小區間上特定類型的三角和估計

趙曉東

(華北水利水電大學數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

小區間上特定類型的三角和估計

趙曉東

(華北水利水電大學數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

利用Vaughan的方法,對小區間上的三角和

當α為有理數時進行了研究,得到了一個定量上界估計.

三角和;小區間;有理數;定量估計

1 引言及主要結果

形如

的三角和的估計在解析數論中有著很多應用.例如在哥德巴赫猜想、素變數三角和的估計及素數分布[14]等方面有著重要應用.設實數

其中 Λ(n)為 Mangoldt函數,e(αn)=e2πiαn,N ≥ 3是一個整數.

1994年,陳景潤和王天澤[5]利用文獻[6]中的分拆方法,得到如下定量結果：

2013年,文獻[8]在上述基礎上討論了α為有理數的情形.

2015年,文獻[9]討論了當x-y＜n≤x時,S(α)的定量估計,得到如下定量估計：

其中x,y是整數,其他符號參照上述定義,則有

本文討論了在x-y＜n≤x上,α為有理數時,S(α)的定量估計,得到了如下結果：

定理1.1設α為有理數

N≥3是一個整數.整數x,y滿足

記

其中Λ(n)為Mangoldt函數,則有

2 引理及簡單說明

引理 2.1[7]對任意整數N2≥N1≥1及實數α有,

其中

(α)是α的小數部分.

證明見文獻[7].

引理 2.2設U＞0是實數,P≥1,M 是整數,有理數滿足(a,q)=1,則有

證明結合文獻[7-8].

引理2.3設α為有理數,(a,q)=1.T≥1,N≥1都是實數,則有

證明結合引理2.2及文獻[8].

3 定理1.1的證明

易知

當

即 q≤0.005xy?1r5時結論成立,所以不妨設q≥0.01r5.同理,當

在上述條件限制下,來確定S1,S2,S3,S4的上界估計.由Λ(n)的定義可知：

在 S2中,令 w=ml,則

由引理2.1和引理2.3可知：

關于S3,

參考文獻

[1]劉建亞,呂廣世,展濤.小區間上的素變數三角和[J].中國科學：自然科學版,2006,4(8)：448-457.

[2]呂廣世.小區間上的素變數三角和的估計[J].數學學報,2006,3(27)：693-698.

[3]Karatsuba A A.Basic Analytic Number Theory[M].New York：Springer-Verlag,1993.

[4]Vaughan R C.The Hardy-Littlewood Method[M].London：Cambridge,1997.

[5]王天澤,陳景潤.素變數線性三角和的估計[J].數學學報,1994,1(37)：25-31.

[6]Davenport H.Multiplicative Number Theory[M].New York：Springer-Verlag,1980.

[7]陳景潤.某種三角和的估計及應用[J].中國科學：自然科學版,1984,12(27)：1096-1103.

[8]陳國華,武艷麗,張艷娜.某種特定類型三角和的定量估計[J].純粹數學與應用數學,2013,29(3)：325-330.

[9]戈文旭,趙峰.小區間上某種三角和的估計[J].純粹數學與應用數學,2015,31(3)：260-264.

On estimation of a speci fi c type trigonometrical sums in small interval

Zhao Xiaodong
(School of Mathematics and Statistics,North China University of Water Resources and Electric Power,Zhengzhou 450046,China)

By the method of vaughan,the problem of the estimate of

is studied,when α is rational,and obtain an explicit upper bound of this kind of trigonometrical sums.

trigonometrical sums,small interval,rational,explicit estimate

O156.4

A

1008-5513(2017)04-0370-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.005

2017-05-08.

趙曉東(1991-),碩士生,研究方向：數論.

2010 MSC:11L03