初中教材中無理數概念的引入的對比分析

陳榮榮

[摘 要] 有理數的學習是數系的進一步擴充，隨著數系的擴充，數的抽象程度越來越高，離生活實際也越來越遠，學生對無理數的理解也存在一定的困難. 本文選取蘇科版、人教版以及北師大版教材，分析比較無理數概念部分的編排.

[關鍵詞] 無理數；初中教材；蘇科版；人教版；北師大版

課程標準中對于無理數概念的要求：了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，能求實數的相反數與絕對值. 本文通過比較蘇科版、人教版和北師大版三種教材，從無理數的知識編排體系與無理數概念的引入兩部分來探究教材對無理數概念編排的思路.

無理數知識的編排體系

考慮到初中教材中有關無理數知識的編排體系對無理數概念的引入有一定的影響，因此分析概念的引入前，先對無理數知識的編排體系進行比較. 下面通過表格對三種教材關于無理數知識的目錄進行分析：

對比三個版本教材的目錄，蘇科版將無理數的概念與有理數安排在七年級上冊，將平方根、立方根以及實數的運算安排在八年級上冊，時間跨度比較大. 蘇科版設計的思路：一方面小學數學已經介紹了負數的概念，七年級上冊應在小學基礎上有進一步的提升；另一方面為后續的教學提供方便，如在七年級下冊介紹了在數軸上表示不等式解集，解集范圍內數軸上的點對應的是實數，即無理數和有理數，因此蘇科版在七年級上冊介紹了無理數的概念.

人教版與北師大版相同，將無理數的概念與平方根、立方根以及實數的運算設置在同一章節. 不同的是，人教版將無理數的內容安排在七年級下冊，且對無理數相關知識的編排順序遵循了傳統教材的做法，在學習有理數的基礎上，先介紹平方根、立方根，認識一些不同于有理數的數，再在此基礎上引入無理數.

對于人教版這種傳統的處理方式，國家義務教育數學課程標準初中數學教材核心編寫成員、南京師范大學顧繼玲教授認為其存在缺點：一方面學生體會不到數的擴充的必要性，另一方面對無理數概念的意義理解不夠，會產生一些誤解，如認為“無理數就是帶根號的數”等. 因此顧繼玲教授對北師大版實數這一部分重新做了設計：無理數的概念——平方根、立方根——實數的運算. 這樣的設計一方面考慮到無理數的歷史發展過程，先有無理數的概念，再研究根號形式的無理數，另一方面考慮到學生的認知規律.

華東師范大學數學系的陳月蘭教授基于Tirosh，D的概念框架及概念的認知理論，經過實證研究發現傳統教材的處理確實容易讓學生產生“帶根號的數就是無理數”的誤會. 故筆者認為蘇科版和北師大版的安排較為合理些.

無理數的概念引入

教材對無理數概念引入的編排可以分為概念的引入情境、表述以及引出三個部分，本文就從這三個部分進行比較分析. 概念的引入情境指的是引入概念的情境，表述指的是教材中對于概念的描述，引出部分指的是給出概念后的部分，一般是對概念的舉例說明.

1. 概念的引入情境

2. 概念的表述

概念的表述是教材對知識的直接呈現，通過對概念的表述比較可以發現三個版本教材的編排脈絡. 三個版本教材對無理數概念的表述如下：

3. 概念的引出

概念的引出部分往往是對概念的舉例說明，有利于學生對概念的理解，具有代表性、典型性. 三個版本教材中的概念引出如下表：

蘇科版在引出部分除了舉出圓周率π并給出它的值，還舉例說了兩個無限不循環小數是無理數，一正一負，隱含了無理數是有正負的. 人教版的引出則明確提出無理數是有正負的，并選擇根號形式的無理數和π來說明，沒提及任何無限不循環小數. 北師大版在引出部分除了提及圓周率π以及它的值，還舉了一個無限不循環小數的例子，但是沒有提到或隱含無理數是有正負的，與蘇科版的引出部分相比，不夠全面.

總結

從教材對無理數概念引入的處理來看，人教版遵循傳統的處理方式，以平方根、立方根為基礎引入無理數，導致之后概念的引入涉及大量根號形式的無理數，將平方根、立方根和無理數緊密地聯系在一起. 根據華東師范大學的陳月蘭教授《初中生對無理數的理解》的研究結果，人教版這樣的編排容易讓學生將帶根號的數等價為無理數. 蘇科版的編排不論是編排體系還是對有理數的判斷都體現了數學學科知識的科學性、邏輯性、嚴謹性. 北師大版教材的編排不論在無理數知識的編排順序部分還是無理數概念引入情境部分，都充分考慮到學生的認知規律. 三個版本教材對無理數概念的處理都符合課程標準對無理數的要求，蘇科版和人教版都將無理數的概念放在“了解”的水平上，北師大版則達到了“理解”的水平.