一石激起千層浪

于彩俠

教材中的一些具有典型性、代表性的例題和習題，往往蘊含著重要的數學思想方法。在系統復習課時，教師可以從學生思維的最近發展區出發，鼓動學生大膽設想，充分挖掘，尋找知識之間的相互聯系，從而能夠舉一反三。既能夠鞏固學生的基礎知識，又能培養學生的創新能力和探索精神。

北師大版選修教材2-1橢圓一節中有這樣一題目：“ΔABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-6，0）和（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求點C的軌跡方程。”依題意求出此題的結果是：，此題是比較典型的一習題，對此，我們可以引導學生做到以下幾個方面：

1 思考引申

把方程和題目中的數值進行對比。發現恰好等于，這是否為一巧合呢？題中A，B是橢圓的兩個頂點，關于原點對稱。若A、B是橢圓C：上任意兩個關于原點的對稱點，P是橢圓上不同于A，B的一點，直線PA、PB的斜率都存在，是否有kPA·kPB =呢？

2 結論應用

學生對自己推導出來的結論一定會興奮不已，教師趁此給予相關性的題目，讓學生對此結論加以應用。

例如，2013年安徽省一高三聯考卷某題的第二問：已知橢圓E：，設P是橢圓E上第一象限內的點，點P關于原點O的對稱點為A、關于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸交于點C，點D為CQ的中點，若直線AD與橢圓E的另一個交點為B，試判斷直線PA、PB是否互相垂直？并證明你的結論。本題條件較多若抓不住入手點，會導致計算量大、得不出結果。若課堂上，教師引領學生對上面的習題加以引申，鼓動學生自己推導結論，學生對此類問題能夠舉一反三，那么學生對本題就會迎刃而解。

分析：點P，A關于原點對稱，點B也在橢圓上，則，由題意又易得出，則，即kPA·kPB = -1，所以很快能夠判斷出直線PA，PB是互相垂直的，按照此思路給予證明即可。

3 類比拓展

由橢圓中這一習題，聯想到高中階段所學的解析幾何中中心對稱的曲線——圓、雙曲線，是否也有類似的結論呢？

3.1 圓

當a=b ≠ 0時，方程表示的曲線是圓，點A、B在圓上且關于原點對稱，點P是圓上不同于A，B的點，若直線PA、PB的斜率都存在，則顯然kPA·kPB的值等于-1，恰好為。

3.2 雙曲線

類似于橢圓中的情況，若A，B是雙曲線C：上任意兩個關于原點的對稱點，P是雙曲線上不同于A，B的一點，直線PA，PB的斜率都存在，則kPA·kPB = 。

3.3 綜合應用

人教版教材上的一練習題（選修2-1，80頁）：ΔABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-6，0）和（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于m（m ≠ 0），求點C的軌跡方程。本題很好地綜合了以上三種曲線的共同問題，軌跡方程為：mx2 - y2=36m（m ≠ 0），m的范圍不同，所表示的曲線也不同：

（1）m>0時，軌跡是雙曲線；

（2）m = -1時，軌跡是圓；

（3）-1

對一道題加以深度地挖掘，脫離以往的死板、照本宣科的教學，溝通知識之間的聯系，激發學生對知識的探究欲望，從而課堂教學才有活力和靈氣，學生的思維才能得到發展，能力才能得到提高。

參考文獻

[1] 趙緒昌.數學思維過程展示的教學策略[J].中國數學教育，2014（01）.

[2] 劉明.一道經典例題結論的深度挖掘[J].中國數學教育，2013（12）.

（作者單位：安徽省太和縣太和中學）