道等破壞效應［2］。對此，眾多學者提出了機械臂［3］、空間飛叉技術［4］和空間飛爪［5］等措施對空間碎片進行捕獲和離軌，但以上方法需要較高的控制精度，且在捕獲過程中伴有剛性碰撞，可能產生二次垃圾。后來，歐空局提出了一種空間飛網捕獲方法［6］，空間飛網捕獲較好地避免了剛性碰撞，具有容錯性強、降低捕獲精度要求、質量輕、占用空間小、成本低等諸多優勢，因此受到了廣泛關注和研究。

空間飛網捕獲可分為捕獲階段和離軌階段，其中，捕獲階段可分為拉出展開過程和碰撞包裹過程。陳欽等［7?8］建立了空間飛網系統的剛柔耦合動力學模型，對飛網拉出展開進行了初步研究，并通過地面拋射試驗進行檢驗。趙國偉等［9］考慮繩段張力內耗和變形滯后，對柔性飛網展開運動進行了數值模擬。于洋和李京陽等［10?12］提出了飛網拉出展開效果的衡量標準，并利用軟件THUsolver和ABAQUS進行動力學仿真，分析了飛網拋射參數對展開性能的影響。張青斌等［13］采用“半阻尼彈簧”模型，基于地面試驗參數，仿真分析了飛網展開過程的天地差異性。劉海濤等［14?15］利用多點吊掛模型，對飛網捕獲后的復合體離軌進行了策略設計和動力學仿真。以上研究多集中于空間飛網拉出展開過程和拖拽離軌階段，而飛網對目標體的碰撞包裹研究較少。

碰撞包裹過程中，飛網與捕獲目標發生碰撞會產生應力集中，可能導致繩段斷裂，從而使捕獲目標逃離飛網，因此，空間飛網碰撞包裹過程同樣需要深入研究。于洋等［16］利用三維有限元模型，對不同網目的柔性網在沖擊作用下的應力和變形進行了分析，但作者對網的邊界進行了約束，不能體現飛網捕獲過程的真實狀態。Benvenuto等［17］利用罰函數方法對飛網捕獲目標進行了仿真，作者僅研究了飛網碰撞包裹目標的整體位形變化，未對飛網碰撞力進行分析，且罰函數方法需要人工設定罰剛度，同時飛網會對目標體產生嵌入，不符合物理實際。

本文將對飛網拉出展開階段和碰撞包裹階段進行動力學建模和仿真，飛網采取向量式有限元方法進行離散化處理，采用Kelvin?Voigt模型作為繩段本構模型，同時引入附加約束方法描述碰撞階段的動力學過程，通過仿真結果對空間飛網拉出展開和碰撞包裹階段的飛網位形、能量變化、繩段張力和碰撞力進行分析，重點對飛網捕獲碰撞階段的碰撞力及能量變化進行研究，為空間飛網捕獲空間碎片提供一定的借鑒。

2 空間飛網動力學模型

2? 1 基本假設與坐標系

空間飛網動力學模型的基本假設如下［18］：

1）繩索可拉不可壓，不考慮繩索結構中的彎曲撓性和接觸效應；

2）質量塊視為質點，地球視為均質球體，完全中心引力場；

3）假設目標體為剛性體，表面光滑，不考慮摩擦效應。

如圖1所示，引入以下坐標系：

1）地心慣性系N，原點位于地球質心OE，X軸指向春分點，Z軸垂直于赤道面指向北極，Y軸由右手法則確定；

2）拖船軌道系H1，原點位于拖船質心O1，x軸由OE指向O1，z軸沿拖船軌道面法向，y軸在拖船軌道面內垂直于x軸并指向運動方向，并滿足右手法則。

2? 2 向量有限元繩段單元

空間飛網屬于典型的非線性、多柔體系統，目前還很難建立精確的解析模型。為此，采用離散化的建模思路，將空間飛網離散為若干有限段。借鑒“向量式有限元”［19］的方法對飛網系統進行離散，向量式有限元將結構離散為質點和結構單元，由質點的運動軌跡來描述結構的幾何和位置，結構單元用來傳遞內力、約束質點運動［20］。

