函數連續、可導與可微之間的關系

摘 要：本文分別就一元函數與二元函數連續、可導與可微之間的關系進行梳理，并給出相應的定理、實例及證明，旨在幫學生理清函數連續、可導與可微之間的關系。

關鍵詞：函數；連續；可導；可微；一元；二元

高等數學中的一道常考題為：二元函數

[f（x，y）xyx2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]在點（0，0）處是否連續，偏導數是否存在？通常以選擇題的形式出現，但是每次考查，得分率一直都不理想的原因在于學生沒有理清函數連續、可導與可微之間的關系。本文旨在幫學生理清函數連續、可導與可微之間的關系。

一、一元函數連續、可導與可微之間的關系

1.一元函數連續是可導的必要非充分條件，即函數可導一定連續，但函數連續卻不一定可導。

定理1【1】如果函數y=f（x）在x0處可導，則f（x）在x0處必連續。

證明：因為函數y=f（x）在x0處可導，即[limVx→0VyVx=A]，由具有極限的變量與無窮小的關系知：[VyVx=A+?]（其中[?]為當[Vy0]時的無窮小），即Vy=AVx+[?Vx]，所以[limvx→0VY=0]，即f（x）在x0處連續。

例1[fx=x]在x=0處連續卻不可導。

證明：因為[limx→0fx=limx→0x=0]，[limx→0+fx=limx→0+x=0]，[f0=0=0]，即[limx→0-fx=limx→0+x=f（0）]，所以[fx=x]在x=0處連續。又因為

[f'-0=limh→0-f0+h-f（0）h=limh→0-0+h-0h=limh→0--hh=-1]，

[f'+0=limh→0+f0+h-f（0）h=limh→0+0+h-0h=limh→0+hh=1]，[f'-0≠f'+0]，

所以[fx=x]在x=0處不可導。即[fx=x]在x=0處連續卻不可導。

2.一元函數可微與可導是等價的。

定理2【1】函數y=f（x）在x0處可微的充要條件是函數f（x）在x0處可導。

證明：（必要性）因為y=f（x）在x0處可微，則Vy=AVx+0（Vx），即[VyVx=A+0（Vx）Vx]，于是，當Vx→0時，[A=limVx→0VyVxf（x0）]。

（充分性）若函數y=f（x）在x0處可導，則[limVx→0VyVx=f'（x0）]存在，根據極限與無窮小的關系，則[VyVx=f'x0+?]（其中[?]為當Vx→0時的無窮小），即vy=f（x0）vx+[?VX]，這里[f'（x0）]是與[Vx]無關的常數，而[?VX]是Vx→0時的高階無窮小，故函數y=f（x）在x0處可微。

3.一元函數可微與可導是等價的，顯然，一元函數連續也是可微的必要非充分條件。

二、二元函數連續、可導與可微之間的關系

1.二元函數連續與可導之間沒有必然聯系。

例2二元函數[f（x，y）xyx2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]在點（0，0）處不連續，但偏導數存在。

證明：因為當動點P（x，y）沿路徑y=kx趨于（0，0）點時，有[limx→0y→0xyx2+y2=limx→0kx2x2+（kx）2=limx→0k1+k2]，當k取不同值時，函數趨于不同的常數，所以該函數當（x，y）→（0，0）時極限不存在，從而f（x，y）在點（0，0）處不連續，

因為[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=0]，

[fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=0]，

所以f（x，y）在點（0，0）處偏導數存在。

例3二元函數[fx，y=sinx2+y2]在點（0，0）處連續，但偏導數不存在。

證明：因為[limx→0y→0fx，y=limx→0y→0sinx2+y2=0=f（0，0）]，所以[fx，y=sinx2+y2]在點（0，0）處連續。

因為[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=limVx→0sinVxVx]不存在，

[fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=limVy→0sinVyVy]也不存在，所以f（x，y）在點（0，0）處偏導數不存在。

2.二元函數可微是可導的充分不必要條件。

定理3【2】若函數z=f（x，y）在P（x0，y0）處可微分，則函數在P（x0，y0）處的偏導數[?z?x]和[?z?y]存在，且函數z=f（x，y）在P（x0，y0）處的全微分為：dz=fx（x0，y0）Vx+fy（x0，y0）Vy=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy。

證明：因為函數z=f（x，y）在P（x0，y0）處可微分，由全微分的定義知，Vz=f（x0+Vx，y0+Vy）-f（x0，y0）=AVx+BVy+0（ρ），其中ρ=[（Vx）2+（Vy）2]。當Vy=0時，Vz=f（x0+Vx，y0）-f（x0，y0）=Vxz=AVx+0（[Vx]），從而有[limVx→0VxzVz=fxx0，y0=A]，

同理，當[Vx=0]時，Vz=f（x0，y0+Vy）-f（x0，y0）=Vyz=BVyx+0（[Vy]），從而有[limVy→0VyzVy=fxx0，y0=B]。

所以函數z=f（x，y）在P（x0，y0）處的全微分dz=fx（x0，y0）Vx+fy（x0，y0）Vy=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy。

