基于多方向像素連續折疊機制與Radon變換的圖像加密算法

孫力，黃正謙，項振茂

（1. 浙江警察學院計算機與信息技術系，浙江 杭州 310053；2. 浙江大學計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310027）

基于多方向像素連續折疊機制與Radon變換的圖像加密算法

孫力1，黃正謙2，項振茂1

（1. 浙江警察學院計算機與信息技術系，浙江 杭州 310053；2. 浙江大學計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310027）

提出了基于多方向像素連續折疊機制與Radon變換的圖像加密算法，從不同的方向、利用不同的像素擴散技術來加密明文，顯著消除密文周期性。首先，對初始明文完成均等分割，獲取左、右兩個子塊；引入Radon變換機制，對左、右子塊進行0°～180°的Radon變換，獲取對應的Radon投影譜圖像；利用Arnold映射、引力模型分別混淆左、右子塊的Radon譜圖像，獲取兩個子置亂密文，將二者進行組合，輸出完整的置亂圖像。為了從空間多個方向來擴散像素，設計了4個方向連續折疊機制，利用4個不同方向對應的擴散函數來改變像素值，實現圖像加密。實驗結果表明，與當前圖像加密技術相比，所提算法具有更高的安全性與抗攻擊能力，輸出密文的像素分布更加均勻。

圖像加密；多方向像素連續折疊；Radon變換；Radon投影譜；Arnold映射；引力模型

1 引言

隨著網絡技術與計算機技術的日益發展，多媒體技術在日常生活中占據重要地位，已成為當前各用戶溝通的常用手段。圖像因其具備良好的直觀表達能力，給人們的生活帶來了極大的方便。但是，因圖像包含豐富的用戶信息，在網絡傳輸中容易遇到外來攻擊，這導致圖像內容真實性受到嚴重威脅，圖像信息易被篡改與竊取，給用戶信息安全帶來巨大隱患[1,2]。因此，采取某種手段來保護圖像在網絡中避免遭受攻擊，已是當前世界各國的關注焦點。然而，傳統的數據保密技術，如DES、IDEA和RSA算法等，忽略了圖像冗余與大容量的特點，不適合用于數字圖像的保密[3]。因此，有必要設計專門用于圖像的加密技術。近年來，隨著混沌系統的出現與應用的完善，給數字圖像保密技術的研究提供了新的技術方向，劉會等人[4]為了提高圖像信息的安全性，提出了基于量子混沌映射的高效安全的圖像加密算法，利用Logistic映射來生成二維Arnold變換的初始條件，通過迭代該變換，對輸入明文完成像素置亂，且設計了量子混沌系統，對置亂圖像進行擴散，改變像素值，實驗結果驗證了其算法的有效性與優異性。Tang等人[5]為了改善數字圖像在網絡傳輸的抗攻擊能力，設計了隨機投影分割與混沌系統的圖像加密技術，該技術實現將明文分割為若干個重疊子塊，利用投影分割方案將每個子塊劃分為投影線，通過迭代混沌系統所輸出的混沌序列，結合XOR算子，實現圖像加密，實驗結果驗證了其算法的有效性。Li等人[6]為了解決低維混沌映射的不足，并提高密文的抗攻擊能力，提出了基于像素水平置亂與位水平擴散的差超混沌圖像加密技術，設計了一種5D超混沌系統，結合明文像素生成一組密鑰流，從而構建了像素混淆機制，從像素水平來實現明文置亂，再利用像素擴散技術，從位水平上改變像素值，顯著提高密文的安全性，實驗結果表明其算法具備更高的安全性以及更強的抗明文攻擊能力。

利用混沌系統來實現明文加密，主要是充分利用其復雜相空間以及混沌行為來完成像素置亂與擴散，有較好的加密安全性，能夠保護圖像在網絡中的安全傳輸。但是，當前混沌加密技術在其像素混淆與擴散兩個階段，都是利用了相同的置亂與加密機制，并從單一的方向來完成，這導致密文存在明顯的周期性，使得這些算法的安全性有待進一步提高。

