基于廣義等高線的灰色波形預測模型及其應用

陳彥暉，劉 斌

(上海海事大學經濟管理學院，上海 201306)

基于廣義等高線的灰色波形預測模型及其應用

陳彥暉，劉 斌

(上海海事大學經濟管理學院，上海 201306)

本文針對波動性上升或下降的時間序列,提出了一類基于廣義等高線的灰色波形預測模型。該模型通過擬合帶時間趨勢項的最小二乘估計確定等高線斜率，并基于此斜率在原始數據序列最小值和最大值之間選取一系列平行直線作為廣義等高線，進而對等高時刻序列各元素橫坐標進行GM(1,1)建模和預測。通過對我國民航客運量及近期原油價格的預測對模型進行檢驗，本文得出基于廣義等高線的灰色波形預測模型能夠實現對波動性上升和下降的時間序列的預測，并提高了灰色波形預測模型預測此類數據的準確性。此外，由于灰色波形預測模型所需樣本量較小，本文提出的模型有助于對新興事物發展變化的預測。

灰色波形預測；廣義等高線；民航客運量；原油價格

1 引言

灰色系統預測是灰色系統理論研究中的一個重要領域，其主要方法是使用GM(1,N)模型或其擴展形式對時間序列的變化規律進行建模，從而對時間序列未來的發展趨勢進行預測。由于灰色系統預測模型具有建模所需數據小、不必考慮數據的分布等特點[1-3]，因此受到了眾多學者的青睞。例如吳振信和石佳[4]利用GM(1,1)模型預測了北京市的碳排放強度；花玲和謝乃明[5]考慮了政策沖擊的影響并利用灰色GM(1,1)模型對中國能源消費總量和單位GDP能耗進行了模擬和預測；Wei Jiuchang和 Zhou Lei等[6]運用GM(1,1)模型預測了中國大陸高速交通事故，鐵路交通事故，礦山生產事故等生產事故的傷亡人數；錢吳永和黨耀國等人[7]構建了含時間冪次項的灰色GM(1,1,t～α)模型,并對某沿海高速的軟土地基沉降進行了擬合與預測；劉解放和劉思峰等人[8]提出了反向累加NHGM(1,1,k)模型，并對在研武器裝備的可靠度進行預測；楊保華和趙金帥[9]運用離散灰色冪模型對中國網絡購物人數進行預測。

然而由于GM(1,N)模型只適用于單調變化的時間序列[1-2]，研究者根據數據的變化規律又對GM(1,N)模型進行了改進。對于波動性的時間序列，豐景春和楊建基[10]提出了GM(1,1,sinω)模型，錢吳永和黨耀國[11]提出了GM(1,1)振蕩序列模型。前者用一組具有灰頻率參數的正弦項表示時間序列的擺動部分，建立一個含有灰頻率參數正弦項的一階灰差分方程，從而實現對具有波動性質的時間序列的預測，而后者通過加速平移變換將振蕩序列變為單調增加序列，然后再對加速平移變換后的序列進行加權均值生成變換,再以加權均值生成變換得到的序列建立GM(1,1)模型進行預測。但是GM(1,1,sinω)模型和GM(1,1)振蕩序列模型的應用研究卻十分局限，只有郭立春和吳偉等[12]應用GM(1,1,sinω)模型預測沈陽市腎綜合征出血熱的流行趨勢，而GM(1,1)振蕩序列模型也只是通過算例進行了有效性檢驗。這兩種模型均使用了精密了的數學理論，因此在應用方面較難被人掌握。此外，這兩種模型僅適用于波動序列，對于具備增長趨勢或下降趨勢的波動序列的預測問題，這兩種模型依舊未能解決。

