靜電場邊值問題中唯一性定理的應用

鄭 偉, 高天附

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

靜電場邊值問題中唯一性定理的應用

鄭 偉, 高天附

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

在電磁場理論中,關于靜電場邊值問題的求解是重要而基本的。關于靜電場邊值問題的求解,在一般情況下可歸結為在給定邊界條件下求解場方程的問題,唯一性定理是求解靜電場邊值問題的理論基礎。在電磁場相關課程中,靜電場邊值問題的求解都是教學中的重點和難點,但是作為判斷場解正確性和唯一性的唯一性定理卻經常被忽視。針對靜電場邊值問題的幾種典型解法,以典型習題為例,深入分析了在各種解法中唯一性定理的應用及其重要意義,說明了在靜電場邊值問題中應用唯一性定理解題的思路和技巧。結合教學實踐,指出了加強唯一性定理教學對于靜態場教學的重要性,給出了關于唯一性定理教學的具體建議。

唯一性定理; 靜電場; 邊值問題

靜電場的求解方法和特殊函數是動態電磁場的邊值問題求解的基礎,關于靜電場的求解在電磁場理論中是重要而基礎的。靜電場求解問題可歸結為在給定邊界條件下求解場方程的問題,通常情況下可化為一定邊值條件下解二階偏微分方程的問題,一般統稱為靜電場邊值問題。對于靜電場邊值問題已有許多解法,而其所得解是否唯一皆由唯一性定理[1]給出。靜電場的唯一性定理是確立靜電場有唯一正確解的標準,是關于求解靜電場的各種方法的理論基礎。

在相關電磁場理論課程的教學中,靜電場的邊值問題的求解是教學中的重點[2-6],同時也是教學難點,教師在教學中關注點多在具體的各種解法上,而學生在學習中對多種解法應接不暇,在教與學的過程中大多會忽略作為基礎的唯一性定理。實際上,唯一性定理對于求解靜電場邊值問題有極其重要的指導意義,對唯一性定理的理解和應用常常在解決實際問題時有事半功倍的效果。本文從教學實踐出發,針對靜電場邊值問題的常見解法進行分析,討論唯一性定理在其中的重要應用,希望能為唯一性定理的教學提供一點思路。

1 唯一性定理

關于此定理的應用需注意:1)在滿足唯一性定理的條件下,解是唯一的,但是不同情況下解的具體表述形式可以是不同的;2)區域的邊界條件可以分為3種,第1類為Dirichlet邊界條件即給定邊界電勢;第2類為Neumann邊界條件即給定邊界電勢的法向導數;第3類為混合邊界條件即已知一部分邊界電勢,已知一部分邊界電勢的法向導數[7-9]。

2 定理的應用

靜電場的唯一性定理可以用來直接或間接求解靜電場[10-13],如常用的試探法、鏡像法求解靜電場,而其他求解靜電場的常規方法如分離變量法和格林函數法,在求解靜電場時以解析法直接解場方程的方式得到場解,似乎無需用到唯一性定理,但實際求解時,唯一性定理的應用解決了所得解的正確性和唯一性的問題。以下以典型的靜電場求解問題為例闡明定理的應用和重要性。

2.1 唯一性定理在鏡像法中的應用

圖1 鏡像電荷設置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the setting for image charge

鏡像法是求解靜電場邊值問題較為直觀的方法。

典型習題1 在2種不同的均勻介質分界面的一側有一自由電荷q,距界面距離為d,求空間的場。解此問題需選擇直角坐標系。介質交界面處的邊界條件為

如圖1,在介質2和介質1中分別放置鏡像電荷q′和q″,則兩介質中的電勢分別可以寫為

將此解代入邊界條件,可得

由以上求解過程并不能發現唯一性定理的應用,但此問題的解決唯一性定理起了非常重要的作用,分析如下:1)由題干可知,介質1中有一個點電荷,介質2中無自由電荷,由唯一性定理,即求解區域中自由電荷分布給定,故在介質1中電勢滿足泊松方程,在介質2中滿足拉普拉斯方程;2)由題干可知,由于兩種介質中只有一個自由點電荷,故區域有一邊界條件為無窮遠處電勢為零;3)嘗試解的點電荷表達式滿足場方程和全部邊界條件,由唯一性定理,此解是該問題的唯一正確的解。

在使用鏡像法求解靜電場時,鏡像電荷的設置和場解的具體形式必須在滿足唯一性定理的前提條件下提出,即鏡像電荷不能放置在待求場區,否則影響場方程,解的形式除了滿足介質交界面上的銜接條件外,還要滿足其他邊界處的條件,這樣才能保證場解是唯一正確的。故唯一性定理的應用是鏡像法解題的核心思想之一。在教學中要強調唯一性定理的思想,這樣學生在學習鏡像法的時候思路會更加明確,實際應用此解法時鏡像電荷的設置和試探場解的提出才更加有的放矢。

2.2 唯一性定理在分離變量法中的應用

分離變量法是較為嚴格的數學解析求解場方程的方法。

典型習題2 在均勻外場E0中放一半徑為R的的接地導體球,求空間的場。解此問題需選擇球坐標系。考慮對稱性球外電勢φ的通解形式為勒讓德函數

邊界條件為

利用邊界條件可得通解中的系數

故場解為

以上解題過程為利用分離變量法,結合邊界條件,在球坐標系中解得最終結果。該解法表面看來不需要應用唯一性定理,仔細分析會發現唯一性定理的思想深入整個解題過程。分析如下:1)由題干可知,待求解區域中無自由電荷,滿足拉普拉斯方程,故由對稱性可以分離變量;2)由題干可知,此問題滿足第一類邊界條件,即已知邊界處的電勢;3)實際計算時代入邊界條件的計算過程,只要對應系數相同即可,由此得到的解滿足場方程和全部邊界條件,由唯一性定理可知,是唯一正確的解,在計算時無需嚴格解析求解,大大簡化了計算過程,降低了解題難度。

