福建全省統一命題視角下的數學中考應用題分類評析

蘇圣奎++陳清華++吳寶樹

摘 要：數學中考試題中應用題的合理命制對考查、評價學生數學建模素養具有重要意義.通過對2013-2015年福建省九個設區市中考數學試卷中的應用題進行分類評析，促進師生關注應用題其潛在價值及對數學中考統一命題的啟示.

關鍵詞：統一命題；數學中考；應用題；數學建模

《義務教育階段數學課程標準（2011年版）》[1]提到：“使學生獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要的數學知識以及基本的數學思想和必要的基本技能.使學生初步學會用數學的思維方式去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識.”其中，“應用意識”做為六大基本能力之一，《2016年福建省初中學業考試大綱（數學）》在課標要求的基礎上對其進行了解讀，即“認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題可以抽象成數學問題，并有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題.”[2]我國著名數學教育專家張奠宙教授曾經說過：“應用題的本質就是數學建模”.作為數學核心素養的重要組成部分，提升學生數學建模能力要依托與現實生活緊密相關的數學應用題教學。下面以2013-2015年福建省九個設區市數學中考試卷中的應用題為載體進行分類評析，并闡述筆者的思考與認識[3].

1 2013—2015福建省九地市中考數學應用題分類評析

這三年里，福建各設區市中考數學應用題主要考查代數式、方程（一元一次方程、分式方程、一元二次方程）、一元一次不等式（組）、函數（一次函數、二次函數）及解直角三角形等知識內容，大部分設區市的題量在1至2題，個別設區市達到4題，考查分值介于4—28分之間，差異較大，根據這三年各設區市中考數學應用題考查的知識內容，可分為六種類型：代數式型，方程（組）型，不等式型，解直角三角形型，幾何綜合型，函數型.由表1的統計結果可以看出：

（1）方程型（含整式方程和分式方程）應用題占據“半壁江山”，大部分題目都賦予了生活情境，能從學生已有的生活經驗出發，讓學生感受到數學來源于生活，又應用于生活，彰顯了數學的應用價值，有利于引導學生聯系生活實際，培養學生的數學應用意識.

（2）函數型（含一次函數、二次函數）應用題體現了創新性和綜合性強的特點，近三年反比例函數應用題雖未進入考查范圍，但不容小覷.在全省統一命題及高中使用全國卷的兩大背景下，為了更好地進行初高中數學知識的銜接，發揮中考的導向作用，函數型試題將成為中考命題的重點.

（3）銳角三角函數與幾何圖形的綜合考查成為應用題命題的一個亮點，有利于提升學生的數學抽象能力.

（4）方程（組）、不等式（組）及函數是“數與代數”知識領域的核心內容，各知識體系之間聯系緊密，數學建模的過程也較為相似.為了能較好地考查學生的數學基本素養及應用能力，這三個方面知識的綜合考查成為中考命題的常態.

1.1 代數式型

例1 （2015廈門第7題）某商店舉辦促銷活動，促銷的方法是將原價x元的衣服以〔■x-10〕元出售，則下列說法中，能正確表達該商店促銷方法的是（ ）.

A. 原價減去10元后再打8折

B. 原價打8折后再減去10元

C. 原價減去10元后再打2折

D. 原價打2折后再減去10元

【評析】此題主要考查了代數式的應用.代數式是最基本的數學語言，能有效、簡捷、準確地揭示由低級到高級、由具體到抽象、由特殊到一般的數學思維過程，富有規律性和啟發性，能考查學生抽象、概括思維能力及數學建模核心素養.代數式的應用應關注數學語言和生活中文字語言的轉化，如解答此題的關鍵是要明確“折”的含義，將“折”轉化為代數式的數學模型，即“x元商品打m折”等價于代數式■mx.試題表述簡潔、清晰，問題設計角度新穎，體現了注重算理理解而不是機械記憶的教學導向，同時滲透了應用意識.

1.2 方程（組）型

例2 （2014漳州第15題）水仙花是漳州市花，如圖1，在長為14m，寬為10m的長方形展廳，劃出三個形狀、大小完全一樣的小長方形擺放水仙花，則每個小長方形的周長為_________m.

【評析】本題考查一次方程（組）的應用，既可以運用一元一次方程，也可以列二元一次方程組來解決問題.題目以學生熟悉的水仙花為背景，需要學生建立對應的方程（組）模型來解決問題，有效滲透數形結合和數學建模思想.方程組的求解可以靈活運用數學運算的小技巧，實現快捷運算，在中考這種“限時型”的考試中，應關注此類運算技巧，有利于提升學生運算能力，培養數學運算核心素養.

1.3 不等式型

例3 （2015龍巖第23題）某公交公司有A，B型兩種客車，它們的載客量和租金如表2：

紅星中學根據實際情況，計劃租用A，B型客車共5輛，同時送七年級師生到基地校參加社會實踐活動，設租用A型客車x輛，根據要求回答下列問題：

（1）用含x的式子填寫表3：

（2）若要保證租車費用不超過1900元，求x的最大值；

（3）在（2）的條件下，若七年級師生共有195人，寫出所有可能的租車方案，并確定最省錢的租車方案.

【評析】此題主要考查了一次不等式的綜合應用，題目以師生參加社會實踐為背景，從學生的現實認知出發，考查學生對基本數量關系的認識，要求學生具備解讀表格信息，處理數學信息的能力，并以此來建立不等式模型，關注了學生的數學建模素養，較好地考查了學生運用不等式和分類討論思想的綜合能力.

