由“不恰當舉例”出錯說起

劉東升

在本章的學習中，有一道習題讓同學們判斷命題的真假，如果是真，說明理由；如果是假命題，則舉出反例.

題目：若a[1b].

一同學上臺展示他的做法，首先他指出這是一個假命題，進一步在黑板上板演他的反例與演算如下：

舉例，若a=[-12]，b=-1，

則[1a]=-2，[1b]=-1.

而-2<-1，所以[1a]<[1b].

我沒有立即評價他的解法正確與否，而請同學們都來觀察、評價，并安排他的同桌也上臺給出另外的演算：

舉例，若a=-2，b=-1，

則[1a]=[-12]，[1b]=-1.

而[-12]>-1 ，

故[1a]>[1b].所以這是一個真命題.

同學們紛紛糾錯，指出第一個同學舉例就舉錯了，不符合題意：a

上面這個課堂板演與對話涉及恰當舉例，現在我們具體評說一下，在課堂上我們該如何“恰當舉例”.

第一，兩個負數，絕對值大的反而小.就這道考題來說，前一個同學錯誤的本質就出在對兩個負數大小的誤解，這是后續錯誤的根源，屬于高位出錯.值得一說的是，他的第二步“-2<-1”說明他并不是完全忘了“兩個負數，絕對值大的反而小”，只是舉了一個“a=[-12]，b=-1”比較復雜例子而已，導致自己認識不夠.這也可以看出，舉例時舉出一些恰當的例子是很重要的.

第二，學會舉例，重在舉出恰當例子.進入初中數學學習，很多概念的理解、性質的概括、問題的求解，都需要學會舉例，能否舉出恰當的例子，往往是問題快速突破的關鍵.后來另一同學的求解就體現了舉出恰當例子的重要性.

第三，走向一般，追求證明.上面第二個同學只是舉出一個恰當的例子就給出真命題的判斷也顯得說服力不夠，即使給出再多的例子演算出原命題成立，我們仍然是停留在“舉例”“實驗”層次，沒有走向一般，實現證明.那么該如何證明這個命題呢？最后我們給出證明.

已知a[1b].

證明：∵a0，

∴[aab]<[bab].（兩邊同時除以ab，注意ab的積是正數，不會改變不等號的方向）

即[1a]>[1b].

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）