基于Wishart矩陣特征值的頻譜感知算法

楊雪梅，何希，徐家品

（1. 四川大學錦江學院，四川 眉山 620860；2. 四川大學電子信息學院，四川 成都 610065）

基于Wishart矩陣特征值的頻譜感知算法

楊雪梅1，何希2，徐家品2

（1. 四川大學錦江學院，四川 眉山 620860；2. 四川大學電子信息學院，四川 成都 610065）

為了提高頻譜感知性能，克服經典算法的缺點，提出了一種新的基于Wishart隨機矩陣理論的協作頻譜感知算法。根據多個認知用戶接收信號樣本協方差矩陣特征值的對數分布特性，利用樣本協方差矩陣最大特征值與幾何平均特征值的比值，得到簡單的判決閾值閉式表達式，實現頻譜感知判決。該算法不需要知道主用戶的任何先驗信息，不受噪聲不確定性的影響。仿真結果表明，所提算法在協作用戶數少、信噪比低、采樣點數極少的情況下，仍能獲得較高的感知性能。該算法受虛警概率和極端值的影響較小，比同類算法有更好的檢測性能。

頻譜感知；Wishart隨機矩陣；樣本協方差矩陣；幾何平均特征值；判決閾值

1 引言

在認知無線電（cognitive radio）[1]頻譜感知技術中，目前最經典的頻譜檢測方法有匹配濾波檢測（matched filtering detection，MFD）[2]、循環平穩特征檢測（cyclostationary feature detection，CFD）[3]、能量檢測（energy detection，ED）[4,5]3種方法。匹配濾波檢測的檢測精度高，但是需要知道主用戶的先驗信息，而循環平穩特征檢測的計算量很大。相較于前兩者，能量檢測不需要主用戶的任何先驗信息，算法簡單，但受噪聲不確定性影響較大[6]，如噪聲可能是非高斯噪聲[7]，且對相關性信號檢測性能較差。而相關性信號在多用戶協作感知中常常與噪聲不確定現象同時存在，隨著多用戶協作感知的應用愈加廣泛，為了提高相關信號的檢測性能，基于隨機矩陣理論的多用戶協作感知方法[8]成為熱點。

這類方法對獨立同分布信號和相關信號均適用，克服了經典感知方法的一些缺點，但也存在各自的優缺點。參考文獻[9]中采用 DSCM（determinant of sample covariance matrix）算法，該算法不敏感于協作用戶數，但要在滿足大采樣點數、高信噪比的條件下，其檢測性能才好；參考文獻[10]中提出了兩種基于算術平均特征值的感知算法，其中，AME（average to maximum eigenvalue）算法采用算術平均特征值與最大特征值的比值作為判決統計量，在大樣本情況下，受虛警概率的影響較大，而另一種AMME（average to maximum-minimum eigenvalue）算法采用算術平均特征值與最大最小特征值之差的比值為判決統計量[11]；同時，基于隨機矩陣最大最小特征值方面的研究越來越多，如參考文獻[12,13]中分別提出的NMME（novel maximum-minimum eigenvalue）算法和LED（least eigenvalue distribution）算法，這兩種算法的檢測性能都比較高，LED算法的檢測性能略高于NMME算法，但它們分別依賴于一階和二階Tracy-Widom分布函數，而這兩種分布函數都沒有具體的閉式表達式。

為了提高頻譜感知能力，在小采樣點數、低信噪比條件下獲得較高的檢測性能，本文在Wishart隨機矩陣理論的基礎上，提出了一種基于隨機矩陣特征值分布的頻譜感知算法，利用樣本協方差矩陣特征值的對數分布形式，以隨機矩陣樣本協方差矩陣最大特征值與幾何平均特征值（maximum-geometric mean eigenvalue，MGME）比值[14]為判決門限統計量，對頻譜檢測做出判決。

2 系統模型

認知用戶的信號檢測可以用一個二元假設檢驗模型[6,15]表示：

其中，H0表示沒有主用戶信號存在，只有噪聲的情況；H1表示主用戶信號和噪聲都存在的情況。xi( k)表示第i個認知用戶在k( k=1,2,…,N)時刻采樣到的信號；hi( k)表示信道增益；ni( k)表示高斯白噪聲，其均值為0、方差為；si( k)表示主用戶信號。

