直覺難免出錯推理確保正確

蔡新春

蘇科版《數學》教材“12.2證明”指出，觀察、操作、實驗是人們認識事物的重要手段，通過觀察、操作、實驗，常常可以探索發現一些結論，但是這些結論不一定正確.所以判斷一個數學結論是否正確，有時僅僅依靠經驗、直覺和估計，往往會得出與實際相反的結論，而只有通過有理有據的推理，才能得出正確的結論.下面舉例進行說明.

例1 有兩塊同樣形狀的長方形耕地，長為am，寬為bm，現在兩塊耕地中修一條寬為1m的路.問剩余耕地的面積大小相等嗎？試通過推理驗證你的結論.

【分析】不少同學看了圖之后認為甲中路的面積比乙中路的面積大，所以理所當然地認為甲中的耕地面積小于乙中的耕地面積.事實上這是錯誤的，我們可以通過計算推理出兩圖中剩余耕地的面積是一樣的.

【解】用平移，把甲、乙中的路的右邊部分向左平移1m，如上圖所示，則兩個圖形就都變成長為（a-1）m，寬為bm的圖形，其面積都為b（a-1）m2.所以這兩圖中剩下耕地的面積大小是相等的.

例2 爸爸給小明出了一道題：假如一根繩子剛好沿赤道把地球圍起來，此時的繩子圍成一個圓（將地球近似地看成球形），而且繩子和地球表面之間沒有縫隙.如果把這根繩子再增加20米，依然沿赤道圍成一個圓，此時繩子和地球表面之間就會有縫隙，那么這個縫隙最大是能夠讓一只蒼蠅通過呢？還是讓一頭牛通過呢？小明聽完問題，幾乎不假思索地回答：當然只能讓一只蒼蠅通過嘍！聰明的同學，你認為呢？

【分析】地球赤道的長度很大，僅增加20米，直覺告訴小明，繩子和地球表面之間的縫隙會很小，估計只能讓一只蒼蠅通過，因此小明會毫不猶豫地選擇讓蒼蠅通過，而不可能使牛通過.事實上，牛也能通過.

【解】假設繩子的周長為C1米，半徑為R1米，增加長度后周長為C2米，半徑為R2米.

由題意，得C2=C1+20（米），于是R2-R1=[C22π]-[C12π]=[C2-C12π]=[C1+20-C12π]=[10π]≈3.18（米），就是說繩子增加20米長度后圍成的新圓半徑比開始時多了3米多，這么大的“縫隙”顯然能讓一頭牛通過.

（作者單位：江蘇省南通市北城中學）