多項式型迭代方程解的存在性

石勇國, 劉 娜, 龔小兵*

(1. 內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641199; 2. 成都工貿(mào)職業(yè)技術學院 經(jīng)貿(mào)管理系, 四川 成都 611731)

多項式型迭代方程解的存在性

石勇國1, 劉 娜2, 龔小兵1*

(1. 內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641199; 2. 成都工貿(mào)職業(yè)技術學院 經(jīng)貿(mào)管理系, 四川 成都 611731)

許多關于多項式型迭代方程的結(jié)果,如解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性等都是在已知函數(shù)為單調(diào)函數(shù)的假設條件下得到的.借助討論迭代根時使用的特征區(qū)間的思想，在已知函數(shù)為非單調(diào)函數(shù)情形下給出了多項式型迭代方程解的存在性.

迭代函數(shù)方程; PM函數(shù); 非單調(diào)性; 延拓

多項式型迭代方程

λ1f(x)+λ2f2(x)+…+

λnfn(x)=F(x), x∈S

(1)

是一類重要的函數(shù)方程[1-4],迭代根和不變曲線等問題都可以轉(zhuǎn)化為此類方程,其中f:S→S為未知函數(shù)，F(xiàn):S→S為已知函數(shù)，fi是f的i次迭代，即

(2)

有遞增解.雖然關于方程(1)和(2)已有許多很好的研究結(jié)果，但均是在F單調(diào)的情形下給出的.本文利用文獻[20]的思想，在F非單調(diào)的情形下在R上研究了方程(1)和(2).首先給出了這2個方程有解的條件，再利用文獻[18-19]的結(jié)果，通過延拓的方法給出了方程(1)和(2)的非單調(diào)連續(xù)解.

1 預備知識

令I:=[a,b],其中a,b∈R.設C(I)是I上所有實連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合.如文獻[21]，令

C(I,I):={f∈C(I):f(x)∈I，?x∈I},

C+(I,I):={f∈C(I,I):f(a)=a，f(b)=b}.

對-∞≤m≤M≤+∞，定義

C(I;m,M):={f∈C(I,I):

m≤f[x1,x2]≤M，x1≠x2∈I},

C+(I;m,M):={f∈C+(I,I):

m≤f[x1,x2]≤M，x1≠x2∈I},

其中

是f的一階差分.

如文獻[20]，對連續(xù)函數(shù)F:I→F(I),如果F在內(nèi)點x0的某個鄰域內(nèi)嚴格單調(diào)，則稱x0∈I為F的單調(diào)點，否則稱內(nèi)點x0為F的非單調(diào)點或簡稱fort.如文獻[22]中的定義，如果F在區(qū)間I上只有有限個非單調(diào)點，則稱F是I上的一個PM函數(shù)或逐段嚴格單調(diào)函數(shù).用S(F)表示連續(xù)函數(shù)F在I上的所有非單調(diào)點構(gòu)成的集合，PM(I)表示I上所有逐段嚴格非單調(diào)函數(shù)構(gòu)成的集合.令

PM(I,J):={f∈PM(I):f(I)?J}，

其中I和J都是區(qū)間.

設F∈PM(I)和S(F)={c1,c2,…,ck}且

c0:=a

如果區(qū)間I的子區(qū)間Ij:=[cj,cj+1](0≤j≤k)滿足F(I)=F(Ij)，則稱Ij:=[cj,cj+1]為F的特征區(qū)間[20].注意函數(shù)F在子區(qū)間Ij上是單調(diào)的.

2 解的存在性

定理 2.1F是給定的定義在區(qū)間I上的逐段嚴格單調(diào)函數(shù)，子區(qū)間Ij是F的特征區(qū)間，如果函數(shù)f0:Ij→Ij是方程(2)(或(1))限制在特征區(qū)間Ij上的一個連續(xù)解，則如下定義的函數(shù)f:I→I:

(3)

其中

(4)

是方程(2)(或(1))在區(qū)間I上的一個連續(xù)解.

證明 首先針對方程(2)進行證明.注意到f0定義在特征區(qū)間Ij上并且F(I)=F(Ij),所以f(x)定義有意義.接下來證明如(3)式定義的函數(shù)f滿足方程(2).事實上如果x∈Ij，結(jié)論顯然成立,即

(5)

如果x∈IIj，則由(4)式和特征區(qū)間的定義知

成立.所以由(3)式定義的函數(shù)f是方程(2)的解.

事實上，由(3)式定義的f在I上還是連續(xù)函數(shù).下面給出其連續(xù)性的證明.不失一般性，假設0

和

因此

所以f在點cj連續(xù).同理,函數(shù)f在點cj+1也連續(xù).進一步,如果存在cm滿足

或

則同證明f在點cj連續(xù)類似可證明f在點cm連續(xù).如果

或

則由F(x)在區(qū)間I上連續(xù)和J(x)在[F(cj),F(cj+1)](或[F(cj+1),F(cj)])連續(xù)知f在點cm連續(xù).

對于方程(1)的證明類似于文獻[20].證畢.

利用文獻[18]中的定理4.2和4.3，給出如下關于方程(1)有非單調(diào)解的2個結(jié)果.

其中

則方程(1)在區(qū)間I上有連續(xù)解,其中E(Ij;0,M,k,K)的定義參見文獻[18].

證明 由文獻[18]的定理4.2，方程(1)在區(qū)間Ij上有連續(xù)解.由定理2.1知方程(1)在I上有解.證畢.

其中

則方程(1)在區(qū)間I上有連續(xù)解.

利用文獻[18]中的定理4.3，證明與推論2.1類似.

利用文獻[19]中的定理2.1，給出如下關于方程(2)存在非單調(diào)解的結(jié)果.

證明 由文獻[5]中的定理2.1知方程(2)在特征區(qū)間Ij上有連續(xù)解f0.由定理2.1得方程(2)在I上有連續(xù)解.證畢.

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2010 MSC：39B12; 37E05; 54C60

(編輯 周 俊)

Extension of Solutions of Polynomial-like Iterative Equations

SHI Yongguo1, LIU Na2, GONG Xiaobing1

( 1.DepartmentofMathematics,NeijiangNormalUniversity,Neijiang641199,Sichuan2.DepartmentofEconomicandTradeManagement,ChengduIndustryandTradeCollege,Chengdu611731,Sichuan)

Most of known results such as existence, uniqueness and stability for polynomial like iterative equations are given under the assumption that the given function is monotone. In this paper, using the idea of characteristic intervals of iterative roots we give the existence of solutions for this equation with some given nonmonotonic function.

iterative functional equation; PM function; nonmonotonicity; extension

2016-12-17

國家自然科學基金(11301256)、四川省教育廳科研創(chuàng)新團隊基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學基金(17ZA0217)

O175

A

1001-8395(2017)04-0482-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.009

*通信作者簡介：龔小兵(1975—)，男，教授，主要從事函數(shù)方程的研究,E-mail:xbgong@163.com