每個繩段由兩個質點和一個繩索單元組成，繩段的質量集中在質點上，所以質點的質量等于相鄰繩段質量總和的一半，則節點i的質量mi為式（1）：

其中mij為節點i相鄰繩段質量，需要注意的是，對于四個質量塊節點，需要加上質量塊的質量ms。

繩索是一種粘彈性材料，本文向量有限元的結構單元采用Kelvin?Voigt繩段單元［21］，如圖2所示。在Kelvin?Voigt模型中，總應力是彈性元件與粘性元件的應力之和，即式（2）：

其中：ε為繩段應變，ε·為繩段應變率，k為彈性系數，c為阻尼系數。

2? 3 繩段內力計算

繩段單元不考慮垂度影響，將繩段單元簡化為直線模型，則單元變形為式（3）：

其中，由于繩索極度柔軟，僅能承受張力，不能承受壓力，繩段sij的張力為式（4）：

式中：E為楊氏模量，由材料特性決定；Aij為繩段截面積。繩段sij的等效阻尼系數cij在工程上近似為式（6）：

式中：mij為繩段sij的質量，ρij為繩段線密度，ζ為繩索阻尼比，該參數取決于繩索的材料和編織方式，取值通常在0到1之間。

2? 4 繩段單元外力計算

太空環境中，繩段受萬有引力作用，由于大氣稀薄，氣動力可忽略不計，而且由于空間飛網拉出展開過程較快，空間攝動等干擾可忽略不計。故繩段sij的外力為式（7）：

式中：μ為地球引力常數，rij為慣性系下繩段sij中心的位置矢量。

3 附加約束碰撞動力學模型

3? 1 碰撞檢測

若要完成碰撞階段的仿真計算，需要判斷發生接觸的位置，為此可利用向量進行點面距離的判斷。本文重點在于繩網碰撞過程的仿真分析，為了節省檢測在仿真過程中的時間消耗，對目標外形進行簡化，將其考慮成剛性的球體。

如圖3，假設繩索節點坐標（x，y，z），球心坐標為（x0，y0，z0），球體半徑為R，繩網厚度很小，可以忽略不計。

檢測點的碰撞侵入量為式（8）：

檢測點與球體接觸碰撞判據如式（9）：

當d＝0時，檢測點與球體剛好發生接觸，碰撞點即為檢測點的位置，碰撞的法線方向為式（10）：

3? 2 碰撞初始條件確定

在碰撞初始時刻，飛網系統從無約束狀態瞬間變為約束狀態，運動狀態發生突變，存在跳躍、不連續現象，從而產生違約，給數值計算帶來困難。因此，在初始碰撞時刻需要使用一種方法實現從無碰撞過程到碰撞過程的運動轉換，以實現運動的協調并得到約束碰撞模型的初始條件。

本文先利用沖量?動量法進行一次求解，飛網為柔性材料，故令恢復系數e＝0，即假定柔性飛網碰撞點與剛性目標平面發生非彈性碰撞。飛網碰撞點在目標平面上的法向速度突變為0，飛網碰撞點與目標接觸面連結在一起，即碰撞點在碰撞面法向上的位移、速度和加速度始終為0。

用沖量?動量法確定柔性飛網碰撞初始條件的方程如式（11）：

3? 3 附加約束碰撞動力學方程

碰撞過程中，本文采用附加約束法［20，22］求解碰撞響應，即通過增加約束方程，對系統施加約束來求解碰撞力，方程如式（12）：

式中：M為廣義質量矩陣，q為廣義坐標矩陣，Φq為Jacobi矩陣，Q為廣義力矩陣，λ為La?grange乘子矢量矩陣，即附加約束反力，γ為加速度約束方程的右項矢量。

已知飛網碰撞點在目標碰撞面法向上的位移始終為0，設ri為碰撞點i慣性系下的位置矢量，n為碰撞面法向單位向量，由此可得碰撞點i接觸碰撞過程中的約束條件如式（13）：

根據碰撞約束條件可求得Lagrange乘子矢量矩陣，然后將計算出的λ代入到動力學方程中，可以求得碰撞點的加速度值，進而通過龍格?昆塔法積分得到碰撞點的位移和速度。

3? 4 系統動力學方程

空間環境下，節點i的動力學方程在N系下表示為式（14）：

為便于描述空間環境下的空間飛網拉出展開特性，建立空間飛網在拖船軌道系H1下的相對運動動力學方程。由于拖船運行于圓軌道，由C?W方程［18］，節點i在H1系下的相對運動方程為式（15）：

