基于市場價格沖擊的最優執行問題研究

諸葛丹++宋斌

[摘要]文章在隨機控制理論以及動態規劃原理的框架下，用瞬時沖擊以及永久沖擊對價格沖擊過程進行建模，然后利用隨機控制的相關理論，應用Hamilton-Jacobi-Bellman方程以及求解常微分方程的方法，得到了最優執行策略的解析解。結果顯示，適當的存貨懲罰有利于加強金融市場的穩定性，有利于減少集中買賣情況的發生。但懲罰的力度不能過大，否則會起到反作用，使得投資者在期初就集中大量賣出。而終端懲罰的設定有利于投資者在交易時間內有計劃地買賣股票，減少了集中買賣的發生。文章的研究對市場的機構投資者以及監管機構都有著重要的理論指導意義。

[關鍵詞]隨機控制；HJB方程；最優執行策略；價格沖擊

[DOI]1013939/jcnkizgsc201723015

1引言

在傳統的金融理論中，我們通常假設市場的流動性是無限的，任何訂單都能夠無須額外成本地立刻被執行，然而在現實的金融市場中，機構投資者的大額交易，往往能夠對股票市場產生巨大的沖擊，以致股票價格劇烈波動，因此導致了執行成本的產生，甚至執行成本一般會很高。由此可見，價格沖擊是影響金融市場流動性和穩定性的重要因素，對價格沖擊成本的研究有助于筆者在指導交易的過程中降低交易執行成本。在這個高頻交易的時代，無疑對機構投資者有重要的意義，有助于投資者通過最優化方式最大化自己的利潤，也有利于在監管者在高頻交易的時代制定有效的政策措施。

在金融市場中，價格沖擊主要是指市場參與者買賣資產導致的資產價格的變動。例如，在投資者大量買入股票時會導致股票價格快速上漲。市場價格沖擊往往與市場流動性密切相關，流動性越差，交易導致的價格沖擊也就越大。我們總是假設市場具有無限的流動性。然而，實際情況卻并非這么理想。當交易量很大時，因為流動性有限，就會對市場價格造成明顯沖擊。由此可見，傳統的金融模型將流動性假設為無限具有一定的局限性。由于流動性的限制，在價格沖擊領域中，越來越多的學者開始研究最優執行問題，即投資者如何將大單進行分割，才能在一定時間段內執行以達到價格沖擊成本最小化，從而實現最大收益。

2模型假設

對價格沖擊的建模過程將采用瞬時性以及永久性價格沖擊的方法。這種建模方法的好處在于將沖擊過程分解為兩部分，在一定程度上簡化了優化過程中的計算，使得建模求解過程更加簡便。

首先，在研究最優執行問題的過程中，我們需要對存貨過程、股票價格過程、交易價格過程以及持有現金流過程進行建模。主要變量如下。

ν=（νt）{0≤t≤T}指交易速率，是投資者單位時間內買賣股票的數量。

Qν=（Qtν）{0≤t≤T}指存貨，是投資者手中在特定時刻持有的股票數量。

Sν=（Stν）{0≤t≤T}指價格，是兩次交易價格的平均值，主要用來衡量價格波動過程。

S^ν=（S^tν）{0≤t≤T}指交易價格，是投資者買賣股票的實際價格。

Xν=（Xtν）{0≤t≤T}指持有現金，主要用來描述投資者買賣股票而導致的持有現金流的變化過程。

根據以上定義，筆者可以這樣描述以上幾個過程。

（1）存貨過程：隨著不斷交易導致的持有股票數量的變化

dQtν=±νt dtQ0ν=q（1）

（2）股票價格過程：

dStν=±g（νt）dt+σdWtS0ν=S（2）

其中，W=（Wt）{0≤t≤T}是標準布朗運動，σ為波動率；

g：R+R+表示交易行為對中間價格的永久性價格沖擊。

（3）交易價格過程：

S^tν=Stν±f（νt）S^0ν=S^（3）

其中，f：R+R+表示交易行為對執行價格的瞬時性價格沖擊。

（4）持有現金流過程：

dXtν=±S^tν νt dtX0ν=x（4）

在股權市場上，一只股票的基礎價格主要是由市場對公司業績以及未來發展潛力等基本面信息來確定的，未來的信息會直接反映到股價上，而導致了一個基礎價格的變動。因此筆者在式（2）引入一個布朗運動來描述這個隨機波動部分，寫出沒有價格沖擊影響下的股價的變動過程。

3最優執行問題

31模型描述

假設這樣一個場景，在初始時刻t=0時，投資者持有股票Q0ν=R，他需要在終端時刻T將這些股票出清，否則將必須在T時刻以市價單賣出其余股票，因此最終必然會擊穿訂單簿上的多檔價格，使得最終交易的平均價格比T時刻小。我們假定價格變化是連續的，α為每單位股票賣出在T時刻帶來的價格變動，從而只能得到QTν（STv-αQTν）的收入。而且，在交易過程中始終存在著一個與持有頭寸的二次方成正比的存貨懲罰，比例系數為β。為簡單起見，我們仍然假設瞬時性以及永久性價格沖擊都是線性的，分別是f（ν）=kν，k>0以及g（ν）=bν，b>0。因此，該出清策略的期望成本：

ECν=RS0-E[XTν+QTν（STv-αQTν）-β∫0T（Quν）2du]（5）

在此基礎上，需要求出期望成本最小化時的最優執行策略ν*。

首先我們可以定義對于任意一個策略v，可以得到一個價值函數有如下形式：

Hv（t，x，S，q）=Et，x，S，q[XTν+QTν（STv-αQTν）-β∫tT（Quν）2du]

