淺談初中數學中的分類討論思想

梁澍剛

一、分類思想定義與特點

所謂分類討論思想，就是當一個數學問題在一定的題設下，其結論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數學問題根據題設分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.分類思想有三個明顯特點，一是對什么東西分類，即確定分類的對象；二是按什么標準分類，即選擇分類的標準；三是分成哪幾類，即確定分類的結果。通過正確的分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。劃分只是手段，分類研究才是目的.既可以將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，而且恰當的分類可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹的數學素養。

二、分類討論思想應遵循以下的原則

1、同一性原則。分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據。

有些同學把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個分類就不正確了，因為這個分類同時使用了按邊和按角兩個分類標準。

2、相稱性原則。分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和，應當與母項的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個子項應當互不相容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項作為母項，再進行分類，直至滿足需要為止。有些對象的分類情況比較復雜，這時常采用“二分法”來分類，就是按對象有無某性質來進行分類。按“二分法”作分類，就是把討論對象的外延一直分為兩個互相矛盾的概念，一直分到不必再分為止。

四、分類討論思想主要步驟

通過上述問題的討論，分類討論的思想方法在初中數學教材中有著廣泛的滲透。在運用分類思想解題時主要步驟有：（1）明確討論的對象：即對哪個參數進行討論；（2）對所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準要統一、分層不越級）；（3）逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決。（4）歸納總結：將各類情況總結歸納。

五、培養學生分類討論思想的路徑

分類討論思想貫穿中學整個數學課程的始末，充分發揮分類討論思想的優勢，可以將復雜的問題大大簡化，不僅有助于提升學生的學習效率，還有助于培養的數學思維能力。

1、概念、定理、公式講解全面透徹

要做到全面、合理的分類討論，擁有扎實的知識儲備是必不可少的，因此，教師一定要對存在變化的數學概念、定理、公式進行全面的講解，把各種情況透徹的傳達給學生。

初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸的體會分類討論的思想。初一數學課本在引入負數后即對有理數進行分類：將有理數分為正數、零、負數或將有理數分為整數、分數。讓學生辨別不同分類的依據，初步體會分類要不重復，不遺漏；標準不同則分類不同的基本原則。此時可提出問題“-a一定是負數嗎？”啟發學生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。在學習絕對值的定義時，要有意識地啟發學生從有理數分類進行認知的遷移，幫助學生概括出a>0，a=0，a<0時， 應如何表示，并要求學生能做一些簡單的化簡題。

在日常教學中的這種有序的、有目的滲透，使學生在學習的過程中逐步領悟出和接受解決問題中的分類討論的思想，明確分類討論的思想是解決某些數學問題的一種重要的、有用的思想方法。

2、 在單元小結、專題講座中提煉與概括分類思想

在單元小結時，不僅要教會學生梳理知識，更要教會學生用數學思想方法進行“反思”。

由于數學學習中，有時同一內容可體現出不同的數學思想，而同一數學思想如分類思想又常常分布在許多不同的知識點中。于是，我在單元小結時注重從縱橫兩方面去整理單元知識中所蘊藏的數學思想方法，變教材的“單元內容小結”為“內容+數學思想方法”形式的小結。在單元小結中注意指導學生把常用的數學方法提高到思想方法的高度來認識，注意把數學知識所揭示的本質規律加以提煉、概括，使學生真正從思想方法上去掌握。

3、 在解題規律過程中突出與強化分類討論的思想。

就分類討論思想方法而言，在題規律過程中以下兩種情況居多。

一是由幾何圖形的可變性引起的討論。在解題過程中有些幾何問題的圖形位置或形狀不能確定，如果解題時進行統一處理，將會遇到較大困難，這時就必須進行討論，把問題分成幾類或幾部分來處理，采取分而治之的方法來各個擊破。

在實際教學中可以碰到很多這種習題。如：

1.等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

2、 ⊙O的半徑為5cm，AB和CD為⊙O中的兩條平行弦，求AB和CD間的距離？

3、如圖1，已知 中， ，點P在斜邊AB上移動（點P不與點A、B重合），以P為頂點作 ，射線PQ交BC邊與點Q。 能否是等腰三角形？如果能夠，試求出AP的長，如果不能，試簡要說明理由。

二是由數量大小不確定引起的討論。在計算或推理過程中，遇到數量大小不能確定是應進行討論。

它揭示了二次根式性質： 在分類討論化一般為特殊，變抽象為具體所起的轉化作用。又如解關于x的不等式：x2-（a-1）x-a≤0，此二次不等式的解應根據a與-1的大小來確定，因此同樣要進行討論。

總之，初中是學生接觸分類討論思想的起始站，教學中一定要揭示分類討論思想的本質，進行滲透、概括、提煉與強化，使學生能夠自覺合理的運用分類討論的思想解決相應數學問題，掌握分類討論數學思想方法這個銳利武器，從而提高學生的綜合運用的能力和良好的思維品質。

參考文獻：

[1]刁衛東.如何運用分類討論思想解題.《中學數學》1997，5.

[2]王燕春.學會分類方法，提高分類意識.《中學生數學》，1998，5.

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