非壽險精算中應用分層模型

張開強

【摘 要】本文結合非壽險精算中普遍存在的具有層次性和相關性的數據結構，在分層模型的全新視角下，充分借鑒分層模型的理論研究成果，對分層模型在非壽險定價與索賠準備金評估中的應用研究的最新成果進行了系統梳理和總結，并將貝葉斯方法、隨機模擬、信度理論、數據分析技術、科學計算等融合其中，在此基礎上，提出了一些有待深入探索和進一步擴展的新思路，這對提升我國非壽險精算學科的統計分析體系，促進我國非壽險精算學科的發展具有重要的科學研究意義。

【關鍵詞】非壽險；分層模型；貝葉斯方法

一、引言

分層模型是20世紀90年代在國際上形成并正被迅速推廣應用的新的統計分析技術。分層模型通過設置自身的概率子模型來確定模型參數的方式，擴展了標準的線性模型、廣義線性模型和非線性模型。這些標準模型在進行統計分析時，通常要求觀測數據來自獨立（ 隨機） 變量，而在很多精算和統計問題中，更多需要處理縱向數據、空間聚類數據、甚至更一般的聚類數據，這些數據都不滿足獨立性假設，且具有一定的層次結構。由數據的層次結構，可將數據劃分為不同層次的目標組，進而引入分層模型的概念。這種分層建模方式可以將復雜問題分解為相互聯系的各個組成部分，為科學研究提供了一種新的分析框架。

在非壽險精算學中，定價與索賠準備金評估是兩大核心專題。定價是否充足合理，直接影響到財險公司產品競爭力和公司盈利水平20世紀90年代，英國精算師把GLM引入到非壽險定價中，20年來GLM在很多國家的非壽險定價實務中取得了長足發展。盡管如此，GLM仍存在一定的缺陷，如當某些分類解釋變量在某些水平上的數據量很少時，會使得這些水平參數估計的標準誤差很大。另外，在這種情況下，直接應用GLM也會面臨待估計參數個數過多的問題。為了解決這一問題，精算師試圖將信度理論融入到GLM框架中，涌現出了一些統計模型與方法的應用研究，如廣義線性混合模型，分層廣義線性模型等。作為更一般意義下的分層建模技術，不但為具有相關性和層次結構的非壽險經驗數據提供了一種處理大規模分類問題的自然方式，而且HGLM能提供貝葉斯信度建模的統一框架，也很容易將信度理論融入到GLM或非線性建模框架中。這些優勢注定了分層建模技術成為當前國際精算理論研究的熱點問題。

索賠準備金通常是財險公司資產負債表中份額最大的負債。在確定財險公司的經營業績和償付能力方面，都依賴于索賠準備金負債的準確評估，因此合理評估該負債對財險公司意義重大。目前，關于索賠準備金評估的隨機性方法研究已經成為非壽險精算熱點之一，尤其在采用嚴格的統計模型與方法度量準備金的波動性，進而模擬準備金的預測分布方面，已經取得了很大進展。在這方面的研究中，針對損失流量三角形（ 按事故年和進展年對損失數據整理得到的二維數據表） 建立模型假設，并結合隨機模擬方法來得到準備金的預測布。這種主流的評估方法沒有體現出流量三角形數據隨時間反復觀測的縱向特征。分層模型作為分析縱向數據的一種自然方式，可以把損失流量三角形視為分層數據，每個事故年對應的數據可作為一個目標，進而應用分層模型來研究索賠準備金的評估問題，這樣不但體現了同一事故年損失數據的縱向特征，以反映組內數據的相關性，而且也考慮了不同事故年由未觀測到的特征所導致的異質性，這是一個新的研究思路，有待于深入探索。另外，近年來貝葉斯方法已經成為分層模型中的重要方法之一。如果能把HGLM非線性分層模型與貝葉斯方法結合起來，應用馬爾可夫蒙特卡羅隨機模擬方法，可以設想這為得到準備金的預測分布提供了另一種思路。最后，在準備金評估中，結合損失進展過程的建模方法，如各種增長曲線模型和光滑模型等，將這些模型納入分層建模技術中，也可以有效避免尾部進展因子的選定問題，這些問題的深入探索已成為索賠準備金評估的最新研究方向.