用向量形式H、X以及n分別將信道增益、接收信號以及噪聲表示成如下形式：

則接收信號可以進一步用M×N維矩陣表示：

根據以上的定義，式（1）能夠被表示為：

假設噪聲n是獨立同分布信號，且信號S與噪聲n不相關，則在樣本數N足夠大的情況下，接收信號樣本協方差矩陣Rx(N)可定義為：

其中，樣本協方差矩陣Rx(N)的行列式即樣本協方差矩陣所有特征值的乘積，可記為：

其中，λi表示矩陣Rx(N)的第i個特征值。用λmax、λmin表示矩陣Rx(N)的最大特征值和最小特征值。

3 MGME算法的理論分析

3.1 算法的理論基礎

當主用戶信號不存在（H0）時，Rx(N)是一個特殊的Wishart矩陣[16]，可記為：

其中， IM為M×M維的單位矩陣。

當采樣點數N遠大于協作用戶數M時：

3.2 算法的閾值推導

基于以上的理論分析，本文將幾何平均特征值與最大特征值之比作為判決統計量：

在預先給定虛警概率 Pfa作為已知量的條件下，建立判決閾值與虛警概率之間的關系，用標準Q函數表示為：

因此，判決閾值可以表示為：

由式（18）可知，判決閾值γ只與虛警概率、協作用戶數以及采樣點數有關，與噪聲無關，不受噪聲不確定性的影響。

3.3 算法判決閾值的有效性

圖1給出了MGME算法的判決閾值γ、信號與噪聲同時存在情況下以及只有噪聲情況下的仿真比值隨采樣點數變化的關系曲線，其中，協作用戶數 M=10，虛警概率Pfa=0.01，信噪比SNR=-10 dB。由理論分析可知：γ隨采樣點數的變化而動態調整；在相同采樣點數情況下，信號與噪聲同時存在情況下的仿真比值應當大于γ，而只有噪聲情況下的仿真比值應當小于γ；此外，由于虛警概率的存在，在只有噪聲情況下的仿真比值曲線上，也可能存在極少的點位于γ關系曲線的上方。由圖1可知，MGME算法的判決閾值是有效的。

圖1 MGME判決閾值的有效性

4 算法性能仿真

4.1 仿真環境及工具

為了驗證所提MGME算法的檢測性能，本文將從兩方面對MGME算法進行仿真分析：從不同采樣點數、協作用戶數、信噪比以及不同虛警概率情況下對MGME算法進行仿真分析；將所提算法與LED、AMME以及AME等同類算法作比較。實驗采用10 000次的Monte Carlo（蒙特卡洛）仿真，仿真平臺為MATLAB（R2013a）。

4.2 采樣點數、協作用戶數以及信噪比對檢測性能的影響

為了更好地分析，表1列出了在不同采樣點數M、協作用戶數N以及信噪比SNR下，MGME算法的檢測概率 Pd，由表1可知，仿真選取較少的采樣點數，在低協作用戶數和低信噪比條件下，也能獲得較高的檢測概率。

表1 不同情況下的檢測概率

圖2為Pfa=0.05，分別取協作用戶數M=5、10，采樣點數N=100、200、500時，檢測概率隨信噪比變化的關系曲線。

圖2 不同M、N下的信噪比與檢測概率的關系曲線

4.3 虛警概率對檢測性能的影響

圖3為M=10，分別取采樣點數 N=100、200、350，信噪比SNR=-10 dB 、 -15dB時，檢測概率隨虛警概率變化的關系曲線。仿真結果表明，當虛警概率從 0.01增加到 0.1的過程中，在不同的采樣點數和信噪比情況下，MGME算法的檢測概率增加均不到 0.15，由此可知，MGME算法受虛警概率的影響較小；此外，仿真選取較低的采樣點數和信噪比，當采樣點數N=200，信噪比SNR=-10 dB時，MGME算法的檢測概率為1。在實際情況中，可根據信噪比的高低選擇合適的采樣點數，以達到最優的檢測性能。

