電磁理論中的能量守恒問題

李 琦

(呂梁學院 汾陽師范分校，山西 汾陽 032200)

電磁理論中的能量守恒問題

李 琦

(呂梁學院 汾陽師范分校，山西 汾陽 032200)

對于電磁場中的能量是否守恒，關系到信號的完整度以及與電磁的兼容性，為此研究電路中的能量守恒較為迫切?；诖吮尘?，以電容開關電路為研究系統，坡印廷理論為基礎，研究了該系統開關CK閉合前后電路中元器件電荷以及能量守恒問題，得出了電路傳輸時總能量守恒的結論，為電磁場能量守恒研究提供了一定的理論支撐。

電磁場；坡印廷理論；電容開關；能量守恒

隨著電路的集成化越來越高，CPU尺寸不斷減小，但是系統信號的頻率卻在不斷提高，信號的完整度以及電磁兼容日益被提及。如果想要徹底解決電磁干擾問題，實現電磁兼容，則必須討論電路中的電磁場分布情況[1]。電磁兼容就必須實現電路中的能量平衡，本文以開關電路中的電磁分布情況為研究對象，分析了電容開關的能量損耗情況，期望為電磁理論中的能量守恒問題提供有效支撐。

1 電磁能量損耗理論

由電磁理論可以得知，當變化電路中的電流以及電荷時，將產生一個具有時變效應的電磁場，且該電磁場攜帶了一定的能量物質[2-4]。隨著時間變化，時空中的電磁密度隨之改變，進而儲存在空間中的能量物質密度也發生了變化。

靜電場中，能量物質的密度表示為：

(1-1)

恒定磁場中，能量物質密度為：

(1-2)

在時變場中，電場和磁場可以相互轉化，且可以共從，則任意時刻任意一點的電磁場能量密度為：

(1-3)

麥克斯韋方程為：

(1-4)

(1-5)

由式(1-3)和麥克斯韋方程，即可表示整個電磁場理論基礎。

對麥克斯韋方程做變換可以得到：

(1-6)

在一個線性空間中，媒介的介電常數ε、電線的電導率σ以及磁導率μ是常量，則

(1-7)

對式(1-7)在W區域做積分，則

(1-8)

對式(1-8)做高斯變換得：

(1-9)

式中：s表示W區域的閉合面 w表示W區域中電磁中能量介質的增加率

(1-10)

該矢量即為坡印廷矢量。在時空中，坡印廷矢量表示電磁功率傳輸效果，通常情況下坡印廷矢量也被譽為電磁能量密度矢量[5]。

2 能量守恒分析

2.1 實例說明

對于電磁場中的能量守恒問題，本文選擇了電容開關為研究對象?；镜碾娙蓍_關由兩個電容、一個機械開關以及若干導線組成[6]。設電容為C1則令初始電壓為uc1，設電容為C2則令初始電壓為uc2，電路圖如圖1所示。

2.2 能量守恒模型建立

對于圖1所示的純電容開關來說，本文只研究其電子器件，則不考慮機械開關，因此機械開關部分不進行相應的建模，即可得到純電容開關電路對應的電路傳輸模型，如圖2所示。

圖1 純電容開關 圖2 純電容開關電路傳輸模型

由電路傳輸模型可得：

(2-1)

(2-2)

當開關CK斷開之后，則：

Q=uc1C1+uc2C2=kuc1C1+kuc2C2

(2-3)

(2-4)

式(2-3)表示電路初始電荷量，式(2-4)表示電路初始能量值

當開關CK閉合之后，電路即達到了穩定狀態，電路傳輸模型如圖3所示。

選擇節點為1時的節點，作為該閉合電路的零電位參考點，由成熟的電路算法，將圖3中的電路轉化為電容關系[7-8]，當給定電容兩端穩定電壓uc式，則可得到：

(2-5)

(2-6)

則，電路CK閉合平衡之后，電容兩端電壓相等，即：

(2-7)

(2-8)

(2-9)

由式(2-8)以及(2-9)不難看出，隨著時間的變化，開關CK閉合前后，電路中電荷以及能量有變化[9]，即電路中存在能量和電荷量的轉移。

(2-10)

(2-11)

且正好是開關CK斷開之后的能量式(2-4)和CK閉合之后的能量式(2-9)之差：

進而可以說明，在理論上，純電容開關電路中，開關CK閉合前后，整個電路的能量守恒，且電路中元器件的電荷守恒，損耗的能量轉換為了開關的機械動作，且可以得知主要的機械性損耗主要是熱傳遞損耗以及熱輻射損耗。