二、分層模型

分層模型的基本思想在于： 模型的某些參數本身需要建模，即在分層模型中，一些模型參數不是通過樣本數據來估計，而是通過模型的超參數使用極大似然估計或相關的優化技術來估計，這些模型自帶的參數有時也稱為隨機效應； 另外一些參數是通過樣本數據直接估計的，這些參數也稱為固定效應，從中可以看出，分層模型的核心思想是通過在預測量中引入隨機效應，來體現目標組內數據的相關性和不同目標組間的異質性。這一部分將從以下個方面對分層模型的理論進行系統梳理和總結。

（一）從LM到一般化的分層線性模型的理論研究

對于某些不滿足獨立性并具有層次性的數據結構（如聚類數據、縱向數據），標準的LM不再適合。LM要求觀測變量具有獨立性，即模型中只含固定效應變量，因而沒有考慮數據間的相關性和層次結構。作為推廣，在線性混合效應模型中，既含固定效應變量，又含隨機效應變量，且隨機效應變量服從正態分布。有關隨機效應的經典文獻可以參考little等。該文獻對一些標準統計術語，基于固定效應的估計量和基于隨機效應的預測量之間的差異，LME的參數估計方法＼模型檢驗和診斷以及不同LME模型之間擬合效果的比較等進行了系統總結，并使用SAS軟件對實施LME的大量數值實例進行了細致討論。LME的更一般推廣是分層線性模型，此時隨機效應變量的分布可不局限于正態分布.目前，LME已在社會 學中得到了充分的應用，經典著作為Randernbush和Brky。

匯總這些研究，可以得出從LM到HLM推廣具有以下四方面的優勢。第一，與LM相比，采用LME和更一般的HLM將會避免模型過度參數化.第二，在LME和HLM中，隨機效應參數通過模型的超參數估計，采用信度加權平均來計算。從信度理論的角度講，標準的LM和按類別分組后的LM都是分層模型的特例，即對應于HLM的隨機效應的方差分別趨于0和無窮時的情況。第三，通過僅僅向LM模型中加入附加超參數的方式，分層建模技術潛在地可以實現更好的擬合。第四，分層模型是嵌套模型，可以使用對數似然統計量、赤池信息準則，貝葉斯信息準則等比較不同模型的優劣，權衡模型的復雜性和擬合效果，最終選擇合適的模型。

（二）線性分層模型的理論研究

實際中，變量之間也可能存在非線性關系，對于那些不可線性化的非線性模型，以及更適合采用非線性模型來描述的問題，采用一個具體非線性函數形式可以清晰地為這些問題建模。以增長曲線為例，對增長過程的主觀判斷以及經驗有助于確定選擇哪一類曲線。二是模型的簡潔性。精心挑選的非線性函數，有時能為一個非線性過程建立比含有多個多項式的線性模型更少的參數。同時，非線性分層建模方法也可以避免模型過度參數化。三是對觀測樣本外數據的有效性。當然，使用一個模型對樣本外數據進行外推，始終會面臨預測效果不佳的可能。然而，在選定一模型時，非線性分層模型至少提供了根據對具體問題的了解程度進行判斷的思路。與一個缺乏簡潔性或更多非理論性的曲線擬合方法相比，這樣一種方法操作更有效。

值得注意的是，在使用HLM估計參數時不需要設定參數的初始值，而使用非線性分層模型估計參數時則需要設定參數的初始值，不同的初始值會導致模型不一定收斂，或者不能收斂到一個正確的結果.通過快速觀察殘差圖更有助于判斷結果是否正確.在大多數情況下，可以通過簡單分析方法輔助選擇初始值.如在貝葉斯非線性分層模型中，可以參考參數的極大似然估計，選取合適的先驗分布來得到參數的后驗分布.另外，為了估計模型參數，需要使用MCMC方法模擬完整的后驗分布，進而使用每個參數的模擬樣本值實施推斷。

三、啟示和建議

本文在分層模型的全新視角下，結合非壽險精算中普遍存在的具有層次性和相關性的數據結構，探討了國外非壽險定價與索賠準備金評估的最新研究方向致力于為我國非壽險精算學科建立一套完善一致的統計分析架構。

綜上所述，本文面向國際精算理論研究前沿與熱點，結合財險公司目前對精算技術的需求，以分層模型的全新視角，充分借鑒分層模型的理論研究成果，對分層模型在非壽險定價與索賠準備金評估中的應用研究的最新成果進行了系統梳理和總結，并提出了一些有待深入探索和進一步擴展的新思路。其中，涉及分層模型對非壽險精算其他專題和技術（如經驗費率厘定＼信度理論、貝葉斯方法、隨機模擬數值方法等）的包含與擴展，這必將深化對非壽險精算諸分支、諸方法的理論研究，提升非壽險精算學科的統計分析體系，促進非壽險精算學科的發展。

【參考文獻】

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