醫院就醫排隊問題的解決

朱春蓮

摘 要：就醫排隊是人們在醫院中經常遇到的現象，眾多形式諸如掛號、門診、劃價、取藥、打針等，都需要排隊。本文運用理論研究、數據分析和模型估測相結合的方法，以排隊論為基礎，著重對醫院掛號排隊系統的相關數據予以分析，歸納。從隊長、等待時間、忙時等運行指標方面予以闡述，并運用有關醫院系統的排隊問題數學模型，以期找到門診窗口所需最佳排隊數量。以利于減少患者等待時間，提高醫務人員工作效率，提升醫院服務形象。

關鍵詞：排隊論；醫院掛號排隊系統；數學模型

人的一生，疾病總會或早或遲地來到，入院就醫是不可避免的一種社會現象。然而，目前，我國醫療資源在質與量上的不對稱性，人口分布的不均衡以及大醫院情節的普遍存在性等諸多原因，使得部分醫院往往承受著巨大的服務壓力，而患者也深受扎堆就醫，看病等候時間過長等問題的困擾。而在構成門診流程首尾連接的眾多單環節點譬如掛號、就診、檢查、治療、劃價、交費、取藥等中，排隊掛號顯得尤為重要與突出，掛號是患者接受服務的第一站，掛號窗口的服務直接影響患者的心情。掛號窗口的數目直接影響到患者的等待時間。如何合理有效地運行醫院排隊掛號系統，這是值得深思的問題。患者的需求雖然迥異，且隨機性很大，但卻不是毫無規律可尋，因而通過實地搜集的相關數據的分析整合，構建模型，我們可以深入洞悉醫院排隊掛號系統呈現出的規律性，為醫院排隊系統效率提升提供有力數據模型支撐，為醫院排隊長問題的解決提出針對性意見建議。醫院排隊掛號系統是整個醫院醫療系統的重要組成部分之一，基于排隊論的排隊掛號系統研究，能夠很好地豐富完善醫療系統的相關分析理論與方法；而作為醫院就診的首發系統，排隊掛號系統的研究與相關模型的構建，將無疑利于醫院就掛號窗口及工作人員的安排進行最優化和最優運營，提出科學有效的整改意見，以增加預見性，減少盲目性；有助于就節省患者和家屬等待時間，提高看病效率和病人滿意度.同時也有效地降低窗口服務人員的工作強度。

排隊論是通過研究各種服務系統在排隊等待現象中的概率特性，從而解決服務系統最優設計與最優控制的一門學科[1]。它被廣泛地應用于各類型諸如交通、計算機存儲和生產管理等多類型系統，以解決各種有形無形的排隊問題。關于排隊論的理論研究，國內外均有不同程度的研究，而國外研究歷史久遠且相對比較成熟。1910年，丹麥電話工程師愛爾朗在解決自動電話設計問題時形成的話務理論[2]標志著經典排隊論的誕生。W.Feller 在20世紀30年代中期引進了生滅過程，排隊論被數學界承認為一門重要的學科。在第二次世界大戰期間及以后，排隊論在運籌學這個新領域中成為了一個重要的內容，人們對排隊問題的理論研究也不斷取得新的進展。約在1950年初期，英國數學家D.G.肯德爾提出的嵌入馬爾可夫鏈理論則為排隊論奠定了理論基礎[3]。70年代以來，隨著經典排隊論在實踐應用中的諸多弊端的出現，Levy與Yechialih[4]提出休假排隊系統論，排隊論得以進一步發展。80年代以后，人們對于排隊論的研究則更多地趨于對于實踐的應用。1971年Gupta I，Zoreda J，Kramer，N[5]將排隊論的方法和模型應用到醫院管理中，開啟了排隊論在醫療服務系統中應用的先河。1999年Tucker J B [6]等以醫院病人等待時間和醫院成本支出等相關數據分析為基就美國一家醫院的手術室人員配置優化引入排隊論模型，得出醫院當減少一組備用人員以實現最優化。Trapman[7]于2009年將排隊論理論應用公共衛生領域的研究，醫院的個體機構過渡到多個機構，實現了排隊論從更廣范圍的應用。2010年 Palvannan R K，Teow K L[8，9]等人則從 M/G/1，M/M/c 等多個模型的角度，對健康領域排隊論的應用進行了相關研究。國內對于排隊論的理論研究，始于20世紀90年代，開始已經有學術研究，并隨之逐步運用到各種實踐中。2003年陳慶宏，溫渤[10]運用排隊論的相關理論就生產過程時間組織中的具體問題進行了相關研究。2007年高金華，李潔[11]則將隨機過程、排隊論的基礎知識，及愛爾朗排隊模型的運用相結合，為航站樓值機大廳的旅客組織和面積設計提供相關理論依據。隨之，國內排隊論在醫療服務系統中的應用研究也逐步發展[12]。但相對于國外這方面的研究而言，則顯得略為單薄，具體的文獻并不太多，而僅有的本分文獻則多在介紹簡單的單一模型與實例，研究的完整性、系統性有待加強。2005年，趙軍寬，彭迎春[13，14]等利用排隊論對門診掛號、收費、內科等部門的服務流程效率予以了測量，并積極肯定了排隊論的理論與方法在門診服務流程效率評價過程中的可行性，同時也指出其有待需要在實踐中改善之處。2007年朱勤忠[15]，應向華等采用排隊論模擬、計算平均等待時間和空閑時間等指標，意在對區域大型醫療設備配置規劃的相關問題提出合理化建議。