在使用分離變量法得到靜電場場解的過程中,使用唯一性定理分析問題可以使解題思路明確,數學計算簡化,場解的唯一正確性得到理論上的保證。在教學過程中,分離變量法較為嚴格的數學解析過程較容易為學生接受,故如果先由分離變量法開始,分析唯一性定理的應用思想,深入剖析問題的物理本質,進而嘗試使用其他解法更容易令學生接受,在教學中會起到良好的效果。

2.3 應用唯一性定理直接求解靜電場

試探法是直接應用唯一性定理求解靜電場的方法。

圖2 位于介質中的帶電圓柱Fig.2 Charged cylinder in the medium

典型習題3 如圖2,一半徑為R的無限長導體圓柱上均勻分布著電荷,電荷線密度為λ,柱外空間均勻充滿兩種介質。求空間電場。

分析空間電場可知,圓柱外空間的電場由均勻分布在圓柱體上的自由電荷和兩介質中各自均勻分布的極化電荷共同激發,故柱外的電場具有柱對稱性,方向沿柱坐標系中的er方向。故對柱外電場提出試探解:

邊界條件為

由此邊界條件可得場解為

驗證可知,此解滿足場方程和介質交界面處邊值關系E1θ=E2θ, E1t=E2t,故為唯一正確的解。

前面例示的典型習題2也可以用試探法解題。分析該問題的物理實質,當該導體球置入均勻外場時,空間的電場由均勻外場和導體球上的感應電荷共同激發,導體球上的感應電荷分布具有對稱性,相當于許多電偶極子。故對于球外電場提出嘗試解:

其中前一項為均勻外場的電勢,后一項為電偶極子的電勢,此解必然滿足泊松方程。同樣可由邊界條件得到場解的具體形式。可以發現,用試探法解此靜電場問題比分離變量法更為方便,極大地簡化了解題過程,很容易得到正確的場解。

試探法在靜電場邊值問題中的應用直接體現了唯一性定理在求解靜電場時的重要意義和價值。表現為當靜電場的場方程和邊界條件確定時,無論通過何種途徑得到的解,只要滿足場方程和邊界條件,所得解必為唯一正確的解。分析如下:1)提出適當的嘗試解的形式滿足場方程;2)場解的具體形式由邊界條件決定;3)無需嚴謹的數學推導,得到的場解必是唯一正確的。

看似簡單的試探法實際是教學中最難為學生掌握的一種方法,究其根本原因,一是因為在教學內容安排上,在講述唯一性定理后馬上安排試探法的教學,學生無法深入理解定理的深刻內涵,也就無法靈活應用;二是學生對靜電場邊值問題的物理本質分析不夠透徹,無法提出合適的嘗試解。鑒于這兩點,在教學中更要注重唯一性定理的教學,重視對每一典型例題和習題引導學生深入把握唯一性定理的思想,逐步加深對定理的理解,從而達到熟練應用。

3 結 語

在教學中,任何一個教學難點都是教學研究中值得重視和深入思考的,靜電場的唯一性定理的教學也不例外。對靜電場的唯一性定理的認識不能僅僅局限于靜電場的求解,定理的思想在求解靜磁場時同樣具有指導意義,因此對于定理的正確認識和深刻把握對于整個靜態場求解都具有非常重要的意義,進而對動態電磁場的求解帶來裨益。

建議在唯一性定理的實際教學時,教學重點放在定理的應用而非證明上,在教學內容的安排上,不僅單純講解定理,更要注重在靜電場邊值問題各種求解方法的教學中引導學生體會、運用唯一性定理的思想,進而在靜磁場的邊值問題時運用唯一性定理試探法解題,層層深入,使學生對該定理在思想上足夠重視,運用上熟能生巧,從而達到真正掌握這一重要定理,在應用時發揮定理的應有作用。

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Application of uniqueness theorem in boundary value problem of electrostatic field

ZHENGWei,GAOTianfu

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The solution of the boundary value problem for electrostatic field is important and essential in the electromagnetic field theory. Normally, the solution comes down to the problem of solving the field equations based on the given borderline condition. Moreover, the uniqueness theorem is the theoretical basis for solving the boundary value problem of the electrostatic field. In the interrelated courses of electromagnetic field, the solution of the boundary value problem in electrostatic field is the key and difficult point for teaching. But the uniqueness theory, which is used to judge the correctness and uniqueness of the solution, is often ignored. This paper is aimed at several typical solutions of the boundary value problem in electrostatic field, for example, the application and significant meaning of the uniqueness theorem are analyzed in various solutions of typical exercises. Moreover, this article intends to explain the solution ideal and techniques for applying the uniqueness theorem in the boundary value problem of the electrostatic field. Based on the teaching practice, it points out the importance of uniqueness theorem in static field teaching, and gives some specific suggestions for the teaching of uniqueness theorem.

uniqueness theorem; electrostatic field; boundary value problem

2016-03-10。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014442)。

鄭 偉(1975-),女(蒙古族),內蒙古赤峰人,沈陽師范大學講師,碩士。

1673-5862(2017)03-0370-04

O442

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.022