某些近于凸函數的子族的一些性質

傅秀蓮

(廣東工貿職業技術學院 計算機系， 廣州 510510)

某些近于凸函數的子族的一些性質

傅秀蓮

(廣東工貿職業技術學院 計算機系， 廣州 510510)

本文介紹和研究了一個近于凸函數的子族Ks(λ，α，β)的問題. 得到了包含關系，系數不等式和卷積等性質，推廣了Ks(α，β)結果．

近于凸函數； 卷積； 系數估計

用A表示在U={z：z∈C，|z|<1}上形如

的全體解析函數所成的函數類．用S表示在A中全體單葉函數族．

設f(z)和F(z)在U內解析，如果存在U內的解析函數w(z)使得|w(z)|≤|z|且滿足f(z)≡F(w(z))，則稱f(z)從屬于F(z)，記為f(z)F(z)或者fF．若f(z)在U內單葉，則f(z)F(z)當且僅當f(0)=F(0)和f(U)?F(U)．

本文模仿C(k)(λ，α，β)的定義，給出了函數族Ks(λ，α，β)的定義，定義如下：

定義1 設0≤α≤1，0<β≤1，0≤λ≤1，如果函數f(z)∈A滿足

特別地，Ks(0，α，β)=Ks(α，β)，所以Ks(λ，α，β)是Ks(α，β)的推廣．

為了得到定理，需要下面的幾個引理．

其中

B2n-1=2b2n-1-2b2b2n-2+…+

則G(z)∈S*.

主要結論：

定理1 設0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ≤1，則f∈Ks(λ，α，β)當且僅當

則式(2)可以寫成

定理2 設0≤α≤1，0<β≤1，0≤λ≤1，則Ks(λ，α，β)?C?S．

下面分兩種情況討論：

1)當λ=0，顯然f(z)=F(z)∈C．

定理3 設0≤α1≤α2≤1，0<β1≤β2≤1，0≤λ≤1．則Ks(λ，α1，β1)?Ks(λ，α2，β2)．

證明：設f(z)∈Ks(λ，α1，β1)，由定理1可得

其中B2n-1由式(4)給出．

證明：令F(z)=(1-λ)f(z)+λzf′(z)，通過計算可得

所以F(z)和G(z)滿足引理5的條件，由式(5)可得式(7)．

成立，其中B2n-1由式(4)給出，則f∈Ks(λ，α，β)．

證明：令F(z)=(1-λ)f(z)+λzf′(z)，通過計算可得

則對于z∈U，有

M=|zF′(z)-G(z)|-β|αzF′(z)+G(z)|=

取|z|=r<1，有

(9)

其中[]表示高斯符號．

由引理6有

另一方面，由引理7有

把f(z)，G(z)和p(z)的表達式代入式(10)，得到

(1+p1z+p2z2+p3z3+…+pnzn+…)

(z+B3z3+…+B2n-1z2n-1+…)=

z+2(1+λ)a2z2+…+2n(1+(2n-1)λ)a2nz2n+

從式(13)可得

2n(1+(2n-1)λ)a2n=p1B2n-1+p3B2n-3+

(2n+1)(1+2nλ)a2n+1=B2n+1+p2B2n-1+

結合式(11)，(12)，(14)和(15)可以得到

由式(16)和(17)可得式(9)．證畢．

定理7 令|ξ|=1．則f(z)∈Ks(λ，α，β)當且僅當

其中G(z)由式(3)給出．

證明：設f(z)∈Ks(λ，α，β)，由定理1可得

這等價于

式(19)可以寫成

注意到

把式(21)和(22)代入式(20)，可以得到式(18)．證畢．

[1] Gao C， Zhou S． On a Class of Analytic Functions Related to the Starlike Functions[J]． Kyungpook Math. J. 2005,45(1)：123-130．

[2] Wang Z G, Gao C Y， Yuan S M. On Certain Subclass of Close-to-convex Functions[J]． Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis， 2006, 22(3)：171-177．

[3] Wang Z G, Gao C Y, Liu M S， et al． On Subclasses of Close-to-convex and Quasi-convex Functions with Respect to k-symmetric Points[J]． Advances in mathematics， 2009,38(1)：44-56．

[4] Wang Z G， Jiang Y P． On Certain Subclasses of Convex-to-convex and Quasi-convex Functions with Respect to 2k-symmetric Conjugate Points[J]． J. Math. Appl.，2007,29：167-179．

[5] Wang Z G, Gao C Y， Yuan S M． On Certain Subclasses of Close-to-convex and Quasi-convex Functions with Respect to k-symmetric Points[J]． J. Math. Anal. Appl.，2006,322(1)：97-106．

[6] Kamali M， Akbulut S． On a Subclass of Certain Convex Functions with Negative Coefficients[J]． Appl. Math. Comput.， 2003,145(2)：341-350．

[7] Sudharsan T V, Balasubrahmanyam P， Subramanian K G． On Functions Starlike with Respect to Symmetric and Conjugate Points[J]． Taiwanese J.Math.，1998, 2(1)：57-68．

[8] W. Rogosinski． On the Coefcients of Subordinate Functions[J]． Proc. London Math. Soc.， 1945,48(1)：48-82．

[責任編輯 王迎春]

Some Properties of Certain Subclass of Close-to-Conves Functions

Fu Xiulian

(Department of Computer Science, Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510, China)

A certain new subclassKs(λ，α，β) of close-to-convex functions is introduced and discussed. The results such as inclusion relationships,coefficient inequalities and convolution property are derived, so as to generalize the results of the subclassKs(α，β).

close-to-convex functions; convolution; coefficient bounds

2016-12-05

廣東省自然科學基金自由申請項目“隨機Laplace-Stieltjes變換的值分布與復方程解的存在性”(2015A030313628)

傅秀蓮(1979-)，女，碩士，副教授，主要研究方向為復分析及其應用．E-mail： xxfxl@163.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.022

O174.51

A

1672-948X(2017)04-0106-04