借助數(shù)學(xué)模型突破截交線與相貫線的教學(xué)難點(diǎn)

王志軍

（江蘇省張家港工貿(mào)職業(yè)高級(jí)中學(xué)，江蘇 張家港 215600）

借助數(shù)學(xué)模型突破截交線與相貫線的教學(xué)難點(diǎn)

王志軍

（江蘇省張家港工貿(mào)職業(yè)高級(jí)中學(xué)，江蘇 張家港 215600）

為適應(yīng)數(shù)控自動(dòng)化機(jī)械操作的需要，改革傳統(tǒng)機(jī)械制圖教材；增加截交線、相貫線及其展開方程的介紹；力求提高學(xué)生的操作技能。

機(jī)械制圖；截交線；相貫線；方程；教學(xué)改革

1 問題的提出

在職業(yè)學(xué)校現(xiàn)行的《機(jī)械制圖》教材中，關(guān)于截交線與相貫線內(nèi)容的教學(xué)，主要是基于傳統(tǒng)的機(jī)械加工方法，包括放樣制作、劃線、手工切割等組織教學(xué)。在生產(chǎn)實(shí)踐中，由于受這種手工作圖與手工操作局限性的限制，在質(zhì)量、效率上都難于達(dá)到高水準(zhǔn)。

隨著科技的發(fā)展，企業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)的需要，機(jī)械自動(dòng)化程度的不斷提高，這種傳統(tǒng)的方法已經(jīng)被數(shù)控技術(shù)、甚至機(jī)器人技術(shù)所逐步取代。基于上述原因，職業(yè)學(xué)校的《機(jī)械制圖》教學(xué)為了適應(yīng)這一需求，勢(shì)必要對(duì)這些呈現(xiàn)滯后性的教學(xué)內(nèi)容實(shí)施改革。

2 解決方案

筆者認(rèn)為，可以在《機(jī)械制圖》課程適當(dāng)增加有關(guān)截交線與相貫線的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的介紹，掌握數(shù)控編程中所需的有關(guān)軌跡方程的求解，選取適當(dāng)?shù)膽?yīng)用實(shí)例給學(xué)生實(shí)習(xí)。文章舉幾個(gè)例子進(jìn)行說明：

（1）圓柱體正截面交線及其展開線的方程。首先給出圓柱體正截交線是橢圓的理論證明，讓學(xué)生從理性上加深截交線是橢圓的認(rèn)識(shí)，并掌握?qǐng)A柱圓半徑r、截面與圓柱底面傾斜角α、橢圓長(zhǎng)半軸a、短半軸b等元素間的關(guān)系，利于實(shí)際相關(guān)問題的計(jì)算與處理等。

圓柱體正截交線是橢圓的證明：如圖1所示，設(shè)圓柱體底面半徑為r。在圓柱體斜截面上方放置一個(gè)半徑為r，與圓柱體內(nèi)壁和斜截面都相切的球，它與斜截面產(chǎn)生了一個(gè)切點(diǎn)F1；在圓柱體斜截面下方也放一個(gè)半徑為r，與圓柱體內(nèi)壁和斜截面都相切的球，它與斜截面產(chǎn)生了另一個(gè)切點(diǎn)F2。由于球外一點(diǎn)到球的各方向切線都相等，因此，斜截面邊界上的所有點(diǎn)P到斜截面上的兩個(gè)切點(diǎn)距離和PF1+PF2總是等于這個(gè)點(diǎn)到上下兩圓與圓柱體內(nèi)壁相切處的距離和PM+PN=O1O2=定值（即上下兩圓的圓心距離），也就是說，根據(jù)橢圓定義：一個(gè)支點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和是定值，則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，所以，這個(gè)斜截面是以兩切點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓。

圖1

圖2

探索截面橢圓、傾角、底圓半徑等元素間的關(guān)系：如圖2所示，設(shè)截面橢圓與圓柱底平面的交角為α，則橢圓短軸2b=2r為定值，橢圓長(zhǎng)軸2a方向與交角方向一致，a、b、r、α等之間的關(guān)系為b=r=aCosα。于是，在正截面上的橢圓方程為借助上述關(guān)系，可知O'A在側(cè)面的射影等于O'C=AC·tgα。得到截面左視圖隨傾角α變化的變化規(guī)律：α=45°，截面左視圖是圓；α＞45°，截面左視圖是長(zhǎng)軸為O'A射影的橢圓；反之亦然。

