利用全反力的定向性巧解中學物理動力學問題

盧 偉

(岳陽市第一中學,湖南 岳陽 414000)

利用全反力的定向性巧解中學物理動力學問題

盧 偉

(岳陽市第一中學,湖南 岳陽 414000)

本文探究了全反力的定向條件與應用,對于中學物理中的靜力學平衡問題及動力學問題的解決均有一定的應用價值,同時通過應用可以提高學生的思維能力．

全反力； 摩擦角； 動力學

中學物理中經常分析求解與摩擦有關的力學問題(含靜力學平衡問題和動力學非平衡問題),鑒于有一些文章已經探討過利用全反力與摩擦角巧解中學物理中的平衡問題,本文僅限于探討利用全反力在一定條件下的定向性巧解動力學非平衡問題,可以做到簡化解題思路,提高解題效率．

1 全反力、摩擦角和自鎖的概念和規律

(1) 全反力:理論力學中,法向反力FN與靜摩擦力Fs的合力FRA稱為支持面對物體的全約束力,又稱全反力,如圖1所示．

(2) 摩擦角:摩擦力Fs達到最大值Fmax時,這時FRA與FN的夾角也達到最大值φm,φm稱為摩擦角,如圖2所示．

圖1

圖2

① 物體即將滑動時全反力的方向決定于最大靜摩擦因數μs,與FN的大小無關．物體滑動時(無論勻速還是變速)的全反力的方向決定于動摩擦因數μ,也與FN的大小無關．

圖3

② 全反力方向在以法線為軸的錐形區間內,稱為摩擦錐(筆者將其稱為自鎖區),如圖3所示．如果作用于物體的主動力的合力FR的作用線在摩擦角之內(自鎖區內),則無論這個力多么大,總有一個全反力FRA與之平衡,物體保持靜止,如圖4所示;反之,如果主動力的合力FR的作用線在摩擦角之外(圓錐自鎖區外),則無論這個力多么小,物體也不可能保持平衡,如圖5所示．這種與力大小無關而與摩擦角有關的平衡條件稱為自鎖條件．物體在這種條件下的平衡現象稱之自鎖現象．

圖4

圖5

③ 自鎖現象中一般有一個力發生變化,從而導致與其關聯的其他力相應變化,但物體的平衡狀態卻不能被打破．因此在任意方向的坐標軸上都有ΔF正向=ΔF負向．

④ 一般情況下μs>μ,中學階段為了突出基礎,降低難度,簡化問題,將最大靜摩擦因數μs與動摩擦因數μ等同處理——所以試題中經常說明“最大靜摩擦力等于滑動摩擦力”,值得注意的是2012年高考新課標第24題中,動摩擦因數與最大靜摩擦因數分別用μ和λ表示,進行了區分．

2 全反力與摩擦角在動力學問題中的應用

圖6

(1) 求物塊加速度的大小及到達B點時速度的大小．

(2) 拉力F與斜面的夾角多大時,拉力F最小?拉力F的最小值是多少?

傳統解法(以牛頓運動定律為核心的解析法).

(1) 設物塊加速度的大小為a,到達B點時速度的大小為v,由運動學公式得

(1)

v=v0+at.

(2)

聯立(1)、(2)式得

a=3 m/s2.

(3)

v=8 m/s.

(4)

圖7

(2) 設物塊所受支持力為FN,所受摩擦力為Ff,拉力與斜面間的夾角為α,受力分析如圖7所示,由牛頓第二定律得

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma.

(5)

Fsinα+FN-mgcosθ=0.

(6)

又

Ff=μFN.

(7)

聯立(5)～(7)式得

(8)

由數學知識得

(9)

由(8)(9)式可知對應F最小的夾角為

α=30°.

(10)

聯立(3)(8)(10)式,代入數據得F的最小值為

(11)

非傳統解法(應用全反力定向規律的圖解法).

(1) 第一問解法與傳統解法相同．

(2) 設物塊所受全反力為FRA,FRA與法線的夾角(摩擦角)為φs,拉力F與斜面間的夾角為α,受力分析如圖8所示．

由第(1)問分析可得合力的大小為

F合=ma=1.2N.

圖8 受力分析

圖9 構建力矢量圖

將全反力平移,使其末端與合力的末端連接,拉力的起端為重力的末端,拉力的終端為全反力的起端,則當拉力F與全反力FRA垂直時,拉力F最小,如圖9所示,此時重力、拉力、全反力首尾相連后形成缺口,連接缺口的力即為合力,合力的起端為重力的始端,合力的終端為全反力的末端．

可知拉力與水平面的夾角(θ+α)等于重力與全反力之間的之間的夾角(θ+φs),故

圖10 解力三角形

α=φs=30°.

將拉力拆成F1和F2兩個同向分量,構建兩個力三角形,如圖10所示．則有

所以最小拉力為

比較兩種解法,以牛頓運動定律為核心的解析法,需要借助三角函數求極值方法(也稱輔助角公式),過程嚴謹,但較為抽象,適用于計算題;以全反力定向規律為核心的圖解法,則需要借助幾何知識(求角和邊長),過程直觀,物理意義明確,特別是對于闡明拉力為什么垂直于全反力時最小變得簡單明了,但圖解法需要較多的文字說明圖形的物理意義,更適用于選擇與填空題．

掌握全反力與摩擦角的有關規律,在求解靜力學問題和動力學問題時靈活運用,可以有效降低分析難度,簡化解題過程．

1 哈爾濱工業大學理論力學教研室編.理論力學(Ⅰ)(第6版)[M].北京： 高等教育出版社，2002：111.

本文系湖南省教育規劃課題“數學模型在中學物理教學中的建構與應用研究”(編號:XJK014CZXX077)階段性成果之一．

2017-04-12)