淺談數形結合思想之“以形助數”

李蕙琳

一、數形結合思想的起源

早在數學萌芽時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數和形聯系起來了。我國宋元時期，系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關系表達成代數式之間的代數關系。17世紀上半葉，法國數學家笛卡兒以坐標為橋梁，在點與數對之間、曲線與方程之間建立起來對應關系，用代數方法研究幾何問題，從而創立了解析幾何學。

二、數形結合思想的本質

數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“數”指數學術語、數學符號、數學公式及用語言文字表現的數量信息和呈現方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現數學信息的方式。

數與形是數學研究的兩個重要方面。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數小棒、搭多邊形中認識整數，在等分圖形中認識分（小）數；利用交集圖理解公因數與公倍數等等。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。

三、數形結合思想在課堂教學中的滲透

例如，在教學《認識因數》一節時，課初呈現了一串小球（12個）。請學生思考：如何才能做到“一份一份地數，每份同樣多”且“數到最后，正好數完”？經過思考，全班交流和動手實踐，得出了可以一個一個地數，兩個兩個地數……六個六個地數……從而引發了對“因數”的認識。

這一串小球就是數形結合思想中的“以形助數”最明顯的體現。

（1）它為認識“因數”這一概念提供了直觀的教學資源。

（2）它為幫助學生理解因數是在整除背景上建立的，作了一個前期的鋪墊。（“正好數完”）

（3）它已經暗示了學生找因數的具體方法：一對一對地找。（“3個3個地數，數4次正好數完”）

在后來的教學中，這一串小球多次發揮它的作用。課后訪談時，很多同學提到這節課印象最深的就是這串小球。當然，此時，在孩子們腦中的小球已經不再局限于12個了。

在實施“如何把因數找全”這一教學環節時，我們還可以用到數軸。“在數軸上找出28的因數，什么時候就找全了？”這個最簡單的一維幾何圖形，不僅在區間思維的角度上揭示出因數的個數是有限的，一個數的最小因數與最大因數是誰，而且為后來學習倍數的無限性以及公因數、公倍數的概念提供了一個好的工具，它的運用使學生的思維水平又提高了一個層次。

小球和數軸，是工具，也是方法，教學中借助于這些有“形”的材料，才使得抽象的概念變得形象，無形的概念變得直觀。其實，這和心理學家張梅玲教授所提到的“實現圖像思維與符號思維的互動”這一理念是一致的。

再如，在教學《雞兔同籠》一節時，我們會引導學生使用假設法的思路，這個方法對于邏輯思維能力差的同學會有難度。如果配合圖形來分析，就容易理解了。例如：雞兔同籠，上有5個頭，下有14只腳，問雞兔各幾只？我們把5只總量用圓圈來表示，把14只腳用線段來表示。

（1）假設5只都是雞。

（給每只雞“裝上”2只腳）

共裝了5×2=10只腳，

（2）此時，還剩14-10=4只腳，

（3）把剩余的這4只腳，2只一組全給“裝上”，此時有4只腳的就是兔。（2只）

我把這種方法叫“畫頭安腳”法，用它來輔助假設法的思路，學生更容易理解和掌握。

小學學段的數學書中，多次出現了線段圖——《分數乘法》一章中幾乎每一個例題下面都配有線段圖。它和數軸一樣，是數形結合思想下最基本，最常用的思考工具。所以，在實施教學時，我很注重引導學生理解和使用這一工具。它的直觀、易操作性在分數乘除法教學中起到了不可替代的作用：

（1）線段圖從“平均分”的角度強化了單位“1”的概念。

（2）線段圖直觀展示了數量之間的分率關系。不僅僅是多與少，而是更為細化的倍比關系，分率關系等。

（3）利用線段圖能解決更為復雜的綜合性問題。

由于學生對于線段圖的理解和使用情況參差不齊，所以在教學之初總要花掉大把的時間。但多年的教學經驗表明，這一模型一旦在學生的思維中建立起來，后續的教學就會變得很輕松了。

四、結語

以上所述只是在教學實踐中最普通的“以形助數”的案例，數形結合思想在教學實踐中的應用極為廣泛，它實現了數學語言與直觀圖形的結合，引發了抽象思維與形象思維的互動，從而大大簡化了解決問題的過程，成為15種數學思想之首。在教學中，要注重數形結合思想的培養，既要用“形”來輔助“數”，又要用“數”來理解“形”，經過長期的滲透、訓練，達到數與形的靈活轉化，真正提高學生的數學分析能力。