灰色波形預測就是灰色系統理論中針對周期性波動序列而提出的一種預測方法，它以數據序列波動圖形為基礎進行預測，因而又稱灰色圖形預測或灰色拓撲預測。它從給定的一系列閾值出發，建立GM(1,1)群，利用多個GM(1,1)模型來對整個圖形的發展趨勢進行預測。該方法對頻頻波動且擺動幅度較大的時間序列的預測取得了良好的效果，如文獻[13-15]等。灰色波形預測同時還具備灰色預測模型的一般優勢，即運用較少的樣本數據對時間序列進行中長期預測。如樊瑋和張沂華等人[15]采用了36個數據來建立預測模型，10個數據來檢測模型的預測效果。此外，灰色波形預測建模直觀，不涉及精密的數學理論，在運用上較GM(1,1, sinω)模型和GM(1,1)振蕩模型易被掌握。但是，對灰色波形預測模型的改進研究依然十分有限，過往研究中只有Wan Qin等[16]和陳彥暉[17]對于波動幅度不規律的時間序列提出了灰色波形預測模型的改進方法。然而過往研究所使用的數據在波動時并無明顯的上升或下降趨勢，因此針對隨時間增長的周期性波動序列需要對現有灰色波形預測模型做進一步改進。

本文針對波動性上升或下降的時間序列提出了基于廣義等高線的灰色波形預測模型。本文的創新點在于拓展了等高線的概念并提出通過擬合一個含簡單趨勢參數的普通最小二乘估計確定廣義等高線的斜率。在廣義等高線截距的確定上，提出首先通過時間序列樣本區間內的最大值和最小值確定最高一條和最低一條廣義等高線，然后采取等間距的方式確定其余若干條廣義等高線。在應用分析中，本文選用我國民航客運量的月數據和近期原油價格的日數據對模型進行檢驗。

2 模型構建

灰色波形預測是對一個變化不規則的數據序列的整體發展進行預測，通過對等高線與數據序列波動圖形折線的交點坐標進行GM(1,1)建模，一般在系統波動比較頻繁的情況下應用。灰色波形預測模型主要通過等高線選取，確定等高時刻序列，對等高時刻序列進行GM(1,1) 建模三個步驟完成[1]。其中，等高線的選取及等高時刻序列的確定也可以看作是對數據圖形信息的抓取過程。它們的原理就是得到等高線與數據圖形交點的信息，并找到其規律性。

2.1 選取廣義等高線

原有的灰色波形預測模型選取水平的等高線，該方法對周期性水平波動的數據具有較好的預測效果。然而，許多經濟數據呈現上升性波動的態勢，如果要應用灰色波形預測模型對預測該類數據的未來發展趨勢，就需要考慮數據的時間增長趨勢，而水平的等高線，無法刻畫數據的時間增長趨勢。因此對于波動性上升的數據，需要設置廣義的等高線來抓取數據圖形信息(如圖1所示)。

定義1:設原始序列為：X=(x(1),x(2),…,x(n))，則稱

xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]

為序列X的第k～(k+1)段線段。其中k∈[1,n]且為整數，t∈[k,k+1]為一未知參數。

稱：

{xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]|k=1,2,…,n-1}

為序列X的折線，仍記為X，即：

X={xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]|k=1,2,…,n-1}

定義2(廣義等高線的斜率)：設原始序列為：X=(x(1),x(2),…,x(n))，擬合一個含時間趨勢參數的線性回歸方程：

x(k)=a0+a1k+εt

圖1 無時間趨勢項和有時間趨勢項的周期性波動序列

其中εk是白噪聲過程，k∈[1,n]且為整數。則稱a1為廣義等高線的斜率。

定義3(廣義等高線)：設原始序列的最大值最小值分別為x(i)和x(j)，且i≠j。

1o原始序列最低和最高一條等高線分別為ξ0=α0+a1k，ξs=αs+a1k，其中α0=x(i)-a1i，αs=x(j)-a1j。

2o令ξ1=α0+(αs-α0)/s+a1k，ξ2=α0+2(αs-α0)/s+a1k，……，ξs-1=α0+(s-1)(αs-α0)/s+a1k。則稱(ξ0,ξ1,ξ2,…,ξs-1,ξs)所確定的斜線為原始數據的s+1條廣義等高線。