針對上述問題，本文提出了基于多方向像素連續折疊機制與Radon變換的圖像加密算法。利用Radon變換機制對明文分割后形成的左、右兩個子塊進行0°～180°的Radon變換，得到兩個Radon投影譜圖像；再利用Arnold映射、引力模型，分別混淆左、右子塊的Radon譜圖像，獲取置亂圖像，通過不同的置亂操作，有效降低了置亂周期性；同時，設計了4個方向連續折疊機制，利用不同的擴散函數從4個方向改變像素值，顯著降低擴散周期性。最后，測試了所提加密技術的安全性。

2 Radon變換

Radon變換[7]具有較強的抗噪性能，在數字圖像處理領域被廣泛應用，圖像經過Radon變換后，能夠獲取一幅與初始圖像完全不同的投影譜。因此，Radon變換可以混淆圖像內容，能夠較好地隱秘圖像信息、迎合加密技術的要求。令尺寸為M×N的明文為f( x, y)，則其Radon變換[7]為：

圖1 直線表示

由式（1）可知，Radon變換可表征為f( x, y)沿著直線L的線積分。也就是將f( x, y)在某個方向進行投影后所輸出的結果。先固定角度θ，取所有的t值，可輸出f( x, y)在θ方向的投影結果；再改變θ，從而可得到任意角度的投影值。

根據參考文獻[7]可知，在圖像應用領域，Radon變換具備以下特點[7]。

· 若(x, y)是圖像f( x, y)空域中的像素點，則其在頻域內的直線可表示為：

· 若(ρ0,θ0)是圖像f( x, y )頻域中的像素點，則其在空域內的直線可表示為：

· f( x, y)的平移能夠讓其對應的投影譜同樣具備平移特性。若 kx、ky分別是(x, y)在x軸、y軸上的平移長度，則有：

根據上述性質可知，對于空域圖像f( x, y )，通過Radon變換，可將其變換為頻域，獲取投影譜，實現像素混淆。以圖 2(a)為例，利用 Radon變換后，輸出的投影譜如圖 2(b)和圖 2(c)所示。圖2(b)是特定θ為50°時的變換結果；而圖2(c)是θ為0°～180°的投影集合形成的譜圖像。由圖2可知，初始明文經過0°～180°的Radon變換后，輸出一個與初始明文截然不同的投影譜，如圖 2(c)所示。這個投影譜充分隱秘了圖像信息，可用于數字圖像加密。

圖2 Radon變換的投影譜

3 圖像加密算法設計

為了盡可能地降低加密周期性，本文針對置亂與擴散兩個階段，利用不同的加密操作并考慮不同的加密方向，設計了一種新的圖像加密技術，加密算法過程如圖3所示。由圖3可知，所提加密技術主要分為兩個階段：基于多混沌映射與加密算法變換的明文置亂和基于4個方向連續折疊機制的圖像擴散。

圖3 本文圖像加密算法過程

3.1 基于多混沌映射與Radon變換的明文置亂

（1）令初始圖像為f( x, y)，其尺寸為M×N。首先，將f( x, y)分割為兩個尺寸相等的子塊fL(x, y)和fR(x, y )。然后，再利用上述Radon變換對左、右子塊fL(x, y)和fR(x, y )進行 0°～180°投影變換，獲取兩個Radon譜圖像。

（2）利用二維 Arnold映射[8]來提高左子塊fL(x, y)的 Radon譜圖像的像素置亂度，獲取相應的置亂結果f'L(x, y )：

其中，(x', y ')、(x, y)分別是 Arnold映射變換后、前的像素位置；a、b 為用戶參數，本文取a=1、b=1； N是圖像矩陣階數，本文取N=256。

（3）隨后，再引入重力模型[9]來混淆右子塊fR(x, y)的 Radon譜圖像，得到相應的置亂結果f'R(x, y)：

其中，G代表重力系數；m( x, y, z)是空間粒子P的質量；(x, y, z)是粒子P的空間位置，如圖4所示；m( i, j)是右子塊fR(x, y)的 Radon譜圖像的像素質量；Bij、B'ij分別是置亂前、后的像素位置。為了確保式（7）的分母不為零，令z≠0。

