縱深體驗，動態生成

房華

高中數學人教B版教材自使用以來，廣受好評。在教學實踐中，部分教師也會跟據對教材和學生的分析，將教材例習題進行必要調整或適當補充，以便在學生的最近發展區內更好地讓學生自主構建新知，提高教學效率。下面就人教B版必修二2.2.2節《點到直線的距離》一節的例習題教學設計，談談自己的認識。

一、教材分析

點到直線的距離，是“直線的方程”的最后一節內容，它是在學習了直線相關知識的基礎上，探索如何用代數方法研究距離問題，實現了由平面幾何的幾何度量過渡到解析幾何的代數計算。它既是前面所學知識方法的延續，又為后面直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習，奠定了基礎，具有承上啟下的作用。同時，教材通過讓學生經歷點到直線的距離公式的探究與應用過程，進一步體會解析幾何的本質：用代數方法解決幾何問題。

二、例習題設計

本節課分公式推導和公式的簡單應用兩個環節。在公式推導環節教材的處理是直接給出求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式的推導過程，一方面推導的思路方法單一，不利于學生發散思維能力的培養。另一方面運算化簡技巧較強，學生不容易想到，也不易于學生理解和接受。為了分散難點，提高學生思維的參與性，通過對引例調整充實，將公式的推導過程分三個階段完成，教學設計如下：

第一階段：解決特例，啟發思維

首先回顧初中“點到直線的距離”的定義，然后教師提出：

問題1：求點P（1，2）到直線l：x-2y+2=0的距離。

先讓學生獨立思考，然后小組討論交流，最后小組代表展示、講解解決問題的方法和步驟，教師點評，簡要板書。

【設計意圖】B版教材直接呈現的是問題：求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離。但高一學生的抽象思維能力和對代數式的化簡能力不足以直接解決此問題。因此通過問題1為學生搭建“墊腳石”。

第二階段：小組合作，推導公式

問題2：求點P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C

=0（A2+B2≠0）的距離。

在學生得出了幾種不同的思路后，提出問題2。由學生分小組自選思路，進行公式推導。之后教師選取有代表性的作品，讓學生投影展示，根據學生的展示，教師利用ppt輔助點評。因為求垂足坐標的方法，思路自然，預測會有多數學生選擇這種方法。但較多的學生在有限的時間里并不能得到答案。因此教師屏幕展示這種方法的推導過程。

解：設直線m的方程為Bx-Ay+D=0將P（x1，y1）代入得D=Ay1-Bx1，m的方程為Bx-Ay+Ay1-Bx1=0聯立m與l方程得

解方程組求得點P0的坐標

教師提出以下思考問題：

結合目標式的結構特點，是否有簡化運算的方法？

可以不求垂足P0的坐標嗎？

教師引導學生進一步分析目標式和已知式的特點，提出整體代換的思想。即可將x1-x0和y1-y0分別視為一個整體。構造關于x1-x0和y1-y0的兩個方程式。

此時教師放手，讓學生根據目標式完成后續推導過程，體會設而不求，整體代換的方法在簡化運算中的作用。

【設計意圖】一方面讓學生實踐體會公式的推導過程，培養學生的運算能力，另一方面使學生體驗探索的艱辛，培養學生鍥而不舍的鉆研精神。

第三階段：分析公式，加深認識

思考問題：

①點P在直線l上時成立嗎？

②公式結構特點是什么？

③用公式時直線方程是什么形式？

在公式的應用環節，為了逐步完成教學目標，設計了公式的直接應用和靈活應用兩個層次的題目，每個層次的題目均對教材例題進行了巧妙的改編，并增加了相應的鞏固練習。

例1 求點P（1，2）到直線l：x-2y+2=0的距離。

鞏固練習：

（1）求點到相應直線的距離.

①l：2x+y=5 ② ③l：x=2

（2）點到直線的距離為3，求m.

（3）在x軸上求與直線3x+4y-5=0的距離等于5的點的坐標。

例題是公式推導環節中的引例，屬于公式的直接應用。鞏固練習（1）取自教材例習題的改編。第①②題需要先化為一般式，再用公式；第③題為特殊情況，可化為一般式用公式解決，也可數形結合解決。鞏固練習（2）、（3）為逆用公式的題目，公式中有6個量，可知五求一，利用方程的思想解決問題。

例2 探究兩平行直線l1：Ax+By+C1=0，l2： Ax+By+C2=0（C1≠C2）之間的距離公式，并給出證明。

鞏固練習：

（1）求兩直線l1：2x+y+1=0，l2： 2x+y-3=0的距離。

（2）求兩直線l1：2x+y+1=0，l2： 4x+2y-3=0的距離。

【設計意圖】將教材中的例題2改為“開放式”，通過例2的探究，將平行線間的距離轉化為點到直線的距離，既是對點到直線距離的靈活運用，又讓學生充分體驗數學中的類比、轉化的思想。

三、設計特色

（1）本節課的設計尊重教材又創造性地使用教材，通過由特殊到一般，具體到抽象的探究問題的過程使學生在充分的體驗和感悟中經歷了公式的形成過程，體會到多種數學思想方法的應用。

（2）通過體驗公式的推導過程，使學生“經歷挫折，體驗山重水復；敞開視野，享得柳岸花明”。培養學生的運算能力，和勇于探索，鍥而不舍的鉆研精神。

總之，在進行教學設計時，立意要高遠，是僅重視結論還是重視學生對過程的體驗，是著眼于技能、應試的需要，還是著眼于學生的數學素養和數學能力的提高，這些都是我們在教學中應時刻反思的，這樣才會促進學生的長遠發展。

參考文獻：

[1]普通高中數學課程標準（實驗）2003[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數學必修二教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2009.