圖3 不同N、SNR下的檢測概率與虛警概率之間的關系

4.4 MGME算法與其他同類算法的性能比較

這部分將MGME算法與LED、AMME、AME以及DSCM算法從幾個不同方面進行仿真分析與比較。

圖4 檢測概率與采樣點數之間的關系

圖 5表示各種算法在不同信噪比情況下的檢測性能，N=200， Pfa=0.05，M=20。從圖 5可以看出，AME和AMME兩種算法的關系曲線幾乎是重合的，MGME算法的關系曲線明顯高于其他4種算法。當信噪比SNR=-14 dB 時，DSCM算法的檢測概率只有0.278，LED算法為0.903，AMME算法為0.923，AME算法為0.934，MGME算法已達0.954，由圖5可知，在低信噪比情況下，MGME算法的檢測性能是最好的。

圖5 檢測概率與信噪比之間的關系

為了更好地分析，表2列出了當N=100時，各種算法在是否存在極端值兩種情況下檢測概率的偏差（取正值），由表2可知，在N=100時，MGME算法的偏差最小，AME算法略高于MGME算法，其他3種算法檢測概率的偏差遠大于MGME、AME兩種算法。

表2 N=100時是否存在極端值兩種情況下各算法檢測概率的偏差

圖6表示在是否存在極端值兩種情況下，各種算法的檢測概率隨采樣點數變化的關系曲線，其中。此外，從圖6中可以看到，DSCM、LED和AMME 3種算法在存在極端值情況下的關系曲線與理想情況下相差甚遠，MGME和AME兩種算法在存在極端值情況（無極端值）下的關系曲線與理想情況下只有較小的差異，而MGME算法在采樣點數達到130時，是否有極端值兩種情況下的關系曲線已幾乎重合，此時 AME算法仍然保持大約 0.02的偏差。綜上所述，5種算法中，只有 AME和MGME兩種算法受極端值的影響較小，而MGME算法受極端值的影響是最小的。

圖6 檢測概率與采樣點數之間的關系

由上述仿真結果可知，所提MGME算法受虛警概率和極端值的影響較小，在低協作用戶數和低信噪比條件下，也能通過極少的采樣點數，獲得較高的檢測概率；此外，與AMME、AME和LED等基于特征值的同類算法相比，在不同信噪比、采樣點數以及協作用戶數情況下，MGME算法表現出了更好的檢測性能。

5 結束語

本文運用Wishart隨機矩陣特征值的對數分布特性，提出了一種基于樣本協方差矩陣最大特征值與幾何平均特征值比值的算法，即MGME算法。該算法不依賴于Tracy-Widom分布函數，且能得到一個判決閾值閉式表達式，當虛警概率、協作用戶數、采樣點數等參數確定后，判決閾值能夠獲得物理意義明確的檢測結果。另外，由于判決閾值只與虛警概率、協作用戶數、采樣點數有關，因此在主用戶信息動態變化時，算法性能也很穩定。通過仿真可知，該算法克服了噪聲不確定性對檢測性能的不利影響，在采樣點數、協作用戶數以及信噪比均較小的情況下，能獲得較高的檢測性能，算法簡單，復雜度不高，并且受虛警概率和極端值的影響較小，與同類算法相比，所提算法能獲得更好的檢測性能。

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Spectrum sensing algorithm based on the eigenvalue of Wishart random matrix

YANG Xuemei1, HE Xi2, XU Jiapin2
1. College of Jinjiang, Sichuan University, Meishan 620860, China 2. College of Electronics and Information Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China

In order to improve the spectrum sensing performance and overcome the shortcomings of the classical algorithm, a new cooperative spectrum sensing algorithm based on Wishart random matrix theory was proposed. According to the logarithmic distribution characteristics of the sampled covariance matrix eigenvalues and using the ratio of maximum eigenvalue and geometric mean eigenvalue, a simple closed-form threshold expression could be obtained, and the spectrum sensing decision could be performed depend on the threshold. The simulation results show that the proposed algorithm can get better sensing performance even under the conditions of a few number of cooperative users, low signal to noise ratio and a few samples. It is less affected by false-alarm probability and the extreme values, and has better detection performance than similar algorithms.

spectrum sensing, Wishart random matrix, sample covariance matrix, geometric mean eigenvalue, threshold expression

TN925

：A

10.11959/j.issn.1000-0801.2017255

楊雪梅（1983-），女，四川大學錦江學院講師，四川省通信學會會員，主要研究方向為通信與信息系統、多媒體通信等。

何希（1991-），女，四川大學電子信息學院碩士生，主要研究方向為通信與信息系統。

徐家品（1957-），男，四川大學電子信息學院教授，主要研究方向為通信與信息系統。

2017-06-26；

：2017-08-28