圖4 圖像在空間內的平面映射

（4）獲取左右子塊fL(x, y)和fR(x, y )的Radon譜圖像的置亂結果f'L(x, y)和f'R(x, y )后，將二者進行組合，形成完整的置亂圖像f'(x, y )。

以圖5(a)為例，對其進行均等分割，如圖5(b)和圖5(c)所示。利用Radon變換處理后，獲取的Radon譜如圖5(d)和圖5(e)所示，經過Radon變換處理后，圖像的信息被初步混淆，有效掩蓋了明文內容；左、右子塊再經過Arnold映射與引力模型置亂后，輸出兩個與Radon譜圖像截然不同的結果，圖像信息的混淆程度得到進一步提高，完全隱秘了圖像內容，如圖5(f)和圖5(g)所示。由圖5(f)和圖5(g)可知，二者視覺存在較大差異，通過不同的低維映射來置亂，降低了整個圖像的像素相關性。

3.2 基于4個方向連續折疊機制的圖像擴散

圖像經過混沌映射與Radon變換處理后，僅改變了其像素位置，但其像素值并未發生變化，導致其置亂密文的安全性不佳。為此，本文設計了4個方向連續折疊機制，從多個方向來完成像素擴散。為了增強擴散機制與混沌理論、明文像素的關聯度，本文首先利用 Logistic映射來形成密鑰流，以此來設計擴散函數。Logistic映射可表示為[10]：

其中，λ∈[0,4]是混沌參數； xi是變量。

為了改善密文的抗明文攻擊能力，本文利用明文像素來生成式（9）的初值 x0：

其中，Z為明文像素總量。

利用 x0與λ來迭代式（9），形成混沌序列{xi},i=1,2,…,M×N ；并利用{xi}建立一個量化模型，得到密鑰流{ki}：

再基于{ki}，設計基于 4個方向連續折疊機制的圖像擴散方法，步驟如下。

（1）將置亂圖像f'(x, y)的所有像素變為一個矩陣T；同時，將{ki}也變為與T具有相同維數的矩陣Q。先將矩陣T按照圖 6(a)的方向進行折疊，其對應的擴散模型為：

圖5 初始圖像的置亂結果

其中，Wh(i, j)、Bh(i, j)是T的上半部分、下半部分中(i, j)處的元素；Qh(i, j)是Q上半部分中(i, j)處的元素；W'h(i, j)、B'h(i, j)是Wh(i, j)、Bh(i, j)加密后的像素值。

（2）利用式（12）加密后，可形成第1個密文 I1'；隨后，利用 I1'，完成圖6(b)的第2個方向的擴散：

其中，Wr(i, j)是 I1'的右上半部分中(i, j)處的元素；Bl( i, j)是 I1'的左下半部分中(i, j)處的元素；Qtr(i, j)是Q的右上半部分中(i, j)處的元素；W'r(i, j)、B'l(i, j)是Wr(i, j)、Bl( i, j)加密后的像素值。

（3）利用式（13）加密后，可形成第2個密文 I2'；隨后，利用 I2'，完成圖6(c)的第3個方向的擴散：

其中，Rh(i, j)、Lh(i, j)是 I2'右半部分、左半部分中(i, j)處的元素；Qrh(i, j)是Q的右半部分中(i, j)處的元素；R'h(i, j)、L'h(i, j)是Rh(i, j)、Lh(i, j)加密后的像素值。

（4）利用式（14）加密后，可形成第3個密文 I3'；隨后，利用 I3'，完成圖 6(d)的第 4個方向的擴散：

其中，Lt( i, j)、Rb(i, j)是 I3'左上部分、右下部分中(i, j)處的元素，Qrb(i, j)是Q右下半部分中(i, j)處的元素；R'b(i, j)、L't(i, j)是Rb(i, j)、Lt( i, j)加密后像素值。

利用式（12）～式（15）對置亂圖像經過4次加密后，形成擴散密文 I4'。以圖5(h)為樣本，利用式（12）～式（15）對其完成加密后，獲取的擴散密文如圖6(e)所示。由圖6(e)可知，利用多方向連續折疊擴散技術處理后，形成的加密結果與圖5(h)之間存在巨大差異。