式中：［xi，yi，zi］T為節點i相對于拖船質心O1的位置矢量，ω＝為軌道系角速度，［Tix，Tiy，Tiz］T為Ti在H1系下的表示。

4 空間飛網捕獲過程仿真

通過仿真研究飛網在空間環境下的捕獲動力學特性，假設目標位于地球靜止軌道，飛網系統位于目標速度方向。其中，飛網選取四邊形的菱形網目形式［18］，邊長為Lw＝40 m、飛網質量為mw＝2 kg、單個牽引質量塊質量為ms＝1? 5 kg、發射速度為v＝15 m／s、發射張角α＝30°、為提高計算效率，網目尺寸為Lmesh＝3? 54 m、繩索采用Zylon AS纖維（抗拉強度σu＝5? 8 GPa，彈性模量E＝180 GPa，密度ρ＝1540 kg／m3），取阻尼比為ζ＝0? 5；目標體為半徑R＝8 m的剛性光滑球體，質量為1000 kg，捕獲距離為45 m，即目標體質心距離拖船質心45 m。

空間飛網捕獲過程如圖4所示，其中柱條為繩段張力大小，單位為N。0～4? 5 s為飛網的拉出展開過程，4? 5～7 s為飛網對目標體的碰撞包裹過程。由圖中可以看出，飛網拉出展開過程中，飛網在質量塊的牽引作用下呈“×”字凹形展開，展開面積不斷增大。4? 5 s以后，飛網與目標體開始發生接觸，與目標體接觸繩段受到目標體約束，而未接觸繩段繼續被質量塊牽引展開。而后，隨著接觸繩段越來越多，受約束繩段也越來越多，張緊的繩段反作用于質量塊，使質量塊發生收縮，從而牽引飛網對目標體進行包裹。

4? 1 空間飛網捕獲過程位形分析

18，如式（16）、（17）定義展開面積S展開、收口面積S收口和飛行距離d作為飛網位形指標。其中，展開面積是飛網未碰撞目標體前的飛網面積，可用于描述飛網覆蓋范圍；收口面積是飛網與目標體接觸碰撞后的飛網面積，可用于描述飛網對目標包裹的有效性；飛行距離可描述飛網捕獲距離。

其中：S展開和S收口的定義方法相同，d1、d2、d3和d4分別為拖船到飛網四個角點的位置矢量，d13和d24分別為飛網兩條對角線矢量，d＝d ，即飛行距離。

飛網展開／收口面積和飛行距離如圖5和圖6所示。0～4? 68 s為飛網展開階段，展開面積在質量塊的牽引下逐漸增大，在4? 68 s時達到最大1414? 7 m2，約為設計面積的88? 4%，遠大于目標體的表面積4πR2＝803? 84 m2，說明飛網展開效果較好，且展開面積可有效對目標體進行包裹；4? 68 s后為飛網收口階段，隨著飛網與目標體的不斷接觸，產生約束力反作用于質量塊，使質量塊發生收縮，對目標體進行收口包裹，收口面積不斷減小，7? 05 s時收口面積達到最小為74? 27 m2，遠小于目標體的截面積πR2＝200? 96 m2，說明飛網收口效果較好，可有效防止目標逃離飛網。飛網飛行距離隨時間不斷增大，其中，飛網展開過程中，飛行速度較快；當飛網與目標體接觸后，由于目標體的約束，飛行速度降低。值得一提的是，當飛網飛行值捕獲距離45 m時，此時飛網展開面積為1329 m2，遠大于目標體最大截面積200? 96 m2，這說明質量塊未與目標體發生直接接觸碰撞，可保證飛網對目標體進行有效包裹捕獲。

4? 2 空間飛網捕獲過程能量分析

空間飛網捕獲過程的能量變化如圖7、圖8所示。由圖可知，在飛網拉出展開階段，質量塊動能F不斷減小，而飛網動能不斷增大，彈性勢能變化微小，此階段質量塊在牽引過程中將動能轉化為繩網動能，而飛網各繩段多處于松弛狀態，因此，彈性勢能變化較小。飛網與目標體發生碰撞瞬間，飛網部分繩段受到目標體約束，從而間接作用于質量塊，質量塊動能迅速下降，而飛網繩段進入張緊狀態，飛網彈性勢能迅速增加。而后，質量塊在張緊繩段的作用下發生收縮回彈，質量塊動能又迅速變大，而繩段開始松弛，彈性勢能迅速變小。飛網總機械能呈下降趨勢，這是由飛網繩段阻尼耗能所致，值得一提的是，在飛網拉出展開的初始過程和發生碰撞的過程中，機械能下降相對較快，這是因為在飛網展開的初始過程中，質量塊牽引速度相對較大，繩段松弛和張緊的轉換過程較快，使得繩段耗能較快；而在發生碰撞過程中，附加的約束也使繩段進入迅速張緊和松弛的轉換，從而導致快速耗能。

