基于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論的教學(xué)設(shè)計(jì)

鄭育玲

一、教材分析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自人教A版必修4第三章第二節(jié)，分為兩個(gè)課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí).

本節(jié)課的內(nèi)容為簡(jiǎn)單的三角恒等變換，即對(duì)正余弦的倍角公式以及正余弦的和差公式進(jìn)行恒等變換得到半角公式以及積化和差和差化積公式.在這個(gè)推導(dǎo)過程過程中，促使學(xué)生思考如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，體會(huì)代數(shù)式變換和三角變換的不同之處，蘊(yùn)含了“換元思想”“方程思想”的數(shù)學(xué)思想以及“只變其形不變其質(zhì)”的變換思想.

2.地位與作用

（1）三角恒等變換的地位和作用。三角恒等變換是對(duì)必修四所學(xué)正余弦的倍角公式以及正余弦的和差公式的11個(gè)公式的綜合應(yīng)用.它不僅回顧并復(fù)習(xí)了必修四中有關(guān)三角函數(shù)的11個(gè)公式，加深了學(xué)生對(duì)這些公式的記憶、理解及應(yīng)用；同時(shí)，它又滲透了“換元思想”“方程思想”的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)三角恒等變換中“恒等”的含義，也鍛煉了學(xué)生的運(yùn)算能力，推理能力.

（2）半角公式的地位和作用。半角公式的推導(dǎo)過程可以體會(huì)學(xué)生理解“降角升冪，降冪升角”的規(guī)律，同時(shí)，獲得更多的逆向產(chǎn)生式以及變形產(chǎn)生式，幫助學(xué)生在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，將靈活地式子中的半角，倍角換成同角，從而更快地找到合適的變形方法.

（3）積化和差和差化積公式的地位和作用。積化和差和差化積公式的推導(dǎo)過程可以幫助學(xué)生體會(huì)換元的思想，方程的思想，也學(xué)生意識(shí)到“積”可化為“和差”，“和差”也可以轉(zhuǎn)化為“積”，為學(xué)生在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，提供更多的思路及方法.

二、學(xué)情分析

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通過這些公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明，雖然學(xué)生已經(jīng)具備了一定的觀察、推理、運(yùn)算能力，但在數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力方面尚有欠缺，即是對(duì)有目的的選用公式并進(jìn)行變換以到達(dá)變換目標(biāo)的能力還需要進(jìn)一步培養(yǎng).

2.情感基礎(chǔ)

高二是承上啟下的一年，學(xué)生一方面已經(jīng)適應(yīng)了高中的學(xué)習(xí)模式，開始由以前的被動(dòng)學(xué)習(xí)逐漸變?yōu)樵谧约旱乃伎肌⒗斫獾幕A(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)；另一方面，由于高考的沖擊，開始意識(shí)到時(shí)間的緊迫，學(xué)生的學(xué)習(xí)自覺性增強(qiáng).

三、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

根據(jù)奧蘇貝爾認(rèn)知同化學(xué)習(xí)理論，學(xué)習(xí)是符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.因此，本節(jié)課采用引導(dǎo)探究法，先進(jìn)行有針對(duì)的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生回顧所學(xué)的公式，再觀察已學(xué)的公式中角的特點(diǎn)以及三角函數(shù)名稱的特點(diǎn)，讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備適當(dāng)?shù)挠^念以來推演發(fā)現(xiàn)新的公式.

四、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)回顧

活動(dòng)：讓學(xué)生回顧正弦、余弦、正切的兩角和差公式和二倍角公式.

點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生重新回憶起這十一個(gè)公式，為探究新知做準(zhǔn)備.

2.課堂探究

活動(dòng)1：教師讓學(xué)生觀察正弦、余弦和正切的兩角和差公式，分析式子結(jié)構(gòu)的異同，通過兩式相加相減得到積化和差公式，并揭示其本質(zhì)就是加減消元的過程，通過換元構(gòu)建方程組解方程.緊接著證明和差化積公式 ，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)名稱以及各個(gè)角之間的聯(lián)系，通過換元法與之間展開化簡(jiǎn)之間做對(duì)比，突出換元法的優(yōu)越性.

點(diǎn)評(píng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察積化和差公式，讓學(xué)生感受其結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)特點(diǎn)及其中反映的角的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.另外，兩式之間又反映了由角建立的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換即映射反演的思想方法.

活動(dòng)2：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)降冪擴(kuò)角公式 、 、 ，并從中推導(dǎo)出半角公式 、 、 ， 與 是什么關(guān)系？開方之后有正負(fù)，正負(fù)號(hào)該如何取舍呢？

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生在熟練掌握倍角公式的基礎(chǔ)上，理解角的倍、半間的相對(duì)性，采用小步子教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生將倍角公式進(jìn)行多種形式的轉(zhuǎn)換，學(xué)生更深刻第理解和掌握倍角公式，提高公式變換能力，培養(yǎng)運(yùn)用方程思想、換元思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.

3.鞏固提高

活動(dòng)1：證明 .一方面教師引導(dǎo)學(xué)生從等式左邊出發(fā)，從左到右，擴(kuò)角，利用降冪擴(kuò)角公式.另一方面，教師引導(dǎo)學(xué)生從等式右邊出發(fā)，從右到左，縮角，利用縮角升冪公式.

點(diǎn)評(píng)：考察學(xué)生對(duì)倍角公式的的理解掌握程度，及時(shí)鞏固.

活動(dòng)2：證明和差化積的另外三個(gè)等式 、 和 ，學(xué)生自主探究，教師根據(jù)巡視情況指定具有典型思路的學(xué)生上黑板板書.教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，總結(jié)解題方法.

點(diǎn)評(píng)：變式訓(xùn)練，課堂檢驗(yàn)學(xué)生的聽課效果，教師針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，完善教學(xué)過程.在學(xué)生經(jīng)歷三角函數(shù)恒等變換的體會(huì)之后，教師總結(jié)出三角恒等變換的一般方法，可幫助學(xué)生理清思路，更好地著手解決三角恒等變換問題.

4.課堂小結(jié)

活動(dòng)：通過舉出合適的例子，說明代數(shù)式恒等變換與三角恒等變換的區(qū)別.并總結(jié)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的一般方法，應(yīng)注意三角函數(shù)種類和式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的變化，分析透徹.找到他們之間的聯(lián)系，即學(xué)會(huì)“三看”——看角、看函數(shù)名稱、看式子結(jié)構(gòu).

5.點(diǎn)評(píng)：復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)恒等變換“三看”原則及數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生整體上把握該知識(shí)點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1]教學(xué)設(shè)計(jì)[M]. 高等教育出版社 ， 張祖忻， 2011 .