1.4 解直角三角形型

例4 （2013三明第18（2）題）如圖2，已知墻高AB為6.5米，將一長為6米的梯子CD斜靠在墻面，梯子與地面所成的角∠BCD=55°，此時梯子的頂端與墻頂的距離AD為多少米？（結果精確到0.1米）

（參考數據：sin55°≈0.82，cos55°≈0.857，tan55°≈1.43）

【評析】本題考查了銳角三角函數在直角三角形中的應用，以學生熟悉的行程問題為背景，貼近生活.題目要求學生能在直角三角形中建立三角函數模型，并進行簡單的數字運算，在考查學生將文字信息轉化為數學信息的過程中，也充分關注了學生運用數形結合和數學建模的思想的基本意識.

1.5 函數型

例5 （2014莆田第23題）某水果店銷售某中水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價y1（元）與銷售時間第 月之間存在如圖3（一條線段）的變化趨勢，每千克成本y2（元）與銷售時間第x月滿足函數關系式y2=mx2-8mx+n，其變化趨勢如圖4.

（1）求y2的解析式；

（2）第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【評析】本題以現實生活中動車售票情況為背景，考查學生對一次函數、二次函數圖象的理解與應用，要求學生在理解題意的基礎上，能將問題中的文字語言和圖形語言轉化成數學的符號語言，求出函數的解析式，并運用函數這一數學模型來解決問題，注重對數學抽象及數學建模核心素養的考查，體現出數學在現實生活中的重要作用，彰顯了數學應用于生活，服務于生活的科學性與實用性，符合課標“用數學的思維方式觀察、分析現實社會，解決日常生活和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識”的要求.

1.6 幾何綜合型

例6（2013南平第24題）2013年6月11日，“神舟”十號載人航天飛船發射成功！如圖5，飛船完成變軌后，就在離地球（⊙O）表面約350 km的圓形軌道上運行.當飛船運行到某地（P點）的正上方（F點）時，從飛船上能看到地球表面最遠的點Q（FQ是⊙O的切線）.如圖6，已知地球的半徑約為6400 km.求：

（1）∠QFO的度數；（結果精確到0.01°）；

（2）地面上P，Q兩點間的距離（PQ的長）.

【評析】本題綜合考查了切線的性質，圓的切線垂直于過切點的半徑.弧長公式和解直角三角形的應用.要求學生能解讀題中所給的文字及圖形信息，并準確地轉化為數學符號語言，建立幾何模型進行運算，注重對數學抽象及數學建模核心素養的考查，引導教師關注學生文字閱讀和讀圖識圖能力的培養，并加強數學基本運算能力的訓練.

2 數學中考全省統一命題的啟示

（1）重視文字閱讀，培養表達能力

著名數學家蘇步青教授認為，學不好語文的學生，將會大大限制他在其它學科的發展.可見學生要學好數學，培養其在文字理解及表達方面的能力是至關重要的，教師要重視在日常課堂教學中給學生留出獨立讀題和審題的時間，引導學生閱讀文字，解讀信息，找出每段文字的關鍵詞，把“關鍵詞”、“關鍵句”用數學符號語言進行“翻譯”，轉化成數學問題.進而建立數學模型，解決相應的數學問題，培養學生數學符號語言的表達能力.

（2）注重題型歸納，提升建模素養

初中階段數學應用題的基本數學模型較為典型的有方程（組）型、不等式（組）型、函數型等，以一元二次方程的應用題為例，有“握手”問題，“互贈禮物”問題，增長率問題，傳染病問題等，每一種類型的問題都有其基本的方程模型，教師應扎扎實實做好相關問題的教學，有意識地培養學生的數學建模思想，使學生在掌握基本數學模型的同時，能舉一反三，觸類旁通，從而提升學生的數學核心素養.

（3）加強題型變式、引導多向探究

挖掘基礎題型的“變式”潛力，層層遞進，題型變式和多向探究能有效拓展學生思維.常見到一些中考題的原型來自課本例題，略作修改就是一道經典的應用型改編題.教師在中考復習過程中應重視對課本例題、習題的挖掘與研究，形成各類典型應用問題的“變式問題鏈”，引導學生充分思考，多向探究，關注數學思維的生成過程，促進學生在問題探究中完成對數學知識的整體建構，使學生逐步具備靈活運用數學知識解決實際問題的應用能力，避免“題海戰術”，提升教學效果.

（4）放眼現實生活，發展應用意識

“數學來源于生活，又應用于生活”，這句體現數學與生活關系的至理名言經常被數學教育工作者們津津樂道，也應成為學生的一種真切的感悟.教師應重視“實驗與探究”和“課題學習”等相關數學活動的開展，在日常課堂教學中引導學生關注社會生活動態，主動運用數學知識來思考生活問題，用數學的眼光探索新知，培養學生應用數學的意識，增強學生的創新意識和綜合能力.

參考文獻：

[1]教育部基礎教育司.全日制義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]福建省教育廳.2016年福建省初中學業考試大綱（數學）[S].閩教基[2016]6號，2016.

[3]蘇圣奎，陳清華.2015年福建省中考數學函數題型分類評析[J].福建中學數學，2016（7）：5-9.