羅爾定理在微分方程邊值問題中的應用

陳 鑫

(北京信息科技大學 理學院, 北京 100192)

羅爾定理在微分方程邊值問題中的應用

陳 鑫

(北京信息科技大學 理學院, 北京 100192)

以一個變系數的4階線性齊次微分方程的邊值問題為例,根據所給邊界條件在不同的區間上多次使用羅爾定理證明所給區間內有多個零點,再運用數學歸納法證明該方程只有零解。對于已知邊界條件個數多于方程階數的線性齊次微分方程的邊值問題,給出了只有零解的一般性結論。最后,將羅爾定理推廣至n階導數的情形,亦可得到類似的結論,進而,該方法可應用于討論類似的n階(n≥2)變系數線性齊次微分方程的邊值問題。應用羅爾定理討論線性齊次微分方程邊值問題的解,拓寬了微分中值定理的應用范圍。

羅爾定理; 變系數; 微分方程; 邊值問題; 數學歸納法

0 引 言

微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,它們是微分學中非常重要的基本定理,是導數應用的橋梁[1-2]。對于微分中值定理的探討,主要集中在定理的證明方法、結論的應用以及推廣上[3-8]。微分中值定理被廣泛應用于求極限、研究函數性態、證明恒等式和不等式、判定代數方程根的個數等方面。本文將以一個變系數的4階線性齊次微分方程的邊值問題為例,應用羅爾定理討論其解的情況,即證明該類微分方程只有零解,并給出一個一般性的結論。這是羅爾定理在討論具有變系數的線性齊次微分方程解的方面的應用,并且可以推廣至n階情形。

1 問題的提出

在研究偏微分方程的特征值問題時,通常需要求解常系數或變系數的線性齊次微分方程[9],有時會遇到齊次邊界條件的個數大于方程的階數的情形。

如果線性微分方程是常系數的,例如

可以寫出其通解

將邊值條件代入y(x),y′(x),y″(x)和y?(x)中,得到關于C1,C2,C3和C4的四元線性齊次方程組

C1+C2+C3+C4=0

C1-C2+iC3-iC4=0

根據線性齊次方程組解的性質可知

C1=C2=C3=C4=0

從而y(x)≡0。

但如果方程是變系數的,則很難寫出通解形式,例如,考慮變系數的4階線性齊次微分方程的邊值問題:

(1)

其中:常數λ≠0;0

可以應用羅爾定理證明該方程只有零解,即y(x)≡0。

2 結論的證明

因為y(0)=y(1)=0,所以由羅爾定理可知,至少存在1點ξ1∈(0,1),使得y′(ξ1)=0;又因為y′(0)=0,故至少存在1點ξ2∈(0,ξ1),使得y″(ξ2)=0,亦即u(ξ2)y″(ξ2)=0;而y″(1)=0,即u(1)y″(1)=0,所以至少存在1點ξ3∈(ξ2,1),使得(u(x)y″)′(ξ3)=0;再由(u(x)y″)′(1)=0,可知至少存在1點ξ4∈(ξ3,1),使得(u(x)y″)″(ξ4)=0。將其代入式(1)的第1個方程,可得

由于λ≠0,v(x)>0,故y(ξ4)=0,即y(x)在(0,1)內至少有1個零點ξ4。

下面證明:如果y(x)在(0,1)內有n個不同的零點,則y(x)在(0,1)內必有n+1個零點。

不妨假設

其中α1,α2,…,αn為y(x)在(0,1)內的n個不同的零點,加上邊界條件,則有

分別在區間(αi,αi+1),(i=0,1,2,…,n)上應用羅爾定理,可得至少存在βi∈(αi,αi+1),即

滿足y′(βi)=0。又因為y′(0)=0,將上述過程應用于y′(x),則存在γi,(i=0,1,2,…,n),滿足

使得y″(γi)=0,亦即u(γi)y″(γi)=0;而y″(1)=0,即u(1)y″(1)=0,進一步可知,存在ηi,(i=0,1,2,…,n),滿足

使得(u(x)y″)′(ηi)=0。再由(u(x)y″)′(1)=0可知,存在ζi,(i=0,1,2,…,n),滿足

使得(u(x)y″)″(ζi)=0.將其代入式(1),可得

由于λ≠0,v(x)>0,故y(ζi)=0,即y(x)在(0,1)內有n+1個零點。

由于y(x)滿足方程 (u(x)y″)″(x)=λ2v(x)y(x),而該方程的解是唯1的,所以y(x)≡0。

3 結 論

從上面的討論不難看出,對于一個形如(1)的變系數的線性齊次微分方程而言,如果已知的齊次邊界條件個數大于方程的階數,則應用羅爾定理可以證明方程只有零解。從羅爾定理應用的角度來看,羅爾定理不僅可以應用于討論代數方程的根的情況,而且還可以應用于一類微分方程解的研究,羅爾定理的應用范圍得到進1步的拓寬。

另一方面,由上述問題的證明過程,可以得到如下推廣的羅爾定理。

定理 假設函數f(x)在[a,b]有直到(n-1)階的連續導數,在(a,b)內f(n)(x)存在,對于[a,b]上滿足a1

這個推廣至n階導數情形的羅爾定理可應用于討論類似(1)的n階(n≥2)變系數線性齊次微分方程的邊值問題。

[1]同濟大學數學系. 高等數學[M]. 7版. 北京:高等教育出版社, 2014:125-126.

[2]復旦大學數學系. 數學分析[M]. 2版. 北京:高等教育出版社, 1994:173-178.

[3]劉文武. 兩個微分中值定理證明中輔助函數作法探討[J]. 數學的實踐與認識, 2005,35(8):242-247.

[4]王家軍. 微分中值定理的另類證明與推廣[J]. 大學數學, 2008,24(3):169-171.

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[9]CHEN Xin,CHENTOUF B,WANG Junmin. Exponential stability of a non-homogeneous rotating disk-beam-mass system[J]. J Math Anal Appl, 2015,432(2):1243-1261.

Application of rolle theorem in boundary-value problem of ODEs

ChenXin

(School of Applied Science, Beijing Information Science and Technology University, Beijing 100192, China)

A fourth-order linear homogeneous ODE with variable coefficients is considered as an example and Rolle’s theorem is applied many times in different intervals according to different boundary conditions. The conclusion that there are more than one null points in the given interval combined with the mathematical induction proves that the ODE has only zero solution. A further conclusion is that the linear homogeneous ODE only has trivial solution if it has more homogenous boundary conditions than its order. Finally the extension of Rolle’s theorem to thenth derivative is presented, which can be used to deal with the similar nth-order linear homogeneous ODEs with variable coefficients (n≥2). Another application of Rolle’s theorem in boundary-value problem of ODEs makes the application range of the differential mean value theorems more wide.

rolle’s theorem; variable coefficients; differential equation; boundary-value problem; mathematical induction

2016-10-31。

國家自然科學基金青年基金資助項目(71501016); 北京市教委科研計劃項目(KM201511232018)。

陳 鑫(1978-),女,遼寧沈陽人,北京信息科技大學講師,博士。

1673-5862(2017)03-0353-03

G642

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.018