Smarandache函數的一類均值計算

馬云真,李江華

(西安理工大學理學院,陜西 西安 710058)

Smarandache函數的一類均值計算

馬云真,李江華

(西安理工大學理學院,陜西 西安 710058)

主要利用初等及解析方法研究F.Smarandache可乘函數ˉS(n)的一類均值分布,并給出了該函數在k次根取整序列ak(n)上的均值漸近公式.

F.Smarandache可乘函數;均值;漸近公式

1 引言及結論

設n為任意正整數,F.Smarandache可乘函數f(n)的定義為：如果f(1)=1,當n＞1且時,有

其著名的Smarandache函數

就是一個F.Smarandache可乘函數.由S(n)的定義,容易推斷出如果

是n的標準分解式,那么

于是,S(n)是F.Smarandache可乘函數.關于S(n)的算術性質,有不少學者進行過研究,獲得了許多有重要理論價值的研究成果,參閱文獻[2-8].例如,Farris Mark和Mitchell Patrick在文獻[2]中研究了S(n)的有界性問題,得出了S(pα)的上下界估計,即就是證明了：

在文獻[6]中,張利霞,趙西卿等人研究了數論函數S(SL(n))=φ(n)的可解性問題,也就是證明了下面的定理,即方程

有且僅有n=1,8,9,12,18的解.其中SL(n)為F.Smarandache LCM函數,即

在文獻[7]中,高麗和馬婭鋒主要研究了包含Smarandache冪函數的數論函數S(SP(n))的均值問題,也就是證明了下面的兩個定理,即

對任意的實數x＞1,有

對任意的實數x＞1,有

其中A為簡單數集合,

D1,D2為可計算常數.

在文獻[8]中研究了S(n)的均值分布問題,獲得了一個更深刻的結果,即就是證明了下面的定理：

設P(n)表示n的最大素因子,則對任意實數x＞1,有漸近公式：

其中：ζ(s)為Riemann zeta函數.

容易驗證這個函數是F.Smarandache可乘函數.關于它的初等性質,不少學者已進行過研究,參見文獻[8].文獻[9]中還證明了下面的結論：設k為任意正整數,那么對任意實數x＞1,有漸近公式：

其中

p(n)表示n的最小素因子,ci(i=2,3,...,k)為可計算的常數且

另外,對任意給定的正整數k,令ak(n)是n的k次根整數部分[1],即就是

其中[x]表示小于或等于x的最大整數.例如,

在正整數的k次根取整序列ak(n)上的分布性質.并給出一個較強的漸近公式.具體地說也就是證明下面：

定理 1.1對任意的實數x＞1,有漸近公式

2 引理

為了完成定理的證明,需要如下幾個簡單的引理.首先令

是n的標準分解式,P表示n的最大素因子,即就是

那么有

引理 2.1對任意的實數x＞1,有漸近公式

證明首先定義如下兩個集合A和B：

應用Euler求和公式[10],可得

類似地,對集合 B,由Abel恒等式[10],有

其中,π(x)表示所有不超過x的素數個數，注意到

根據Abel恒等式,可得

又因為

綜合(2),(3),(4)和(5),即可得到引理2.1的結果.

引理 2.2對任意正整數k和非負整數i,有漸近公式

證明結合引理2.1,并應用Abel恒等式,

引理2.2得證.

3 定理的證明

定理的證明.

證明首先,對任意實數x≥1,設M 為一個給定的正整數使得

于是完成了定理的證明.

致謝：衷心地感謝馬茂元教授和劉二女教授的支持與鼓勵！

參考文獻

[1]Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago：Xiquan Publishing House,1993.

[2]Farris Mark,Mitchell Patrick.Bounding the Smarandache function[J].Smarandache Notions Journal,2002,13(2)：37-42.

[3]Lu Yaming.On the solutions of an equation involving the Smarandache function[J].Scientia Magna,2006,2(1)：76-79.

[4]Jozsef Sandor.On certain inequalities involving the Smarandache function[J].Scientia Magna,2006,2(3)：78-80.

[5]Liu Yanni,Pan Xiaowei.Two equation involving the Smarandache function and its solutions[J].黑龍江大學自然科學學報,2006,23(6)：857-858.

[6]張利霞,趙西卿,郭瑞,等.關于數論函數S(SL(n))=φ(n)的可解性[J].純粹數學與應用數學,2015,31(5)：533-536.

[7] 高麗,馬婭鋒.包含Smarandache冪函數的均值問題[J].紡織高校基礎科學學報,2016,29(1)：8-10.

[8] 徐哲峰.Smarandache函數的值分布性質[J].數學學報,2006,49(5)：1009-1012.

[9]沈虹.一個新的數論函數及其它的值分布[J].純粹數學與應用數學,2007,23(2)：235-238.

[10]潘承洞,潘承彪.解析數論[M].北京：北京大學出版社,2003：22-25.

On the mean value of Smarandache function

Ma Yunzhen,Li Jianghua
(College of Science,Xi′an University of Technology,Xi′an 710058,China)

The main purpose of this paper is using the elementary method and analytic method to study the mean value of the F.Smarandache multiplicative function,and give an asymptotic formula of F.Smarandache in positive integer′s k-th root.

F.Smarandache multiplicative function,mean value,asymptotic formula

O156.4

A

1008-5513(2017)04-0424-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.009

2017-04-17.

陜西省自然科學基金(2017JQ1020).

馬云真(1989-),碩士生,研究方向：解析數論及其應用.

李江華,博士,副教授,研究方向：解析數論及其應用.

2010 MSC：11B83