淺讀正、余弦定理解題功能

宋惠

摘 要：隨著社會經濟的快速發展，人們的生活質量有了顯著提高，越來越多的人開始關注教育，重視課程體系對學生學業學習的影響，作為高中數學中較為基礎的定理，正弦定理和余弦定理的學習不僅包括對其原理的證明，同樣也包括對其解題技巧的理解，這便要求教師從定理出發，聯系先前學習的三角函數，結合當前學生學情，有方法有技巧的進行解題技巧的講授，適當進行模擬訓練，以鍛煉學生數學思維，提高其對定理的理解與運用。

關鍵詞：正弦定理 余弦定理 解題功能

引 言

眾所周知，在進行三角函數相關題目的分析時，如何運用正弦定理與余弦定理不僅決定著解題的思路與方向，同樣也決定著題目解答過程的進展程度，影響著題目能否解答。在進行三角形相關題目的分析時，往往會出現已知部分要素求解未知要素的情況，這便要求解答者合理運用正、余弦定理以及其變式，對題目已知條件進行分析，進而得出未知要素的數據。由此可見，正、余弦函數的原理證明以及其解題功能至關重要，是高中數學教學中極為重要的部分，理應受到教師的重視與關注，這不僅是高中課程標準所要求的內容，同樣也是教育改革發展所要求的內容。

一、知識點分析

（一）、定理的原理分析。眾所周知，正弦定理即在任一三角形中，其對邊與對角的正弦值的比恒為一個常數，余弦定理即三角形任一一角的余弦值均可用含有其三邊的數學表達式進行表達，這不僅說明三角形的邊與角具有一定的量化關系，同樣也說明已知三角形的部分要素，可以通過定理求解其未知要素，是高中數學三角問題中較為常見的定理，是三角函數的進一步運用。該定理的證明可通過在直角三角形中，借助三角函數進行邊與角的分析，得出其定理表達式，并推導到一般情況，從而驗證對所有三角形，該定理均成立。

（二）、定理的重要性分析。正、余弦定理的學習不僅能夠使學生理解三角形要素之間的關系，了解解三角形的基本步驟，同樣也能促進其幾何思維的形成，鍛煉其邏輯思考能力，提高其個人基本的學科素質與科學作風。另一方面，通過對正、余弦定理的學習，學生將回顧先前所學的三角函數，為后續解三角形打下基礎，以此體現正、余弦定理的解題功能，促進學生數學思維習慣的形成。

（三）、定理的運用分析。眾所周知，在進行解三角形問題的解答時，通過分析題目中已知要素條件，明確未知要素與求解要素，分析其邊角間的相關聯系，探討正弦定理與余弦定理的選取與表達式，以此求得所需要素條件，進而對題目進行解答。這不僅體現出較為明確的邏輯思考過程，象征數學思維的運用，同樣也體現出正、余弦定理的解題功能，是對定理原理的進一步理解與運用。

二、知識點歸納

（一）、正、余弦定理的證明。眾所周知，正、余弦定理的證明以直角三角形為由，通過對直角三角形中邊與角進行分析，探討其之間的量化關系，并借助三角函數進行表達，得出初步的表達方程式，并在銳角三角形與鈍角三角形的情況下進行一般性驗證，以得到該表達式的一般方程，從而得出定理。

（二）、正弦定理的不同形式。正弦定理表達的是三角形邊與其角的正弦值之間的相互關系，通過對其方程的變形，可以得出以下變形式：

形式一：，其中R表式該三角形外接圓的半徑。

形式二：，表式的是角到邊的關系轉換。

形式三：，表達的是邊到角的關系轉換。

（三）、余弦定理的不同形式

余弦定理表達的是三角形角的余弦值與其三邊之間的相互關系，通過對其方程的變形，可以得出以下變形式：

形式一：，表達的是其邊到角的轉換過程。

形式二：；

；，表達的是其角到邊的轉換過程。

三、正、余弦定理的解題功能

（一）、已知兩角及其對邊條件

眾所周知，在解三角形問題中，題目往往會給出已知邊或角的條件，這便要求答題者在進行題目分析時充分理解題意，合理進行正、余弦定理的選取。在遇到已知兩角及其一邊的條件時，答題者理應從邊角關系入手，選取正弦定理進行解答，例如：在中，已知、、a=1，求解b，該題目可通過正弦定理直接求解。

（二）、已知兩邊及其對角條件

在了解已知兩角及其對邊，求解另一邊的問題后，已知兩邊及其對角，求解另一角的問題也可用相同方法進行求解，例如：在中，已知、，求解，該題目同樣也可通過正弦定理直接求解，值得注意的是在求得的數值進而解B時，需要分析其角的大小關系，以此確定其解的唯一性。

（三）、已知兩邊及其夾角條件

眾所周知，題目在提供已知邊與角的數值時，往往也會出現已知兩邊及其夾角，求解第三邊的情況，這并不滿足正弦定理及其任一變式，也無法借助外接圓進行求解，在這種情況下，余弦定理運用便顯得至關重要，例如：在中，已知，求解b，該題目可通過余弦定理的變形式直接求解。

結 論

由此可見，正、余弦函數的解題功能不僅表現在其對三角形求角問題的解答，同樣也體現在其對三角形求邊問題上的解答。在已知兩邊一角或兩角一邊的情況下，通過對三角形已知要素的分析，合理運用正、余弦定理的變形，借助三角函數定義，對三角形未知要素進行求解，以獲得題目所需數據，從而完成三角形相關題目的解答，這不僅體現出正、余弦定理的解題功能，同樣也象征著定理與題目間的相互關系，是教學過程中極為重要的分析部分。

參考文獻：

[1] 張仁威，陳華云.合理選擇正余弦定理解題[J].中學生數學，2011（07）：44+43.

[2] 玉邴圖.正余弦定理面面觀[J].數理化學習（高中版），2008（03）：20-21.

[3] 徐小良.《正弦定理、余弦定理》教學過程淺析[J].科技經濟市場，2014（10）：184+183.