2.2 確定廣義等高時刻序列

確定等高時刻序列時應根據上節所確定的等高線，按時間先后順序進行。

定義4(廣義等高點)：稱方程組

的解為(tl,x(tl))(l=1,2,……)為ξi-廣義等高點。ξi-廣義等高點是折線X與ξi-等高線的交點。

命題1：若X的第(k)～(k+1)段折線上有ξi-廣義等高點，則其坐標為；

證明：第t～(t+1)段折線的方程為：

xk=x(k)+(t-k)[x(k+1)-x(k)]

聯立

令

ξi(k)=αi+a1k，ξi(k+1)=αi+a1(k+1)

可得：

αi=ξi(k)-a1k，a1=ξi(k+1)-ξi(k)

代入聯立方程組可解得X的第(k)～(k+1)段折線與ξi-廣義等高線交點的橫坐標為：

定義5(廣義等高時刻序列)：設Xξi=(P1,P2,…,Pmi)為ξi-廣義等高點序列，其中Pj位于第kj～(kj+1)段折線上，Pj點的坐標為：

令：

j=1,2,…,m

2.3 GM(1,1)建模與預測

GM(1,1)建模需要至少四個數據才能完成[18, 19]。因此，在灰色波形預測方法中，對4個及4個以上元素的等高時刻序列進行GM(1,1)建模。

命題2：設

為ξi等高時刻序列的GM(1,1)預測值。刪去所有等高時刻序列中的無效預測時刻[1]，并將其余的預測值從小到大重新排序，設該序列為：

3 應用分析

3.1 對上升趨勢預測：以民航客運量的預測為例

自上世紀90年代以來我國一直處于經濟快速發展的階段，民航運輸客運量一直處于穩定增長的階段，但由于季節性影響，這類數據呈現出波動性上漲的形態[20]。本文選取2011年1月到2015年2月我國民航客運量的月度數據進行實證檢驗。

圖2 2011年1月到2015年2月我國民航客運量的月數據

如圖1所示，在此期間我國民航客運量呈現明顯的季節性波動上升趨勢，符合本文所提模型的使用條件。

本文將2011年1月到2015年2月共50個觀測值分為樣本內數據和樣本外數據兩部分，其中樣本內數據36條(2011年1月到2013年12月)，用于確定等高線、等高時刻序列及進行GM(1,1)建模；樣本外數據14條(2014年1月到2015年2月)，通過進行14步預測的方式，對我國民航客運量的月數據進行預測。此外，本文全部的實證檢驗均通過MatlabR2010a編程計算得到。

依據灰色波形預測方法的步驟，本節首先進行等高線的選取，當s=9時，民航客運量的10條等高線方程的斜率為22.25，常數項分別為(α0,α1,…,α9)=(2118.50，2190.22，2261.94，2333.66，2405.39，2477.11，2548.83，2620.55，2692.27，2763.99)。等高線的分布如圖2所示。

圖3 廣義等高線選取(2011年1月到2013年12月)

由低到高確定十個等高時刻序列，分別如下：

預測精度如表1所示。

3.2 對下降趨勢預測：以近期原油價格的預測為例

自2014年下半年以來，由于投資者對全球經濟放緩的擔心，加之頁巖油氣的異軍突起及歐佩克組織的未就減產達成一致意見，世界原油價格一直處于波動性下跌的走勢[21]。2015年下半年以來，由于全球經濟復蘇低于預期，且受2015年冬天暖冬影響，美國原油庫存遲遲難以消化[22]，這使得世界原油價格依然有下降趨勢(如圖4所示)。

圖4 2014年7月1日到2015年12月28日的WTI價格

為了驗證基于廣義等高線的灰色預測模型同樣適用于波動性下降的時間序列數據，本節采用2014年7月以來的美國西德克薩斯輕質原油(WTI)進行測試。在測試過程中本文采取20步預測的方式進行預測。此外本節采取數據不斷向前推移的方式進行了15組共計300個測試點。預測精度如表1所示。

