直覺難免出錯(cuò)推理確保正確

蔡新春

蘇科版《數(shù)學(xué)》教材“12.2證明”指出，觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段，通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)，常常可以探索發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，但是這些結(jié)論不一定正確.所以判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，有時(shí)僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、直覺和估計(jì)，往往會(huì)得出與實(shí)際相反的結(jié)論，而只有通過有理有據(jù)的推理，才能得出正確的結(jié)論.下面舉例進(jìn)行說明.

例1 有兩塊同樣形狀的長(zhǎng)方形耕地，長(zhǎng)為am，寬為bm，現(xiàn)在兩塊耕地中修一條寬為1m的路.問剩余耕地的面積大小相等嗎？試通過推理驗(yàn)證你的結(jié)論.

【分析】不少同學(xué)看了圖之后認(rèn)為甲中路的面積比乙中路的面積大，所以理所當(dāng)然地認(rèn)為甲中的耕地面積小于乙中的耕地面積.事實(shí)上這是錯(cuò)誤的，我們可以通過計(jì)算推理出兩圖中剩余耕地的面積是一樣的.

【解】用平移，把甲、乙中的路的右邊部分向左平移1m，如上圖所示，則兩個(gè)圖形就都變成長(zhǎng)為（a-1）m，寬為bm的圖形，其面積都為b（a-1）m2.所以這兩圖中剩下耕地的面積大小是相等的.

例2 爸爸給小明出了一道題：假如一根繩子剛好沿赤道把地球圍起來，此時(shí)的繩子圍成一個(gè)圓（將地球近似地看成球形），而且繩子和地球表面之間沒有縫隙.如果把這根繩子再增加20米，依然沿赤道圍成一個(gè)圓，此時(shí)繩子和地球表面之間就會(huì)有縫隙，那么這個(gè)縫隙最大是能夠讓一只蒼蠅通過呢？還是讓一頭牛通過呢？小明聽完問題，幾乎不假思索地回答：當(dāng)然只能讓一只蒼蠅通過嘍！聰明的同學(xué)，你認(rèn)為呢？

【分析】地球赤道的長(zhǎng)度很大，僅增加20米，直覺告訴小明，繩子和地球表面之間的縫隙會(huì)很小，估計(jì)只能讓一只蒼蠅通過，因此小明會(huì)毫不猶豫地選擇讓蒼蠅通過，而不可能使牛通過.事實(shí)上，牛也能通過.

【解】假設(shè)繩子的周長(zhǎng)為C1米，半徑為R1米，增加長(zhǎng)度后周長(zhǎng)為C2米，半徑為R2米.

由題意，得C2=C1+20（米），于是R2-R1=[C22π]-[C12π]=[C2-C12π]=[C1+20-C12π]=[10π]≈3.18（米），就是說繩子增加20米長(zhǎng)度后圍成的新圓半徑比開始時(shí)多了3米多，這么大的“縫隙”顯然能讓一頭牛通過.

（作者單位：江蘇省南通市北城中學(xué)）