圖3

圓柱體正截交線平面展開圖形軌跡的探求。關(guān)鍵是要掌握其橢圓在空間的軌跡方程，如圖3所示，設(shè)圓柱體半徑為R；斜截面與柱體底平面（垂直于中心軸的截面）夾角為α；斜面中心到底平面距離為h。根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)定展開時(shí)沿FG剪開鋪平，若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE為y軸，那么圓周就是展開圖的x軸。截面圓周上動(dòng)點(diǎn)M，在展開圖上橫坐標(biāo)就是AP“弧”（有正負(fù)），縱坐標(biāo)就是高PM。以AP“弧”（有向）的圓心角θ（-π≤θ≤π）為參數(shù)，則x=Rθ，y=PM=CD=ON=OO‘-N O’=h-DN*tanα=h-OC*tanα=h-Rcosθtanα。消去參數(shù)θ，得到y(tǒng)=h-（Rtanα）cos（x/R），-πR≤x≤πR。

取h=3，R=2，α=30°，可以非常輕松的作出其平面展開圖，效果如圖4所示。

圖4 平面展開效果圖

（2）兩圓柱面相貫線及其展開曲線的方程。設(shè)圓柱體Ⅰ和Ⅱ的半徑分別為R和r（R＞r），兩異面軸線成角θ，距離為e。建立如圖5所示的坐標(biāo)系，yoz平面向前移動(dòng)e，再逆時(shí)針轉(zhuǎn)θ，則與y'o'z'平面重合；于是，根據(jù)旋轉(zhuǎn)公式與平移公式有：

圖5

Ⅱ圓柱面在o'-x'y'z'中的參數(shù)方程為：

則有兩圓柱面相貫線在坐標(biāo)系o'-x'y'z'中的參數(shù)方程為：

β=0～2π，是參數(shù)方程的參數(shù)。

將式（4）代入式（5）整理得：

對(duì)圓柱體Ⅱ，從其在o'-x'y'平面母線處展開為平面，則兩圓柱面相貫線在展開的新平面內(nèi)的曲線方程的縱坐標(biāo)f（x）=y'，橫坐標(biāo)x的值是半徑r圓的圓心角β所對(duì)的圓弧長(zhǎng)l，即x=l=rβ。

設(shè)R=3.5、r=1、θ=30°、e=1，則其展開曲線的平面圖圖圖6所示。

圖6

對(duì)于圓柱體I、II的情形，當(dāng)軸線選取不同的坐標(biāo)軸時(shí)，所得到的相貫線參數(shù)方程的形式略有不同，但結(jié)構(gòu)的本質(zhì)是一致的。運(yùn)用類似的方法，可得各類立體面的相貫線方程及其平面展開線方程，由于篇幅關(guān)系，這里就不再具體展開。

（3）應(yīng)用舉例。在生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)遇到一些截交和相貫的問題，例如拉桿接頭上的截交線（如圖7（a）所示）和三通上的相貫線（如圖7（b）所示），因此必須研究求作截交線和相貫線的一般方法。

圖7

首先分析該立體是由哪些基本體所組成的，接下來分析截平面與每個(gè)被截的基本體的相對(duì)位置、截交線的形狀和投影特征，最后可以逐一畫出基本體的截交線，圍成封閉的平面圖形。

該組合體（拉桿接頭）由同軸的圓柱、圓錐和圓球三部分構(gòu)成。頭部被正平面P前、后對(duì)稱地各切去一塊，在前、后表面上各產(chǎn)生一條封閉的平面曲線。從俯視圖中可以看出，截平面P和圓柱不相交，P平面和圓球的截交線是圓，P平面和圓錐的截交線為雙曲線。由于截平面為正平面，所以截交線的 V面投影反映其實(shí)形，H面、W面投影積聚成直線段。

圖8

作圖：（如圖8所示）找到圓球與圓錐的分界線，然后分別求出這兩段截交線，兩段截交線的結(jié)合點(diǎn)必在分界線上，然后找到雙曲線的特殊點(diǎn)（頂點(diǎn)）并利用雙曲線的相關(guān)知識(shí)去解決一系列問題。

3 結(jié)論

文章給出的截交線、相貫線數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，為處理同類問題，提供了一種有效的思維方法，為機(jī)械專業(yè)類學(xué)生在數(shù)控車床、數(shù)控焊接機(jī)器人的操作應(yīng)用上，提供了必要的知識(shí)貯備，提升了實(shí)際操作能力，為實(shí)施課程改革，構(gòu)建現(xiàn)代化職教課程體系，增添了無限活力。

Using M athematical M odel to Break the Teaching Difficulty of Interception Line and Intersection Line

WANG Zhi-jun
（Zhangjiagang Industry and Trade Vocational High School，Jiangsu Province，Zhangjiagang，Jiangsu 215600，China）

In order to meet the needs of CNC automatic mechanical operation,it needs to reform the traditional mechanical drawing materials，add intersecting lines and extended equation and improve the operational skills of students.

mechanical drawing；intersecting line；equation；teaching reform

TH126-4

A

2095-980X（2017）06-0167-02

2017-05-15

王志軍（1970-），男，江蘇張家港人，大學(xué)本科，高級(jí)講師，主要研究方向：機(jī)械工程教育。