2.3 開關電路傳輸線模型中的電磁與能量關系

圖4為任意一段傳輸線AB經鏡像后電流分布情況圖。如圖4所示，流經傳輸線AB段的電流為i1，電流方向如圖所示。經鏡像后，A'B'為其對應虛擬傳輸線，其電流方向與原方向相反。假設空間中介質的介電常數為ε，磁導率為μ1。

圖3 開關CK閉合后電路傳輸模型 圖4 任意傳輸線AB經鏡像后電流分布情況圖

假設傳輸線AB與鏡像面的距離為h，則圖中各點的坐標如下所示：

A(-l,0,0)，A'(-l,0,-2h)，B(-l,0,0)，B'(-l,0,-2h) 。

取一封閉曲面S包圍傳輸線AB段的電流及其鏡像電流，根據坡印廷定理，則在一個周期內，傳輸線AB輻射的能量為:

上式表明，當傳輸線中通有交變電流時閉曲面內的能量變化均為零。在這個過程中傳輸線分別進行能量計算后進行迭加，即有在一個固定周期中，包圍各段傳輸線的封電磁能量是標量，將整個電路中的各段傳輸線分別進行能量計算后進行迭加，即有:

WBoost=WAG+WG+WHB+WBI+WIJ+WJC+WCM+WMN+WND+WDE+WEF+WFA+WBK+WKL+WLE=0

綜合上述結論可知，在以電路為代表的無觸點開關電路中，電路中的相關元器件均可以用一段特定阻抗的傳輸線和一個理想電壓源組合而成。當電路系統正常工作時，通過鏡像原理和電磁場理論可知，在開關器件開斷的瞬間，電路系統和系統中的元器件均滿足電荷守恒和磁通鏈守恒，電源提供的能量全部通過電阻元件轉換為熱能消耗。

3 總結

對于電磁場中的能量守恒問題，首先詳細的闡述了坡印廷理論，并得到了傳輸線不會損耗電路能量的結論?；诖嘶A，選擇了純電容開關電路作為本文的研究系統，分別研究了開關CK閉合前后的能量變化以及電路元器件的電荷以及能量，最后得出電路能量損耗關系以及電磁關系，驗證了傳輸時電路系統能量守恒，為電磁場的能量守恒研究提供了一定的理論支撐。

[1] 胡敏強，黃學良.電機運行性能數值計算方法及其應用[M].南京:東南大學出版社，2003.

[2] W.J.R.Hoefer.The Transmission-line Matrix Method - Theory and Application IEEE Trans.Microwave Theory tech，1985,33(10):882-893.

[3] P.B.John.Asymmetrical Confessed Node for the TLM Method [J].IEEE Trans,1987,MIT-35(4):370-377.

[4] S.YR.Hui,Christos Christo Poulos.Modeling Non-Linear power Electronic Circuits with the Transmission-Line Modeling Teelinique [J].IEEE Transaction on Power Electronics,1995,10(1):48-54.

[5] Shortt DJ,Lee.F C.An improved switching converter model using discrete and average Techniques [J].IEEE PESC Ree,1982: 199-212.

[6] S.Y.R.Hui,C.Christo Poulos.Numerieal simulation of Power circuits using Transmission Line modeling [J].IEE proceeding-A,1990,137(6):379-354.

[7] 楊儒貴，劉運林.電磁場與波簡明教程[M].北京:科學出版社，2006.

[8] 谷樹忠.開關電源的電磁兼容設計[J]自動化與儀表儀器，2001(4)：28-32.

[9] Gonzalez D.,Gago J.,Balcells J.New Simplified Method for the Simulation of Conducted EMI Generated by Switched Power Converters [J].IEEE Trans.on Industrial Electronics,2003,550(6):1078-1084.

(編輯：嚴佩峰)

The Conservation of Energy in Electromagnetic Theory

LI Qi

(Fenyang Normal College of Lvliang College，Fenyang 032200,China)

Whether the energy in the electromagnetic field is conserved is related to the integrity of the signal and the compatibility with the electromagnetic.Therefore,it is urgent to study the conservation of energy in the circuit.Based on this background,the research system based on capacitive switch circuit,the Poynting theory,studied before and after the switch CK is closed and the circuit components in charge of energy conservation and the problems of the system,draws the conclusion that the conservation of total energy transmission circuit,provides a theoretical support for the study on electromagnetic energy conservation.

electromagnetic field；Poynting theory；the capacitance switch；energy conservation

2017-06-16

李 琦(1981—)，男，山西汾陽人，講師，研究方向：物理教育.

O442

A

2095-8978(2017)03-0100-04