N—遍歷敏感依賴性在拓撲共軛下的保持

楊忠選

摘 要：本文引進了N-遍歷敏感依賴性這個新概念，并證明了已知f和g拓撲共軛，若g是N-遍歷敏感依賴的，則f是N-遍歷敏感依賴的。

關(guān)鍵詞：N-遍歷敏感依賴性；拓撲共軛

1引言與預(yù)備知識

在2002年，熊金城教授引進了[N-]敏感依賴性這個新概念，并對拓撲傳遞系統(tǒng)中的[N-]敏感依賴性做了系統(tǒng)的研究。本文在此基礎(chǔ)上，引進[N-]遍歷敏感依賴性這一新概念，并得到以下結(jié)論：已知[f]和[g]拓撲共軛，若[g]是[N-]遍歷敏感依賴的，則[f]是[N-]遍歷敏感依賴的。

2預(yù)備知識

在介紹主要結(jié)論之前，先介紹一些基本概念，設(shè)（X，[f]）是一個緊致系統(tǒng)。即（X，d）是一個緊致度量空間，[f]∶X→X連續(xù)。

定義1給定整數(shù)N≥2，設(shè)U是一個非空開集，[n，N∈Z+，x1，x2，…，xN∈U]。

為了方便起見，記

[AU，xN，n=mindfnxi，fnxj∶1≤i，j≤N]

且[Sf-NU，λ=n∈Z+∶?y1，y2，…，yN∈U，有A（U，yN，n）≥λ]

[f]是[N-]遍歷敏感依賴的，如果存在[λ>0]，對于任意非空開集[U?X]，都有[Sf-NU，λ]具有正上密度，此時，[λ]稱為系統(tǒng)（[X]，[f]）的一個[N-]遍歷敏感系數(shù)。

定義2設(shè)（[X]，[f]）和（[Y]，[g]）是兩個緊致系統(tǒng)，如果存在同胚映射[h]∶X→Y，使得[h?f=g?h]，則稱（[X]，[f]）和（[Y]，[g]）拓撲共軛。

3結(jié)論

定理1設(shè)（[X]，[f]）和（[Y]，[g]）是兩個緊致系統(tǒng)，[d]和[d']分別是[X]和[Y]上的度量，[f]和[g]拓撲共軛，如果[g]是[N-]遍歷敏感依賴的，則[f]是[N-]遍歷敏感依賴的。

證明：由于[f]和[g]是拓撲共軛，則存在同胚映射[h]∶X→Y，使得[h?f=g?h]。因為[g]是[N-]遍歷敏感依賴的，設(shè)[ε]是[g]的一個[N-]遍歷敏感系數(shù)，由于[h]是同胚映射，所以存在[δ>0]，使得當(dāng)[d'hx，hy>ε，x，y∈X]，有[d（x，y）>δ]。

設(shè)[U?X]是一個非空開集，因為[h]是同胚映射，則[h（U）]是Y中的一個開集，由于[g]是[N-]遍歷敏感依賴的，則存在[y1，y2，…，yN∈h（U）]和[k∈Z+]，使得[Sg-Nh（U），ε]具有正上密度，取[?k∈Sg-Nh（U），ε]，有

[mind'（gk（yi），gk（yj））∶i，j∈1，2，…，N，i≠j>ε]。

取[xi∈U]，使得[h（xi）=yi，i=1，2，…，N]，于是對任意的[i，j∈1，2，…，N]有

[d'（gk（yi），gk（yj））=d'（gk（h（xi）），gk（h（xj）））]

[=d'（h（fk（xi）），h（fk（xj）））]。

所以

[mind（fk（xi），fk（xj）∶i，j∈1，2，…，N，i≠j>δ]。

根據(jù)[k]的選擇性，知[Sf-N（U，δ）]具有正上密度，即[f]是[N-]遍歷敏感依賴的。

參考文獻：

[1]熊金城.拓撲傳遞系統(tǒng)中的混沌[J].中國科學(xué)（A輯），2005，35（3）：302-311.

[2]尹建東，周作領(lǐng).擬弱幾乎周期點的等價定義與系統(tǒng)的混沌性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30（8）：1156-1162.endprint