非線性一階周期邊值問題解的分歧結構

馬陸一, 閆東亮, 李曉燕

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

非線性一階周期邊值問題解的分歧結構

馬陸一, 閆東亮, 李曉燕*

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

利用分歧理論和解集連通理論,研究非線性一階周期邊值問題

分歧理論; 一階周期邊值問題; 多解性

1 引言及主要結果

一階周期邊值問題在經濟學、生態學等研究領域中有豐富的實際應用背景.近年來,許多學者對該類問題進行了廣泛研究.例如:1980年,W.S.Gurney等[1]建立了一個綠蠅繁殖模型,該模型可由如下一階微分方程刻畫

2004年,PengS.G.[2]運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理在一定條件下獲得一階周期邊值問題

正解的存在性結果,其中f∈C([0,T]×R,R),并且存在常數M>0,使得當t∈[0,T]時,Mt-f(t,u)≥0.2004年,WangH.Y.[3]利用錐拉伸與錐壓縮不動點定理,研究了一階帶時滯微分方程

u′(t)=a(t)g(u(t))u(t)-

λb(t)f(u(t-τ(t))),t∈R,

并獲得正周期解的存在性與多解性結果.對于這類一階時滯微分方程,Ma R. Y.等[4]作了進一步的研究.

1990年,J. Mawhin等[5]運用分歧理論和解集連通理論,在一定條件下證明了非線性二階周期邊值問題

(1)

解的個數在λ=0附近的變化情況:?λ∈(-∞,1),問題(1)至少有一個解;當λ<0且靠近0時,問題(1)至少有3個解.

受以上文獻的啟發,一個值得思考的問題是:一階周期邊值問題

(2)

能否建立起類似的解的存在性結果?

本文將運用分歧理論和解集聯通理論建立類似于二階情形下的結果,即在適當條件下確定：當λ在0附近變化時,問題(2)解的個數的變化情況.由于二階微分算子是對稱算子,而一階微分算子非對稱,所以一階周期邊值問題解的存在性的研究會遇到一些新的困難,需要創新和改變.

本文假設:

(C2) f∈C([0,T]×R,R),且存在γ∈C[0,T]使得|f(t,u)|≤γ(t);

(C3) 存在一個常數R>0,使得|u|≥R時有f(t,u)u>0成立.

定理 1 假設(C1)～(C3)成立,則存在λ+,λ->0,當λ∈[0,λ+]時,該問題至少有一個解;當λ∈[-λ-,0)時,該問題至少有3個解.

2 預備知識

設Y={u∈C1[0,T]∶u(0)=u(T)}為范數‖u‖Y=max{‖u‖∞,‖u′‖∞}下構成的Banach空間,C:=C[0,T].

定義算子L:Y→C,Lu=u′-u,容易驗證L可逆.因此線性問題

(3)

有唯一解,則問題(2)可以轉化成

u=-L-1(λ+1)u+L-1[h(t)-f(t,u)],

其中L-1:C→Y為緊算子,且當‖u‖→∞時,

3 主要結果的證明

為了證明主要結果,首先給出以下3個引理.

設E為一個實Banach空間,F:E×R→E為一個全連續映射,考慮方程

u-F(u,λ)=0.

(4)

引理 3.1[5]假設存在E中的有界開集O,使得

deg(I-F(·,a),O,0)≠0.

則存在(4)式的解集連通分支C1和C2,并且

C1?E×(-∞,a]∩(I-F)-1(0),

C2?E×[a,∞)∩(I-F)-1(0).

當C=C1或C=C2時,有以下結論成立:

1)C∩O×{a}≠?;

2)C有界或者C∩EO×{a}≠?.

引理 3.2[5]定義O=BR(O)={u∈E:‖u‖a,使得當a≤λ≤b時有‖u‖0,使得當b≤λ≤b+δ時存在(u,λ)∈C2且滿足‖u‖≤2R.

當λ在a的左側時可以得到類似的結論.

引理 3.3 假設(C1)～(C3)成立,則存在R0>0,使得當λ≥0時,問題(2)存在一個解u,并且‖u‖

證明 考慮問題(2)的同倫族問題

(5)

由Leray-Schauder原理可知,若(5)式的所有可能解都有一個先驗界,則問題(2)存在一個解.顯然這個解有界.下面證明(5)式解的先驗界的存在性.

假設0<δ≤λ,令

(6)

其中

對(5)式兩邊從0到T積分得

在等式兩邊同時乘以1/T,則

可推得

化簡得

(7)

由于

所以

(7)式可以化簡為

結合條件(C2)和(C3)可知

因此

令

則

對(5)式兩邊從0到T積分并取μ=1得

因此

定理1的證明 由于在?R0上問題對應的算子方程沒有不動點,由拓撲度的同倫不變性可知當λ≥0時,

deg(I-h(·,λ),O,0)≠0.

