用代數方法探討四圓相交區域填充數字問題

石業嬌, 孟憲濤

(1. 大連海洋大學 應用技術學院 遼寧 大連 116300; 2. 沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

理論與應用研究

用代數方法探討四圓相交區域填充數字問題

石業嬌1, 孟憲濤2

(1. 大連海洋大學 應用技術學院 遼寧 大連 116300; 2. 沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

受在三圓相交區域中填充數字問題以及用代數方法求解幻方問題的啟發,設計了利用線性代數方法在四圓相交區域中填充數字問題。首先,建立了填充問題的約束方程組,根據需要將約束方程組變形為5種形式,即所謂5個約束條件;然后,對約束條件進行討論,得出四圓重疊區域中心位置的數與兩圓重疊區域的4個數字之和的奇偶性,以及三圓重疊區域的4個數字之和與只屬于一個圓區域的4個數字之和的奇偶性,以約束條件為基礎,兼顧數字的對稱性與互補性,采用試驗的方法,考慮3種情況下的不同取值,得到相應問題的15個解;最后,給出了相對于每一個解,每一個圓中所包含的7個數字之和的上限與下限,給出相應的證明。

四圓相交區域; 填充數字; 約束方程組; 求解

在幾個圓構成的相交區域中填充數字問題與幻方問題頗為類似,幻方為中國人首創,這一點在漢朝的《數術記遺》中有明確的記載。我國宋朝數學家楊輝對幻方的研究頗有建樹,他的研究往往是針對于某階幻方直接給出構造方法,即直接給出幻方的解,雖然巧妙致極,但總有一點不知其所以然的感覺。筆者曾用線性代數的方法研究了三階幻方的所有解。受幻方問題的啟發,本文則嘗試利用線性代數方法探討在四個圓相交區域里填充數字問題。

1 問題描述

四圓相交,圍成13個區域如圖1。現將1,2,…,13這13個數字填在圖1中,每一個區域里一個數字,要求各個圓中所包含的7個數字之和相等。此問題雖然與三圓相交區域填充數字類似,卻比解決三圓相交區域填充數字問題困難許多。因為圖中的變數為13個,根據問題描述要求可能確定的約束方程的個數卻遠少于變量的個數。因此問題必須在所建立的約束條件基礎上結合試驗方法加以解決。

圖1 四圓相交填充Fig.1 Filling method of four circles intersection

2 約束條件

記S={a1,a2,…,a13}={1,2,…,13}。設圖1的填法滿足問題要求,設每個圓中所包含的7個數字之和為M,即

(1)

得到第一個約束條件

(2)

從式(2)推得

(3)

知a1+a3+a10+a12+a13與a2+a4+a9+a11+a13分別為奇數。由a1,a3,a10,a12,a13與a2,a4,a9,a11,a13分別為圖1中過a13的直線上的5個數,得第2個約束條件為這5個數之和為奇數。

由式(1)可得

(4)

代入式(2)中第1式便得到

(5)

觀察式(5)可知,當a13為奇數時,3a13+91為偶數,于是a5+a6+a7+a8為偶數;當a13為偶數時,3a13+91為奇數,于是a5+a6+a7+a8為奇數。注意到a5+a6+a7+a8所處的位置是圖1中兩圓重疊的區域,便得到第3個約束條件為“圖1中四圓重疊區域即中心位置的數a13與圖1中處在兩圓重疊區域的4個數字之和a5+a6+a7+a8的奇偶性相反”。

由式(4)有

(6)

可見當a1+a2+a3+a4為奇數時,a9+a10+a11+a12為奇數;當a1+a2+a3+a4為偶數時,a9+a10+a11+a12為偶數,有第4個約束條件為“圖1中三圓重疊區域的四數字之和與只屬于1個圓區域的4個數字之和具有相同的奇偶性”。

對方程組(2)的增廣矩陣A進行初等變換,得式(2)的同解方程組

(7)

方程組(7)即是第5個約束條件。

應該注意的是,以上得到的5個約束條件并不是相互“獨立”的,如式(2)與式(7)是同解方程組,于是約束條件1與約束條件5實際上是同一個約束條件。同理約束條件2、3與約束條件4也屬于約束條件一變形。因而這5個約束條件實際就是約束條件1(即式(2))的5種不同的表現形態。之所以如此,是為了在以下的對圖1的解法探討中便于從不同側面加以約束,更方便求解。