因此最優策略下的價值函數H（t，x，S，q）應當滿足H（t，x，S，q）=supν Hv（t，x，S，q），根據動態規劃原理以及隨機控制理論，由Hamilton-Jacobi-Bellman方程可得：

t H+12 σ2 ss H-βq2+

supν {（S-f（v））νx H-νq H}=0endprint

H（T，x，S，q）=x+qS-αq2（6）

解這個方程，使得（S-f（v））νx H-νq H最小，即一階導數為0時，求得：

ν*=12k（Sx-bS-q）Hx H

將ν*代入（6）式，得到一個確定性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程：

t H+12σ2 ss H-βq2+14k[（Sx-bS-q）H]2x H=0（7）

因為H（T，x，S，q）=x+qS-αq2，為了簡化運算，我們不妨將價值函數做如下近似變換，使得求解過程中未知函數部分h的維度降低：

H（t，x，S，q）=x+qS+h（t）q2

h（T）=-α（8）

因此，將變換之后的（8）式代入ν*以及（7）式中，得到如下結果：

0=th-β+1k 12b+h（t）2（9）

ν*=-12k（bq+2h（t）q）（10）

由此我們就將求解H的偏微分方程簡化為求解h（t）的常微分方程，即（9）式。在求解h（t）的過程中，我們首先假設h（t）=-12b+χ（t），相應地，νt*=-χ（t）k Qtν*。所以（9）式可以寫成：

t χkβ-χ2）=1k

χ（T）=12b-α

解得：

lnkβ+χ（T）kβ-χ（T）-lnkβ+χ（t）kβ-χ（t）=2βk（T-t）

即，h（t）=-12b+kβ1+ζe2βk（T-t）1-ζe2βk（T-t）

其中，ζ=α-12b+kβα-12b-kβ

又因為dQtν=-νt dt，所以dQtν*=χ（t）Qtν*k） dt，積分可得：

Qtν*=R×exp∫t0χ（s）k ds=

R×explnζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkT=

ζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkTR

νt*=βkζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkTR

以上的Qtν*、ν*t即為最優策略下的持有頭寸以及交易速率的表達式。

32數值實例

為了能夠更加清晰直觀地表現最優執行策略對各個不同參數的敏感性，我們引入以下數值算例。

（1）存貨懲罰β力度不同時，最優執行策略的趨勢會如何變化

由圖1（a）可以看出，當存貨懲罰力度非常小時，交易速率的變化非常平緩，且一直維持在一個較低水平，而交際者手中持有的存貨幾乎是呈現線性下降的趨勢，但到交易時間結束，投資者仍然沒有完全賣出持有股票，將要集中的以市價單賣出。反之，當存貨懲罰變得很大時，投資者都傾向于立刻賣出股票，因此交易速率在初始時刻非常大，并且急速下降，持有頭寸的變化趨勢也和交易速率一樣，顯得極為陡峭，以減少交易過程中支付的存貨懲罰，由圖1（b）可以看出，面臨存貨懲罰力度大的投資者在中間時刻已經賣出了大部分的股票。由此我們可以看出，存貨懲罰的力度過大或者過小都是不合適的，存在一個適中的最優的存貨懲罰系數，使得交易速率較為平緩，且滿足期末出清。

（2）持有存貨的終端懲罰α不同時，最優執行策略的趨勢會如何變化

根據之前對模型假設的定義，我們知道α為每單位股票在終端時刻賣出時帶來的價格變動，我們也可將其視為持有存貨的終端懲罰。由圖2（a）和圖2（b）可以看出，隨著終端懲罰不斷加大，即α的增大，持有頭寸下降的速度越來越快，投資者傾向于在T時間段內較為有計劃地將股票出清，而不會選擇留下一部分股票在最后以市價單賣出。

4結論與展望

本文在隨機控制理論的框架下，研究了金融市場的最優執行策略。為了避免集中性的大單交易會對市場價格造成過大的沖擊進而使投資者承擔更多的執行成本，投資者都會更加愿意將大額訂單拆分成較小規模的子單進行下單交易。本文的策略主要通過求解HJB方程，并通過數值方法以圖像的形式直觀地展現，對金融市場以及金融機構投資者有著重要的理論指導意義。

研究結果表明，適當地引入存貨懲罰以及終端懲罰，有利于投資者在一定的交易時間內更加有計劃地逐步交易股票，而減少了在期初或期末集中買賣的情況，進一步增加了金融市場的穩定性，大大減少了資本市場的波動，使得股票市場更加平穩健康地運行。

隨著全球范圍內經濟的發展，大規模基金不斷涌現。但對于機構投資者來說，由于證券市場流動性有限的原因，大額訂單的交易會在短時間內帶來股票價格的劇烈波動，從而使得他們承擔太大的執行成本與價格沖擊。因此，研究基于價格沖擊的最優執行問題有著極為重要的意義。而計算機技術的發展，也給我們開發高頻交易策略帶來了可能性。

參考文獻：

[1] Schied A，Schneborn TRisk Aversion and the Dynamics of Optimal Liquidation Strategies in Illiquid Markets[J].Finance and Stochastics，2009，13（2）：181-204

[2] Gatheral J，Schied ADynamical Models of Market Impact and Algorithms for Order Execution[J].Social Science Electronic Publishing，2012

[3] 儲小俊，劉思峰在隨機非線性價格沖擊下的最優變現策略研究[J].中國管理科學，2007，15（5）：137-142

[4] 胡小平，何建敏，呂宏生非線性價格沖擊函數下的最優變現策略[J].控制工程，2008，15（1）：22-24endprint