正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計

郭怡冰 苑文法 龐永峰

(1. 三峽大學 科技學院， 湖北 宜昌 443002； 2. 西安建筑科技大學 理學院， 西安 710055)

正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計

郭怡冰1苑文法2龐永峰2

(1. 三峽大學 科技學院， 湖北 宜昌 443002； 2. 西安建筑科技大學 理學院， 西安 710055)

本文主要討論了正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計問題，即對正則的正實部函數(shù)，從已知的三階，四階導數(shù)估計式，利用歸納法原理及正則的正實部函數(shù)的性質(zhì)推出n階導數(shù)的一般估計式．

正實部函數(shù)； 正則函數(shù)； 導數(shù)； 估計

對于有界正則函數(shù)族B={φ(z)|φ(z)=c+c1z+…+cnzn+…，且|φ(z)|<1}中的函數(shù)，有熟知的經(jīng)典不等式

潘一飛、廖孝中[1]對此類函數(shù)族進行了研究，得到二階導數(shù)估計式如下：

設(shè)φ(z)=c0+c1z+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，且|φ(z)|<1，則

并由此得到，正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計式：

苑文法[2]將正則函數(shù)的導數(shù)估計推到三階和四階，并由此苑文法[3]將正則的正實部函數(shù)的導數(shù)

估計推到三階和四階，得到

|g(4)(z)|≤

苑文法[4]將有界正則函數(shù)的導數(shù)估計式推廣到一般(n階)的估計表達式，

本文的目的是對正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計做進一步的研究，推出正則的正實部函數(shù)的導數(shù)的估計式．從而將導數(shù)估計的問題，從特殊推廣到一般．

主要結(jié)果：

定理 設(shè)g(z)=a0+a1z+…+anzn+…在|z|<1內(nèi)正則，且Reg(z)>0，則

在證明定理之前，引入和證明下面的幾個引理．

引理1[5]設(shè)φ(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，|φ(z)|<1，則

成立．其中|s|<1，g0=φ(z)

引理2[5]設(shè)φ(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，|φ(z)|<1，則

成立．

引理3 若g(z)=c0+c1z+c2z2+…+cnzn+…在|z|<1內(nèi)正則，且Reg(z)>0．則

成立．

證明：考慮函數(shù)

由于正實部函數(shù)展開式的系數(shù)滿足：

|an|≤2Re{a0}

故有關(guān)系

|G(n)(0)|≤2n！Reg(z)

由引理1，有

則

2n！Reg(z)(n≥1)

利用引理2和三角不等式，并令v=n-j，則有

所以引理3得證．

為證明的簡單化，用歸納法來證明定理：

證明：當n=1時，有I(1，0)=1，得

所以，定理成立；

當n=2時，I(2，1)=I(1，0)=1，I(2，0)=1，得

所以，定理成立；

假設(shè)當n=k時，估計式成立，即有

下證n=k+1的情形，考慮函數(shù)

并對其求n階導數(shù)，令s=0，由引理3可得

將式(5)代入式(6)，得

即

故定理得證，即式(1)成立．

從而解決了正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計問題．

[1] 潘一飛，廖孝中．關(guān)于有界函數(shù)的導數(shù)[J]．江西師范大學學報,1984(1)：21-24．

[2] 苑文法，溫金環(huán)．關(guān)于有界函數(shù)的導數(shù)的估計[J]．純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學，2001,17(4)：358-362．

[3] 苑文法，王玉英，潘智民．正則的正實部函數(shù)的導數(shù)估計[J]．純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學，2004,20(3)：225-227．

[4] 苑文法．有界正則函數(shù)的導數(shù)估計[J]．數(shù)學雜志,2001,21(3)：301-303．

[5] 龔 升．關(guān)于M?bius變換的一點注記(一)[J]．純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學,1985,1(1)：1-15．

[6] Shaffer D B． On Bounds for the Derivative of Analytic Functions[J]．Proc. Amer. Math. Soc., 1973，37(2)：517-520．

[責任編輯 王迎春]

Estimation of Derivatives forRegular PositiveReal Part Functions

Guo Yibing1Yuan Wenfa2Pang Yongfeng2

(1. College of Science & Technology, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China; 2. College of Science, Xi'an Univ. of Architecture & Technology, Xi'an 710055, China)

The problem of estimating the nth derivative of regular positive real part functions:g(z)=c0+c1z+…+cnzn+…, which are regular in |z|<1 and Reg(z)>0, is discussed. With the principle of inductive method and the characters of regular positive real part functions, an estimation formula of the nth derivative for the functions is presented.

regular positively real part function; regular function； derivatives; estimation

2016-05-04

陜西省自然科學基金(2014JM1010)

郭怡冰(1983-)，女，碩士，講師，主要研究方向為幾何函數(shù)論．E-mail：670069604@qq.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.023

O174

A

1672-948X(2017)04-0110-03