3 求解舉例

滿足方程組(7)的解為問題的解。求問題的解,必須在約束條件的基礎上輔之以試驗方法。試驗取值要充分關注1,2,…,13這13數的分布特點,注意數字之間的對稱性與互補性。

如果取a13=1,考慮了數字間的對稱與互補,取a9=4,a10=5,a11=2,a12=3填入圖1中,再考慮補償關系及相關約束條件,取a5=6,a6=7,a7=8,a8=9填入圖1中,把這些數代入式(7),求得

圖2 滿足方程組解的第1種填充方法Fig.2 The first filling method of satisfying equations

將求得的a1,a2,a3,a4的值填入圖1,得圖2。

檢驗圖2中各圖所包含的7個數字之和,得M=38。于是a1=13,a2=12,a3=11,a4=10,a5=6,a6=7,a7=8,a8=9,a9=4,a10=5,a11=2,a12=3,a13=1為方程組(2)的一個解,即圖2為一種填法。

取a9=5,a10=4,a11=3,a12=3。考慮約束條件,取a5=10,a6=11,a7=12,a8=13,代入到式(7)中,得a1=8,a2=9,a3=6,a4=7,填入四圓相交區域得圖3。經檢驗知,圖3為滿足問題要求的一種填法,每個圓內所含有的7個數字之和均為42。

取a9=8,a10=9,a11=6,a12=7,a5=2,a6=3,a7=4,a8=5。代入式(7)中,得a1=13,a2=12,a3=11,a4=10,填入四圓相交區域得圖4。檢驗可知M=42,即圖4為問題的一個解。

圖3 滿足方程組解的第2種填充方法

圖4 滿足方程組解的第3種填充方法

取a9=9,a10=8,a11=7,a12=6,a5=10,a6=11,a7=12,a8=13。由式(7)求得a1=4,a2=5,a3=2,a4=3,填入四圓相交區域得圖5。檢驗之,M=50。于是圖5為符合問題要求的填法。

如果取a13=13,考慮數字間對稱與互補,取a9=2,a10=3,a11=4,a12=1,a5=6,a6=5,a7=8,a8=7。由式(7)求得a1=11,a2=10,a3=9,a4=12,得圖6填法。經檢驗,M=44,因此圖6填法是問題的一個解。

圖5 滿足方程組解的第4種填充方法

圖6 滿足方程組解的第5種填充方法

如果取a13=7時,可給出3種填法,對應的M值分別為40,44,58,……。

以此類推,可得出四圓相交區域填充數字問題的15種解法,這里略述。

4 結 語

以上給出四圓相交區域填充數字問題的幾種解法,發現每一種解法中M值均滿足38≤M≤60。事實上,由式(5)可推得

(5+6+7+8)+2(9+10+11+12)+3×13+91=240

以及

(9+8+7+6)+2(5+4+3+2)+3×1+91=152

即有

152≤4M≤240

從而

38≤M≤60

以上考慮3種情況下的不同取值,得到相應問題的15個解,還可以考慮其他情況下的相應問題的解。

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Algebraic method for filling numerical problems of intersection region of four circles

SHIYejiao1,MENGXiantao2

(1. Applied Technology College, Dalian Ocean University, Dalian 116300, China; 2. School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Inspired by the filling numbers of three circles in the intersectional region and algebraic method to solve the problem of magic square, the problem of filling numbers in intersectional regions of four circles is designed based on linear algebra methods. Firstly, the constraint equations of the filling problem are established, and they are deformed into five forms, namely, the five constraints. Then, upon discussion of the constraints, odevity of the number in intersectional region of four circles and summation of the four numbers in intersectional region of two circles as well as the odevity of summation of the four numbers in intersectional region of three circles and the four numbers in only one circle are obtained. On the basis of constraints, considering the symmetry and complementation of the numbers and different values in three cases, the 15 solutions of the problem are obtained by the method of experiment. Finally, the upper and lower bounds of the sum of 7 numbers contained in each circle are given to each solution. Proofs are provided respectively.

intersectional region of four circles; fill numbers; constraint equations; solve

2017-04-27。

國家自然科學基金資助項目(11201313)。

石業嬌(1970-),女,遼寧大連人,大連海洋大學副教授。

1673-5862(2017)03-0335-04

O151.26

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.014