幾類Kantorovich型插值算子在Orlicz空間內的逼近

高雅,吳嘎日迪

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010022)

幾類Kantorovich型插值算子在Orlicz空間內的逼近

高雅,吳嘎日迪

(內蒙古師范大學數學科學學院,內蒙古 呼和浩特 010022)

分別討論了以第二類Chebyshev多項式的零點、Jacobi多項式的零點、第一類Chebyshev多項式的零點為插值結點組的五類Kantorovich型插值算子在Orlicz空間內的逼近問題,得到了逼近階的上界估計.

Kantorovich插值算子;Orlicz空間;Chebyshev多項式;Jacobi多項式;逼近

1 引言和主要結果

x=cosθ是n次第二類Chebyshev多項式.

在文獻[1]中,?f∈C[-1,1],以第二類Chebyshev多項式的零點為插值結點組的f的Bernstein型插值算子定義為：

在文獻 [2]中,以第二類 Chebyshev多項式的零點為結點構造了一個

組合平均的Bernstein型插值多項式算子,具體形式如下：

在文獻[3]中,定義了另一類以第二類Chebyshev多項式的零點為結點的Bernstein型插值算子Gn(f,x),其定義如下：

設 f∈C[-1,1],xk是第一類Chebyshev多項式Tn(x)=cosnθ,x=cosθ,0≤θ≤π的零點.

文獻[5]以Tn(x)的零點作為插值結點定義了一個Bernstein型插值多項式,定義如下：

本文首先將以上五個Bernstein型插值算子修正為Kantorovich型插值算子,即

進而研究這五個修正后的插值算子在Orlicz空間內的逼近性質.

本文用M(u)和N(v)表示互余的N函數,關于N函數的定義及性質見文獻[6].由N函數M(u)生成的Orlicz空間是指具有有限的Orlicz范數

的可測函數{u(x)}全體,其中

是v(x)關于N(u)的模.由文獻[6]知上述Orlicz范數還可以由

來計算.

其中

本文的主要結果：

定理 1.1若,則存在常數 C ＞0使得

注 1.1用C表示與n無關的正常數,在不同處可以表示不同的值.

2 若干引理

引理 2.1[6](Holder不等式) 對任意 u(x)∈L?M,v(x)∈L?N,有

引理 2.2[7],則

其中

是f的極大函數.

引理 2.3對任意正整數n,

引理 2.4[11]對任意,存在n次代數多項式Pn(x),使得

3 定理的證明

利用引理2.1得,上式中的

由引理 2.1 和

以及u(t)、v(t)在 [xk,xk?1]上的本性有界性知,

再由引理2.1、引理2.2、引理2.3以及v(x)在[-1,1]上的本性有界性,得

參考文獻

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Approximation of several Kantorovich interpolation operators in Orlicz space

Gao Ya,Wu Garidi

(College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)

In this paper,we study the approximation properties of fi ve kinds of Kantorovich interpolation operators in Orlicz space based on the zeros of the Chebyshev polynomials of the second kind and the Jocabi polynomials and the Chebyshev polynomials of the fi rst kind,we obtain the upper bound of estimation of approximation.

Kantorovich interpolation operator,Orlicz space,Chebyshev polynomial,Jacobi polynomial,approximation

O174.41

A

1008-5513(2017)04-0359-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.004

2017-05-19.

國家自然科學基金(11161033);內蒙古自治區研究生科研創新基金(S20161013501);內蒙古自治區自然科學基金(2017MS0123).

高雅(1993-),碩士生,研究方向：函數逼近論.

2010 MSC:40A05