由引理3.1和3.2的結論,當λ≥0時,存在一個解的連通分支C,并且C延伸到λ=0的左側.

另一方面,λ=0是

的主特征值,由文獻[6]中關于分歧問題的方法,在λ=0側有解的連通分支從無窮遠處產生.分歧產生的解的連通分支C具有以下性質:?ε>0,存在(u,λ)∈C,使得當|λ-0|<ε時,有‖u‖>1/ε成立.而根據之前的證明,由于當λ≥0時,問題(2)的所有可能解都有界,若連通分支從λ=0的右側產生,則出現矛盾.因此,解的連通分支從λ=0的左側產生.由文獻[6]的結論可知,若λ<0并且靠近0,一定從無窮遠處產生兩條解的連通分支C+與C-,并且有以下結論成立:

若R<1/ε,即ε<1/R時,?-1/R<λ<0,可以獲得兩個解u+和u-,其中u+∈C+,u-∈C-,并且‖u‖>R.再結合解的連通分支C,一定存在λ->0,使得λ∈[-λ-,0)時,問題(2)至少有3個解.

所以當假設(C1)～(C3)成立時,存在λ+,λ->0,當λ∈[0,λ+]時,問題(2)至少有一個解;當λ∈[-λ-,0)時,問題(2)至少有3個解.

[1] GURNEY W S, BLYTHE S P, NISBET R N. Nicholson’s blowflies revisited[J]. Nature,1980,287(5777):17-21.

[2] PENG S G. Positive solutions for first order periodic boundary value problem[J]. Appl Math Comput,2004,158(2):345-351.

[3] WANG H Y. Positive periodic solutions of functional differential equations[J]. J Diff Eqns,2004,202(2):354-366.

[4] MA R Y, CHEN R P, CHEN T L. Existence of positive periodic solutions of nonlinear first-order delayed differential equations[J]. J Math Anal Appl,2011,384(2):527-535.

[5] MAWHIN J, SCHMITT K. Nonlinear eigenvalue problems with the parameter near resonance[J]. Ann Polon Math,1990,51(1):241-248.

[6] RABINOWITZ P H. On bifurcation from infinity[J]. J Diff Eqns,1973,14(3):462-475.

[7] BEREANU C, MAWHIN J. Upper and lower solutions for periodic problems:first order difference vs first order differential equations[C]//Inter Conf Math Anal Appl. Craiova:AIP,2005:23-24.

[8] SUN J P, LI W T. Existence of solutions to nonlinear first-order PBVPs on time scales[J]. Nonlinear Anal,2007,67(3):883-888.

[9] LIU X, LI W. Existence and uniqueness of positive periodic solutions of functional differential equations[J]. J Math Anal Appl,2004,293(1):28-39.

[10] WU Y. Existence of positive periodic solutions for a functional differential equation with a parameter[J]. Nonlinear Anal,2008,68(7):1954-1962.

[11] 張露,劉瑞寬. 一階時滯微分方程正周期解的存在性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2014,37(5):649-652.

[12] 朱雯雯,徐有基. 帶非線性邊界條件的一階微分方程多個正解的存在性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2016,39(2):226-230.

[13] MA R Y. Existence and uniqueness of solutions to first-order three-point boundary value problems[J]. Appl Math Lett,2002,15(2):211-216.

[14] LIU B. Existence and uniqueness of solutionsto first-order multipoint boundary value problems[J]. Appl Math Lett,2004,17(11):1307-1316.

[15] CHEN R P, MA R Y, HE Z Q. Positive periodic solutions of first-order singular systems[J]. Appl Math Comput,2012,218(23):11421-11428.

[16] 譚亮,鐘守銘. 一類具有離散時滯和分布時滯的BAM神經網絡的全局耗散分析[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2017,40(1):11-17.

[17] NIETO J J, RODRIGUEZ-LOPEZ R. Existence and approximation of solutions for nonlinear functional differential equations with periodic boundary value conditions[J]. Comput Math Appl,2000,40(4):433-442.

2010MSC：34B15

(編輯 周 俊)

Bifurcation Structure of Nonlinear First-order Periodic Boundary Value Problems

MA Luyi, YAN Dongliang, LI Xiaoyan

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu)

In this paper, we use bifurcation theory and continuation theory to show the multiplicity results for first-order periodic boundary value problem

bifurcationtheory;first-orderperiodicboundaryvalueproblem;multiplicityresults

2016-03-29

國家自然科學基金(11671322)

O175.8

A

1001-8395(2017)04-0478-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.008

*通信作者簡介：李曉燕(1979—),女,講師,主要從事常微分方程邊值問題的研究,E-mail:lixydodo@163.com