一、排隊系統的介紹

（一）排隊系統的基本組成

排隊系統過程是指顧客由顧客源出發排隊等候至接受服務機構服務，繼而離開的完整過程，具體而言，排隊系統一般由三個基本部分組成：

1、輸入過程指顧客到以怎樣的規律到達排隊系統。顧客總體（顧客源）指可能到達服務機構的顧客總數。顧客總體數可能是有限的，也可能是無限。顧客到達的方式指顧客的到達是單個的還是成批的。顧客相繼到達的時間間隔分布可以是是確定型的，也可以是隨機型的。

在一定的時間間隔內，系統內到達顧客數的概率分布常見的有兩種：定長分布，即顧客相繼到達的時間間隔是確定的；泊松分布，即顧客單個到來且相互獨立，一定時間到達的個數服務參數為λ的泊松分布，則顧客到達系統的時間間隔服從參數為的指數分布。假定輸入過程是平穩的，也就是說顧客相繼到達的時間間隔分布及所含參數是不隨時間的變化而變化的、是與時間無關的。時間的分布則也假定為平穩的。

2、排隊規則指顧客接受服務的規則，是排隊系統的一個重要的組成部分。主要分為三種情況。（1）隨即離去并假定永遠不再回來的稱為即時制或稱損失制。（2）顧客不離開、排隊等候的稱為等待制。對于等待制，為顧客進行服務又主要分為：先到先服務、先到后服務、隨機服務和優先權服務。（3）混合制，即損失制與等待制的混合，分為隊長有限的混合制系統，等待時間有限的混合制系統，以及逗留時間有限的混合制。

3、服務機構有三個參數：（1）服務時間是指顧客從開始接受服務到服務完成所花費的時間。服務時間是一個隨機變量，因為每個顧客要辦理的業務不一定是一樣的，存在很多影響服務機構服務時間的隨機因素。可用顧客服務時間的概率分布描述，主要形式有定長分布與指數分布。（2）服務臺數量一般分為單臺還是多臺，多服務臺時服務臺可以是平行排列（并列），也可以是前后排列（串聯），亦可以是混合的。排列方式有單隊——單服務臺、多隊——多服務臺（并列）、單隊——多服務臺（并列）、多服務臺（串聯）、多服務臺（混合）等情形。（3）系統容量是指在排隊系統中等候人數和正在服務的顧客數的總數。

（二）排隊系統的主要數量指標

我們求解排隊問題就是計算排隊系統各項基本數量指標的過程，而各排隊系統的數量指標是我們，對系統的運行效率進行分析，系統的服務狀況進行估計，系統特征量的最優值予以確定的數據基礎；也是我們實現系統最優設計、最優運營或最優控制的定量依據。據調查，從顧客與服務機構兩方面利益出發而言，隊長、等待時間、服務臺的忙期等三方面則成為衡量一個排隊系統的好壞主要標準。而根據系統狀態特征是否隨時間t的變化而變化，數量指標可分為瞬時性能指標與穩定性能指標。為了更好地進行研究，我們往往采用穩定性能指標。從隊長、等待時間、服務臺的忙期等三面出發我們主要采用以下穩定性能指標對醫院排隊掛號系統予以分析。

