淺析高中幾何題的解題方法與技巧

王麗云

[摘 要] 代數與幾何是高中數學學習內容中相互依存、密不可分的兩大組成部分，從某種意義上來說，幾何的學習可以認為是代數學習的一個重要基礎，因此，學好高中幾何對于學生來說其意義是重大的，也是必要的. 作為高中數學教師來說，加大對高中幾何題的研究與思考也是必然的.

[關鍵詞] 高中幾何；重要性；學習障礙；方法技巧

數學學科是學生日常生活中運用最為頻繁的三門主要學科之一，因此，學好數學對于每位學生來說都顯得尤為重要. 對于高中生來講，高中數學的學習對于學生數學素養及其全面素養的發展都非常有意義，數學跟其他學科的學習相比而言，它是一門復雜、難懂、抽象并需要嚴密邏輯思維的學科. 高中幾何除擁有高中數學學科的這些特點之外，還需要學生具備超強的空間想象能力才能在解題中更加游刃有余，因此，高中幾何的學習對于學生來說的確是有難度的. 筆者結合多年的教學實踐結合高中幾何的重要地位、幾何學習的一般性障礙以及解決幾何題的方法和技巧進行了粗淺的探究.

[?] 幾何學習在高中數學學科中的重要地位

首先，日常數字的運用以及經濟等各方面的需要都是與我們生活息息相關的數學的問題，而生活中高聳的飛檐走壁以及美輪美奐的高樓大廈正是幾何學運用得恰到好處給我們帶來的美感. 學生如果要將物理、化學、生物等學科學好，那么學好數學應該是學生最應該做到的，而世界萬物的構造又都離不開能夠為其展現宏偉外觀的幾何學，所以，從某種意義上來講，高中數學中的幾何是具備生動活潑的美麗特征的. 因此，高中教師在數學教學的過程中應該關注與重視幾何學習這一關鍵點. 其次，高中幾何的學習往往會給學生的數學學習帶來困擾，學生在幾何題目的解決上花費的時間和精力往往能夠占到數學學習總時間的三分之一，依據幾何在數學學科所有內容中的比例來講，用這么多的時間和精力花費在幾何題目的解決上顯然是不可取的. 因此，對于高中數學教師來講，提高幾何題的教學效率與效果并幫助學生建立幾何學習的科學技巧與方法是教師必須慎重考慮和研究的.

[?] 學生在高中幾何學習過程中存在的一般性障礙

其一，學生對于空間感知能力和圖形的認知能力不夠. 學生的空間感知能力和想象能力都是逐步發展的，對于欠缺很多生活實際經驗的學生來說，大部分學生在空間感知能力的發展上都是比較滯后的，而且男女性別的差異使得這一點在幾何學習的過程中造成的差距特別大，這也正是高中學生幾何學習中最基本的學習障礙.

其二，整體認知度不夠或認知策略不夠科學恰當. 在高中幾何的學習中，空間感知能力差的男生與大多數女生的理解認知能力明顯落后，在幾何題的認知與解決中往往不習慣從整體上把握題意，這部分學生在幾何題的分析與解決中往往依賴教師系統、有條理的認知策略安排，學習上比較被動，獨立思考也就更加欠缺了.

其三，對幾何題分析、加工的能力不足. 在立體幾何的學習中往往需要學生靈活思辨的整體思維以及立體圖形的重構與演化能力，這對學生空間想象思維以及幾何題的分析與加工提出了更高的要求.

其四，情感、興趣等內在動力的缺乏. 排除以上可能造成學生幾何學習障礙的因素，學生幾何學習的情感、興趣等的缺乏也是造成學生幾何學習產生障礙的重大因素.

[?] 解決幾何題的方法和技巧小結

1. 加強學生對幾何學習中的點、線、面、立體各層面的定理的熟練掌握訓練

高中幾何的解題思路一般來源于平面定理與立體定理的靈活運用中. 勾股定理是平面幾何中最為常見的：直角三角形中兩條直角邊平方的和（勾股的平方和）與第三邊即斜邊（定理中稱之為弦）邊長的平方相等. 對于任何一組勾股數（a，b，c）都可以作如下表達：a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2）. 其中，k，m，n必須滿足都是正整數這一條件且m>n. 勾股定理還有逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，最長邊所對的角為直角. 在某些幾何題的計算與求解中，運用勾股定理可以求出三角形的邊長，而三角形是否為直角三角形則可以運用勾股定理的逆定理來檢驗.