4? 3 空間飛網捕獲過程碰撞力和繩段內力分析

空間飛網繩段與目標接觸時會產生附加約束力，定義接觸繩段附加約束力之和作為飛網與目標體的接觸碰撞力Tac，如式（18）：

圖9為碰撞力在三個坐標方向的分力，由圖可知，碰撞力在y方向的分力較大，而在x和z方向上的分力相對較小，這是因為飛網整體沿著y方向運動，附加約束在y方向上約束作用更為顯著，而由于未考慮飛網與目標體接觸面的摩擦作用，因此x、z方向的分力相對較小。由的變化圖可知，在飛網拉出展開階段，飛網未與目標體發生接觸碰撞，為0；當飛網與目標體發生接觸時，飛網受到目標體飛行方向上的約束，開始由零迅速增大，而后，張緊繩段反作用于質量塊，使質量塊發生收縮回彈，張緊繩段迅速松弛，飛網在飛行方向上的約束效果減弱，迅速減小，并維持小幅度振蕩變化。

同時，本文選取飛網角節點附近的相鄰對角線繩段、邊線繩段和內部繩段進行內力分析。如圖10所示，繩段表現為不連續的間斷應力，這是因為飛網捕獲過程中，繩段經歷了松弛和張緊的反復轉換過程；同時，在碰撞過程中，對角線繩段內力遠大于邊線繩段和內部繩段內力，這是由于飛網呈“×”字展開，碰撞過程中，附加約束對角線繩段的約束作用更加明顯。值得一提的是，飛網碰撞時，對角線繩段內力突然變大，這可以為飛網系統中的自適應收口裝置［23］提供較為可靠的觸發信號。

5 結論

本文基于向量式有限元離散方法和Kelvin?Voigt本構模型，首次引入附加約束方法對空間飛網對目標體的捕獲碰撞過程進行了動力學建模和仿真，重點對飛網捕獲碰撞過程的位形、能量變化、碰撞力和繩段張力進行了探索，結果表明：

1）空間飛網在質量塊牽引下可有效地拉出展開，并在與目標體發生碰撞后，能夠較好地對目標體進行包裹收口；

2）空間飛網的能量變化和碰撞力在與目標碰撞的瞬間有個突變的過程，且碰撞力在飛行方向的分力明顯很大，說明附加約束在飛網飛行方向的約束效果較為顯著；

3）空間飛網的對角線繩段張力在碰撞過程中變化明顯，且峰值遠大于相鄰其它類型繩段，這可以為飛網設計提供一定借鑒，例如，可利用對角線繩段張力作為自適應收口裝置的觸發信號。

需指出，本文理論模型首次對空間飛網全柔性多體系統碰撞過程進行了定性分析，但本文模型精確性仍需試驗等手段進行校正修改，因此本文仿真結果的定量分析存在局限和不足，需要進一步的驗證和完善。

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（責任編輯：龍晉偉）

Contact Dynamics and Simulation of Space Net based on Appending Constraint Method

ZHEN Ming，YANG Leping，ZHANG Qingbin
（College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

Aiming at the contact problem in target capturing by space net，the Vector Form Intrinsic Finite Element Method，the“Kelvin?Voigt”viscoelastic constitution relation and the appending con?straint method were adopted to establish the contact dynamic model of the space net．The simulations were conducted to analyze the net shape，the energy variation，the impact force and the tether ten?sion during the contacted process．The results showed that the net shape，the energy and the diago?nal tether tension varied significantly during the impact contact process which may offer some refer?ence for the design of the space net system．

space net；contact process；appending constraint method；dynamic model

V412? 4

A

1674?5825（2017）04?0498?08

2017?02?28；

2017?06?25

甄明，男，博士研究生，研究方向為空間安全。E?mail：zhenming1989118＠hotmail．com