1、隊長，即顧客數。在此我們采用排隊的平均顧客數（排隊長）和系統中的平均顧客數（隊列長）兩大指標予以分析，Lq、Ls分別進行表示，且后者為前者與正在被服務的顧客數之和。2、等待時間指顧客自進入系統到接受服務而花費的時間。衡量“等待時間”我們也采取三種穩定性能指標：排隊上的平均等待時間（等待時間）；系統里的平均逗留時間（逗留時間），系統等待概率。逗留時間為等待時間與被服務平均時間之和。以Wq為排隊上的平均等待時間，Ws系統里的平均逗留時間。系統等待概率指顧客到達系統得不到服務，必須排隊等待服務的概率，用Pw表示。3、忙時指服務機構連續繁忙的時間長度，即顧客從到達空閑著的服務機構起，到服務機構再次空閑止的這段時間，是個隨機變量。基于此，我們此處從相反方向考慮相關指標，即閑時概率：系統中沒有顧客，服務設施均空閑的概率，用P0表示。

（三）排隊系統模型

排隊系統模型是為了研究系統的相關特性，基于收集、處理、分析有關排隊相關數據，提取相關數量指標，而建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。與排隊系統三大主要特征“輸入過程、排隊規則和服務機構”的不同，排隊系統模型可分為多種。英國數學家D.GKendall提出的“Kendall記號”法被廣泛采用，其一般表達格式為：X/Y/Z/A/B/C。其中：X—顧客相繼到達的間隔時間的分布；Y—服務時間的分布；Z—服務臺個數；A—系統容量限制（即可容納的最多顧客數，包括正在服務和排隊等待的顧客，默認為∞）；B—顧客源數目（默認為∞）；C—服務規則（默認為先到先服務 FCFS）。對于X、Y而言，有多種概率分布形式的存在，我們一般默認M表示負指數分布；D為確定型分布；Ek為k階愛爾蘭分布；G為一般分布；Gl為一般獨立的分布；G-則為一般隨機分布。不同模型適應不同的條件與場合。

二、醫院掛號排隊系統的數據采集以及統計分析

被調查醫院共有3個掛號窗口，顧客到達醫院時會登記到達醫院時間，并選取一個窗口排隊掛號，構成“多隊——多服務臺”（并列）的情形。所需獲取的單位時間內到達的顧客數和顧客的服務時間等數據是隨機的。且我們假定該兩種數據分布平穩。

（一）原始數據的采集

1、醫院掛號排隊系統“單位時間內到達的顧客數”。收集了2012年12月中旬兩個星期，從周一到周五共10天該醫院門診掛號病人的到達情況。該醫院每天掛號時間為早上8點到下午4點。以到達醫院服務臺登記等待掛號為進入排隊系統標志，結束服務離開為終止標志。在此過程中，我們以2分鐘為1個時間單位，記錄該時間單位內到達的顧客數，并隨機調查了204個樣本。該樣本數據的統計分布，具體見表1（所有樣本之和為1017）：

2、醫院掛號排隊系統“每位顧客的服務時間”。我們隨機調查了182位病人掛號的服務時間，并對該182個樣本數據的分布做了概率分布圖，見圖1。

3、顧客到達過程形成Poisson流的檢驗。Poisson過程的定義：設 為時間 內到達系統的顧客數，如果滿足下面三個條件，則稱 為Poisson過程。（1）平穩性 內有一個顧客到達的概率為 ；（2）獨立性，任意兩個不想交區間內顧客到達情況相互獨立；（3）普通性，在 內多于一個顧客到達的概率為 。

， 是分析的組數， 是自變量個數，很明顯， 。從拒絕域可認為單位時間內到達的顧客數服從Poisson分布，即顧客的到達過程形成強度為 的Poisson流。

4、顧客服務時間滿足雙參數指數分布的檢驗。圖2和來自指數分布總體的數據直方圖有相似的地方。但圖2和來自指數分布總體的數據的頻率直方圖有明顯的差異，則猜想每位顧客的服務時間 服從雙參數指數分布 ，其概率密度函數定義為： （當 時雙參數指數分布 退化為指數分布 ）。下面采用 擬合檢驗對猜想進行驗證，參數估計： （秒）（ 是所有樣本中最小的那個）。 （秒） 。檢驗統計量： 。取顯著性水平為 ，得到檢驗的拒絕域為： ， 是分析的組數， 是自變量個數，很明顯， 。從拒絕域可認為每位顧客的服務時間服從雙參數指數分布。

（二）醫院掛號排隊系統模型的確定

由上面的擬合檢驗結果可以判定，該醫院掛號排隊系統符合排隊論中的 個 型排隊模型 。該排隊模型相對應的排隊系統的三大特征為：輸入過程——顧客源數量有限，且顧客到達呈相互獨立分布，而一定時間內顧客到達數則服從“Poisson”分布；排隊規則——多隊并列且隊長無限制，先到先服務；服務機構——多服務臺并列，各服務臺的服務時間是相互獨立且服從相同的分布，各服務臺工作相互獨立且平均服務率相同。