2. 注重學生學習幾何的興趣與愛好的養成

幾何圖形是枯燥的數學學習中能夠為學生增添樂趣與美感的潤滑劑. 比如說，很多的解題思路與基礎便是幾何圖形所提供的，而且幾何圖案的設計在平面設計、室內設計、建筑設計等多個領域也越來越流行，使得我們在隨處可見的幾何圖形的拼接中感受到令人震撼的美；很多圖形所具備的性質也在生活中經常被運用，比如屋頂、自行車架、塔吊固定等都應用了三角形穩定性與牢固性這一特性. 在現實生活中，只要稍加觀察，我們就能發現幾何圖形、紋路的存在觸目可及、比比皆是. 因此，教師在幾何的教學中，可以引導學生運用幾何圖形進行不斷地拼接和創作造型，使得學生在天馬行空的無限遐想中發揮自身的空間想象能力并對幾何的學習產生興趣.

3. 培養學生思維的發散性及剖析題目的層次性

不管是平面幾何還是立體幾何的解題中，層層遞進進行解題是解決問題特別是解決求證題時經常應用的技巧. 首先在已知條件與題中所需求證內容的整合下對題目進行逐層剖析，并在分析與思辨的過程中逐步獲得求證所需的條件，然后對照已知的條件分析解題的各個條件是否充足，在條件不夠充足的情況下充分運用逆向思維的解題技巧分析出解題所需的但暫不具備的條件，最后在理清解題思路之后，將輔助線的運用、定理及逆定理的運用與已知條件進行有機整合，找出“已知”與“求證”之間所需的橋梁并最終將題目解決.

例1：如圖1所示，∠DAC是△ABC的外角，AE是該外角的平分線，并且AE∥BC，請嘗試證明：AB=AC.

首先依據定理與已知條件對題目進行分析：如果能夠證明△ABC是等腰三角形，那么AB=AC也就自然成立了. 若想證明△ABC是等腰三角形首先要有∠B=∠C. 通過AE是△ABC外角∠DAC的平分線以及AE∥BC，可得∠DAE=∠B，∠EAC=∠C=∠B，最終可以證明得到△ABC是等腰三角形，則有AB=AC.

4. 組織并引導學生揚長避短分組討論解決問題

創造解題的條件是幾何解題思路中最為關鍵的一步. 實際解題中往往因為個人思維的定向性以及思路的狹隘從而在幾何解題中產生障礙. 小組多人探討交流的形式能夠使學生的解題靈感與思路得到有力激發和觸動，往往能使學生產生茅塞頓開的感覺.

例2：AB，AC是△ABC的兩條邊且兩邊相等，AB上有一點記作D，AC延長線上有一點記作E，并有BD=CE，F是DE連線與BC的交點，請嘗試證明：DF=EF.

從題目的已知條件以及需要求證的內容進行分析，輔助線是必須創造出來用于證明的條件.

（2）通過D作一直線并使其與AE平行，與BC相交，交點記作G（如圖4），BD=DG這一條件很快可以得出.

（3）作BC的延長線到G，令CG=BF，連接EG（如圖5），△BDF≌△CEG這一條件很快就能得出.

5. 引導學生多觀察并在觀察中發現、歸納、總結

生活中的一個墻角甚至一個紙盒都可以成為高中幾何學習中的素材，因此，教師要善于從生活中挖掘事物模型并為學生建立直觀形象的認知. 比如，在兩直線異面垂直的教學中，教師可以引導學生在教室的墻面上發現與知識點相符合的兩直線，使學生對于該知識點的印象尤為深刻，并在以后應用中能聯想起教師這樣的引導. 因此，觀察與發現是學生提高幾何學習與解題的一個有效方法.

總之，幾何圖形的引入對于事物周長、面積、體積的研究都是相當有意義的，幾何的學習與解題也是高中數學相當重要的一部分，而數學學習的優劣在很大程度上決定了高考的成敗，故高中幾何學習是數學學習中不可忽略的一個重要組成部分. 因此，每位學生都應重視幾何的有效學習并在教師引導下積極尋求適合自己的解題方法與技巧，從最基本的幾何知識點滴積累，使得每個學習的關鍵“點”連貫成前后貫通的一條“線”，使得自身的數學思維和數學素養在“潤物細無聲”的點滴積累中持續螺旋形上升并發展，最終達到厚積薄發的優良局面.