拓撲Hausdorff維數的一種計算方法及其應用

饒 峰， 柯 楓

(1.湖北商貿學院 基礎課部， 湖北 武漢 430079; 2.湖北大學 數學與統計學院， 湖北 武漢 430062)

拓撲Hausdorff維數的一種計算方法及其應用

饒 峰1，2， 柯 楓2

(1.湖北商貿學院 基礎課部， 湖北 武漢 430079; 2.湖北大學 數學與統計學院， 湖北 武漢 430062)

介紹平面上集合的拓撲Hausdorff維數的一種計算方法，此方法是根據集合的幾何特征構造它的一個基，利用基的邊界的Hausdorff維數獲得該集合的拓撲Hausdorff維數.利用此方法計算了一類分形方塊的拓撲Hausdorff維數.

Hausdorff維數; 拓撲維數; 拓撲Hausdorff維數; 分形方塊

1 預備知識

在本文中，度量空間X的Hausdorff維數[1]記為dimHX，拓撲維數[2]記為dimtX.dimH?=dimt?=-1.拓撲Hausdorff維數是最近由R.Balka等[3]提出來的一種新的維數，它是結合Hausdorff維數與拓撲維數的概念產生的,具有一些好的性質，在分形研究中日益受到關注.

定義 1.1[3]令dimtH?=-1.非空度量空間X的拓撲Hausdorff維數為dimtHX=inf{d:X有一個基U使得對任意的U∈U都有dimH?U≤d-1}，其中?U表示集合U的邊界.

從定義不難看出一個非空空間的拓撲Hausdorff維數是0或至少為1.拓撲Hausdorff維數具有單調性;對閉集具有可數穩定性;是雙Lipschitz不變量[3].下面的2條性質將在本文中用到.

性質 1.2[3]對任意的度量空間X，有dimtX≤dimtHX≤dimHX.

由此性質可知一個有限集或可數集的拓撲Hausdorff維數為0.

性質 1.3[3]X是一個非空可分度量空間，那么dimtH(X×[0，1])=dimH(X×[0，1])=dimHX+1.

拓撲Hausdorff維數不是由拓撲維數及Hausdorff維數決定的，即存在2個緊度量空間X和Y，雖然dimtX=dimtY，dimHX=dimHY，但dimtHX≠dimHY[3]，因此計算集合的拓撲Hausdorff維數是有意義的.

2 基的構造

維數的計算一直是分形幾何研究的熱點.本節介紹一種拓撲Hausdorff維數的計算方法.此方法是根據集合的幾何結構構造出它的一個拓撲基，確定基的邊界的Hausdorff維數，由定義1.1得到該集合的拓撲Hausdorff維數上界，再由集合的特征確定下界.如果上下界相同，則獲得該集合的拓撲Hausdorff維數.此方法的關鍵是構造集合的基，先給出基的判別定理.

定理 2.1[4]設U是拓撲空間(X，T)的一個開集族，則U是拓撲空間X的一個基，當且僅當對于每一個x∈X和x的每一個鄰域Ux，存在Vx∈U使得x∈Vx?Ux.

定理 2.2 設F是R2中的子空間，開集族U如上所述，則W={U∩F:U∈U}是F的一個基.

證明 對任意p∈F和p的任意鄰域Up?F，當|m|，n足夠大時，在{cnm}和{dnm}中分別存在2條折線，這4條折線圍成一個多邊形區域V，使p∈V，V∩F?Up，由定理2.1可知定理成立.

3 分形方塊維數的計算

分形方塊的形成與三分Cantor集類似:第一步，按照給定的D，將單位正方形[0，1]2等分為n2個小正方形，留下m個(留下的小正方形在本文圖中涂黑);第二步，將留下的每個小正方形按第一步方式再等分成n2個小正方形后留下m個;如此反復下去，最后得到的極限集就是由n和D確定的分形方塊F.

本節主要計算F3，6中連通分形方塊的拓撲Hausdorff維數，圖1是F3，6中10個連通分形方塊，有下面結論:

定理 3.1 F3，6中連通分形方塊的拓撲Hausdorff維數都為1.為后面敘述的方便，先介紹符號空間和編碼等概念.

下面計算圖1中連通方塊的拓撲Hausdorff維數，即證明定理3.1.

(a) F1

(b) F2

(c) F3

(d) F4

(e) F5

(f) F6

(g) F7

(h) F8

(i) F9

(j) F10

(a)

(b)

構成F1的基.由于折線cnm、dnm與F1只交于有限個點，所以?(U∩F1)是由有限個點構成的，dimH?(U∩F1)≤0.由定義1.1知dimtHF1≤1.又因為F1包含線段l，由性質1.2知dimtHF1≥1.故dimtHF1=1.

從以上過程可以發現根據集合的幾何特征構造折線段c，d是關鍵，利用它們就可以構造分形方塊的基.在后面先構造剩下9個分形方塊中的折線段c，d，再一起說明它們的拓撲Hausdorff維數為1.

(a) F2

(b) F3

(c) F4

(d) F5

(e) F6

(f) F7

(g) F8

(h) F9

(i) F10

分形方塊F4的數字集

D4={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

分形方塊F5的數字集

D5={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

分形方塊F6的數字集

D6={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

分形方塊F7的數字集

D7={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

4 問題及展望

[1] FALCONER K J. Fractal Geometry:Mathematical Foundations and Applications[M]. 2nd. England:John Wiley,2003:31-119.

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[4] 熊金城. 點集拓撲講義[M]. 北京:高等教育出版社,2011:82-83.

[5] BALKA R. Inductive topological Hausdorff dimensions and fibers of generic continuous functions[J]. Monatsh Math,2014,174(1):1-28.

[6] BALKA R, BUCZOLICH Z, ELEKES M. Topological Hausdorff dimension and level sets of generic continuous functions on fractals[J]. Chaos Solitons Fractals,2012,45(12):1579-1589.

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[10] FALCONER K J. On the Hausdorff dimension of distance sets[J]. Mathematika,1985,32(2):206-212.

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2010 MSC: 28A80; 54F45

(編輯 陶志寧)

A Calculation Method of the Topological Hausdorff Dimension and Its Applications

RAO Feng1,2， KE Feng2

(1.FundamentalCourseDepartment,HubeiBusinessCollege,Wuhan430079,Hubei; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiUniversity,Wuhan430062,Hubei)

A calculation method of the topological Hausdorff dimension of a set on a plane is introduced. This method is to construct a basis of the set and then use Hausdorff dimension of the boundary of the basis to obtain the topological Hausdorff dimension of this set. We calculate the topological Hausdorff dimensions of a class of fractal squares by this method.

Hausdorff dimension; topological dimension; topological Hausdorff dimension; fractal square

2016-08-24

湖北省教育廳科學技術研究項目(B2016480)

饒 峰(1977—)，男，講師，主要從事分形幾何的研究，E-mail:601682168@qq.com

O189

A

1001-8395(2017)04-0496-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.012