例4函數[fx，y=xyx2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]在點（0，0）處可導，但卻不可微。endprint

證明：因為[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=0]，

[fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=0]，所以f（x，y）在點（0，0）處可導。

因為

[Vz-dz=f0+Vx，0+Vy-f0，0-fx0，0Vx+fy0，0Vy=VxVy（Vx）2+（Vy）2]

在ρ=[（Vx）2+（Vy）2]→0的過程中，當沿著路徑y=kx趨于（0，0）點時，[Vz-dzρ=VxVy（Vx）2+（Vy）2（Vx）2+（Vy）2=VxVy（Vx）2+（Vy）2=k（Vx）2Vx2（1+k2）=k1+k2]不趨于0，即[Vz-dz]不是[ρ]的高階無窮小，從而由微分的定義知函數在點（0，0）處不可微。

3.二元函數可微是連續的充分不必要條件。

定理4：若函數z=f（x，y）在點（x，y）處可微分，則函數z=f（x，y）在點（x，y）處連續。

證明：因為函數z=f（x，y）在點（x，y）處可微分，所以[Vz=AVx+BVy+oρ，ρ=（Vx）2+（Vy）2，limρ→0Vz=0][limVx→0Vy→0f（x+Vx，y+Vy）=limρ→0fx，y+Vz=f（x，y）]。即函數z=f（x，y）在點（x，y）處連續。

例5二元函數[fx，y=sinx2+y2]在點（0，0）處連續，但在點（0，0）處偏導數不存在，也不可微。

證明由例3可知[fx，y=sinx2+y2]在點（0，0）處連續，但偏導數不存在。由定理3可知，偏導數不存在，則不可微。

4.二元函數的偏導數連續是函數可微的充分不必要條件。

定理5【2】若二元函數z=f（x，y）的偏導數[?z?x，?z?y]在點（x，y）處連續，則函數z=f（x，y）在該點處可微分。

證明：

[vz=fx+Vx，y+Vy-fx，y=fx+Vx，y+Vy-fx，y+Vy+fx，y+Vy-fx，y]，

由拉格朗日中值定理，有

[fx+Vx，y+Vy-fx，y+Vy=fxx+θ1Vx，y+VyVx，（0<θ1<1）]。再由[fx（x，y）]在點（x，y）處的連續性及極限與無窮小的關系知[limVx→0Vy→0fxx+θ1Vx，y+Vy=fx（x，y）]，則[fxx+θ1Vx，y+Vy=fxx，y+ε1]，其中[ε1]是[Vx，Vy]的函數，且當[Vx→0，Vy→0]時，[ε1→0]。因此，[fxx+θ1Vx，y+VyVx=fxx，yVx+ε1Vx]。

同理有[fxx，y+Vy-fx，y=fxx，yVy+ε1Vy]，其中，當[Vy→0]時，于是[Vz=fxx，yVx+fxx，yVy+ε2Vy]，因為

[ε1Vx+ε2Vyρ≤ε1+ε2ρ→0→0，ρ=（Vx）2+（Vy）2]。故函數z=f（x，y）在點（x，y）處可微分。

例7二元函數[fx，y=（x2+y2sin1x2+y2）（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]

在點[（0，0）]處可微，但偏導數不連續。

證明：因為

[fx0，0=limVx→0f0+Vx，0-f（0，0）Vx=limVx→0（Vx）2sin1（Vx）2Vx=limVx→0Vxsin1（Vx）2=0]

[ fy0，0=limVy→0f0，0+Vy-f（0，0）Vy=limVy→0（Vy）2sin1（Vy）2Vy=limVy→0Vysin1（Vy）2=0]

[Vz-fx0，0Vx+fy0，0Vy=f0+Vx，0+Vy-f0，0=ρ2sin1ρ2=o（ρ）]

其中[ρ=（Vx）2+（Vy）2]。所以f（x，y）在點[0，0]處可微。

因為，當[（x，y）≠（0，0）]時

[fxx，y=2xsin1x2+y2+（x2+yx）cos1x2+y2×-1（x2+y2）2×2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2]

即[fxx，y=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2（x，y）≠（0，0）0x，y=（0，0）]

顯然[lim（x，y）→（0，0）fx（x，y）≠fx（0，0）]，即[fx（x，y）]在點[（0，0）]處不連續，同理[fy（x，y）]在點[（0，0）]處也不連續。

參考文獻：

[1]楊晉浩，韓天勇.高等數學（上冊）修訂版[M].科學出版社，2010，8.

[2]韓天勇，施達，楊洪.高等數學（下冊）修訂版[M].科學出版社，2011，2.

作者簡介：

劉春燕（1988，01—），女，漢，四川仁壽人，成都大學信息科學與工程學院專任教師（助教），碩士研究生，主要從事模糊關系方程方面的研究。

基金項目：2014年成都市科技局項目（2014-RK00-00051-ZF），2015年成都市科技局項目（2015-RK00-00010-ZF、2015-RK00-00018-ZF）。endprint