基于發現學習理論的教學設計

鄭育玲

一、教材分析

1.內容

本節課選自人教A版必修4第三章第二節，分為兩個課時，本節課為第一課時.

本節課的內容為簡單的三角恒等變換，即對正余弦的倍角公式以及正余弦的和差公式進行恒等變換得到半角公式以及積化和差和差化積公式.在這個推導過程過程中，促使學生思考如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，體會代數式變換和三角變換的不同之處，蘊含了“換元思想”“方程思想”的數學思想以及“只變其形不變其質”的變換思想.

2.地位與作用

（1）三角恒等變換的地位和作用。三角恒等變換是對必修四所學正余弦的倍角公式以及正余弦的和差公式的11個公式的綜合應用.它不僅回顧并復習了必修四中有關三角函數的11個公式，加深了學生對這些公式的記憶、理解及應用；同時，它又滲透了“換元思想”“方程思想”的數學思想，體會三角恒等變換中“恒等”的含義，也鍛煉了學生的運算能力，推理能力.

（2）半角公式的地位和作用。半角公式的推導過程可以體會學生理解“降角升冪，降冪升角”的規律，同時，獲得更多的逆向產生式以及變形產生式，幫助學生在進行三角恒等變換時，將靈活地式子中的半角，倍角換成同角，從而更快地找到合適的變形方法.

（3）積化和差和差化積公式的地位和作用。積化和差和差化積公式的推導過程可以幫助學生體會換元的思想，方程的思想，也學生意識到“積”可化為“和差”，“和差”也可以轉化為“積”，為學生在進行三角恒等變換時，提供更多的思路及方法.

二、學情分析

1.認知基礎

學生已經掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通過這些公式進行求值、化簡、證明，雖然學生已經具備了一定的觀察、推理、運算能力，但在數學的應用意識與應用能力方面尚有欠缺，即是對有目的的選用公式并進行變換以到達變換目標的能力還需要進一步培養.

2.情感基礎

高二是承上啟下的一年，學生一方面已經適應了高中的學習模式，開始由以前的被動學習逐漸變為在自己的思考、理解的基礎上進行學習；另一方面，由于高考的沖擊，開始意識到時間的緊迫，學生的學習自覺性增強.

三、教學設計思想

根據奧蘇貝爾認知同化學習理論，學習是符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當觀念建立非人為的和實質性的聯系.因此，本節課采用引導探究法，先進行有針對的復習，讓學生回顧所學的公式，再觀察已學的公式中角的特點以及三角函數名稱的特點，讓學生的認知結構具備適當的觀念以來推演發現新的公式.

四、教學過程

1.復習回顧

活動：讓學生回顧正弦、余弦、正切的兩角和差公式和二倍角公式.

點評：讓學生重新回憶起這十一個公式，為探究新知做準備.

2.課堂探究

活動1：教師讓學生觀察正弦、余弦和正切的兩角和差公式，分析式子結構的異同，通過兩式相加相減得到積化和差公式，并揭示其本質就是加減消元的過程，通過換元構建方程組解方程.緊接著證明和差化積公式 ，引導學生發現三角函數名稱以及各個角之間的聯系，通過換元法與之間展開化簡之間做對比，突出換元法的優越性.

點評：教師引導學生觀察積化和差公式，讓學生感受其結構上的同構特點及其中反映的角的三角函數與角的三角函數間的內在聯系.另外，兩式之間又反映了由角建立的轉換關系，這體現了數學上的對應轉換即映射反演的思想方法.

活動2：引導學生發現并推導降冪擴角公式 、 、 ，并從中推導出半角公式 、 、 ， 與 是什么關系？開方之后有正負，正負號該如何取舍呢？

點評：學生在熟練掌握倍角公式的基礎上，理解角的倍、半間的相對性，采用小步子教學方式，引導學生將倍角公式進行多種形式的轉換，學生更深刻第理解和掌握倍角公式，提高公式變換能力，培養運用方程思想、換元思想解決數學問題的能力.

3.鞏固提高

活動1：證明 .一方面教師引導學生從等式左邊出發，從左到右，擴角，利用降冪擴角公式.另一方面，教師引導學生從等式右邊出發，從右到左，縮角，利用縮角升冪公式.

點評：考察學生對倍角公式的的理解掌握程度，及時鞏固.

活動2：證明和差化積的另外三個等式 、 和 ，學生自主探究，教師根據巡視情況指定具有典型思路的學生上黑板板書.教師進行點評，總結解題方法.

點評：變式訓練，課堂檢驗學生的聽課效果，教師針對學生出現的問題及時調整教學計劃，完善教學過程.在學生經歷三角函數恒等變換的體會之后，教師總結出三角恒等變換的一般方法，可幫助學生理清思路，更好地著手解決三角恒等變換問題.

4.課堂小結

活動：通過舉出合適的例子，說明代數式恒等變換與三角恒等變換的區別.并總結簡單的三角恒等變換的一般方法，應注意三角函數種類和式子結構特點的變化，分析透徹.找到他們之間的聯系，即學會“三看”——看角、看函數名稱、看式子結構.

5.點評：復習簡單的三角函數恒等變換“三看”原則及數學思想方法，使學生整體上把握該知識點.

參考文獻：

[1]教學設計[M]. 高等教育出版社 ， 張祖忻， 2011 .