3.3 預測結果比較

為了驗證本文提出的模型的優越性，本文選用基于水平等高線的灰色波形預測模型作為對照模型，為了提高預測精度，本文在建立GM(1,1)模型群之前，采取參考文獻[17]的方法對等高時刻序列進行篩選，僅對合格的等高時刻序列進行預測。此外，本文還選取去時間趨勢的ARMA模型作為對照模型。在對預測精度的比較方面，本文選取了均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)、泰爾不平等系數(Theil’s inequality coefficient，TIC)和平均絕對誤差百分比(Mean Absolute Percentage Error，MAPE)對三種模型進行比較。三種模型對我國民航客運量月數據和近期原油價格的預測精度比較如表1所示。通過對MSE、TIC和MAPE的比較可以得出，基于廣義等高線的灰色波形預測模型明顯優于基于水平等高線的灰色波形預測模型。此外，基于廣義等高線的灰色波形預測模型也優于去時間趨勢項的ARMA模型。過往研究中，曾有學者使用季節調整的ARMA模型對民航客運量進行預測，由于實證研究得出對民航客運量預測時，季節調整項的階數為12[20]，這也就意味著季節調整的ARMA模型需要至少40條樣本內數據才能擬合參數。由此可見，灰色系統預測方法可基于較少的樣本容量對事物的未來變化趨勢進行預測的優勢在灰色波形預測模型中也得到了體現。

表1 預測精度比較

4 結語

針對波動性增長的時間序列的預測問題，本文通過引入時間趨勢項，提出了基于廣義等高線的灰色波形預測模型。本文通過擬合帶時間趨勢項的最小二乘估計確定廣義等高線的斜率，通過選取原始序列最大值和最小值，確定最低一條和最高一條廣義等高線的常數項，然后選取這兩個常數項間的平均數作為其余s-1條廣義等高線的常數項。最后，通過對我國民航客運量的預測進行實證檢驗，本文得出，在對具有增長趨勢的波動性時間序列進行預測時，基于廣義等高線的灰色波形預測模型預測結果優于原有的灰色波形預測模型預測結果，也優于去時間趨勢的ARMA模型。此外，由于灰色波形預測模型預測時不需要像季節調整的ARMA模型一樣需要大量的樣本內數據才能確定模型參數，這對新興事物的發展變化預測起到了積極的幫助作用。

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Grey Wave Forecasting Model with Generalized Contour Lines and its Application

CHEN Yan-hui, LIU Bin

(School of Economics and Management Shanghai Maritime University, Shanghai 201306,China)

In this paper, a modified grey wave forecasting model with generalized contour lines is proposed to forecast time series which is increasing (or decreasing) and fluctuating with time. The modified model identifies the slope of contour lines through a linear regression model with time trend and estimates the regression model with ordinary least square method. And then a set of parallel lines between the minimum and maximum values of original data series are chosen as the generalized contour lines. In the last step, GM(1,1) models are established based on the elements in generalized contour time sequences. In the empirical analysis, the proposed model is used to forecast Chinese airline passenger volume, which fluctuates with increasing trend and crude oil price, which fluctuates with decreasing trend in the past several months. The result indicates that grey wave forecasting model with generalized contour lines can improve the accuracy of grey wave forecasting model with horizontal contour lines. Also it is useful to forecast the development of emerging things, since it just uses relatively few sample data.

grey wave forecasting; generalized contour lines; airline passenger volume; crude oil price

1003-207(2017)08-0134-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.08.014

2015-06-29；

2016-01-05

國家自然科學基金資助項目(71571117,71201054);國家社會科學基金資助項目(11BJY110);上海市基礎研究重點項目(15590501800)

陳彥暉(1984-)，女(漢族)，山西臨縣人，上海海事大學經濟管理學院講師，研究方向：數量經濟、預測方法、管理科學與工程，E-mail:chenyh@shmtu.edu.cn.

F224

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