圖6 基于4個方向折疊機制的擴散

4 實驗結果與分析

為了測試所提加密方法的合理性與優異性，借助MATLAB軟件來完成實驗，同時，將當前安全性較高的混沌加密算法作為對照組：參考文獻[6]算法和參考文獻[11]算法。用 MATLAB仿真軟件測試這些算法性能。測試條件為：Intel 3.5GHz、雙核CPU、4 GB內存，Windows XP系統。算法部分參數為：a=1，b=1，N=256，Radon變換的角度間隔為1°，λ=3，

4.1 加密效果

以大小為 256 dpi×256 dpi的灰度明文為測試樣本，如圖7(a)所示，再利用本文算法、參考文獻[6]算法、參考文獻[11]算法對其完成加密處理，效果如圖 7(b)～圖 7(d)所示。由測試效果可知，初始圖像經過3種加密技術處理后，其內容信息均被充分隱藏，呈現一幅重度噪聲干擾圖像，攻擊者無法輕易從中獲取任何線索，具備較高的視覺保密效果。為了彰顯所提技術的優勢，本文引入密文熵值[12]來量化 3種算法對應密文的安全性，計算數據見表1。

圖7 3種加密技術對應的密文

表1 各算法對應的密文熵值測試結果

根據所得的熵值可知，雖然3種算法的密文熵值均與理論值8較為接近，但是本文加密技術的輸出密文熵值最大，達到了7.999 2，而參考文獻[6]、參考文獻[11]的熵值分別為7.998 4、7.996 5。這表明本文所提加密方法的保密安全性更高，其密文具有更強的抗攻擊能力。主要原因是本文算法從密文周期性出發，利用Radon變換來提高兩個子塊的像素混淆程度，且借助Arnold映射、引力模型對兩個Radon譜進行獨立置亂，提高了密文的隨機度與復雜度，有效降低了置亂周期性，同時，利用明文像素自身特性來設計了4個方向連續折疊擴散機制，利用4個不同的加密函數從4個方向來改變像素值，在消除擴散周期性的同時，提高了密文與明文的聯系，改善了算法的抗明文攻擊能力。而參考文獻[6]由于使用了5D超混沌系統來實現像素的置亂與擴散，通過增加算法復雜度的代價來提高密文安全性，使其密文安全性要高于參考文獻[11]的技術，但是二者在像素的置亂與擴散階段，均是利用相同的置亂、擴散函數，從單一方向來實現加密，使其輸出密文存在較為顯著的周期性，降低了算法的安全性。

4.2 密文相關性

圖像相鄰兩像素間的關系緊密度對算法的保密性影響較大，通常，圖像像素分布均勻，則其相鄰像素的相關性較弱，反之，則相關性較大，容易給攻擊者留下破譯的線索，對密文安全性產生較大的威脅，因此，優異的加密算法應能充分消除這種相關性，使其像素分布達到均勻程度[12]。為了驗證所提加密技術所輸出密文相鄰像素的相關性，從圖7(b)～圖7(d)中挑選3 000對相鄰像素來測試，利用相關系數Cxy來評估[12]：

3種算法在水平方向上的Cxy統計結果如圖8所示。由圖 8(a)可知，未經加密的圖像相鄰像素之間的相關性很高，其像素分布的均勻度很不理想，整個圖像的像素都疊加為對角線，對應的Cxy=0.967 4；但是，利用本文算法、參考文獻[6]算法、參考文獻[11]算法的加密方案對其處理后，這種對角線分布狀態變為均勻分布，Cxy分別為0.0023、0.0038、0.0061。然而，綜合圖 8(b)～圖 8(d)可知，本文加密機制的密文像素分布均勻度最高，沒有出現像素疊加與空白效應，要優于參考文獻[6]和參考文獻[11]算法。

圖8 加密前后的密文像素之間的相關性測試

不同方向的Cxy值統計結果見表2。由表2可知，就任意一個方向，明文的Cxy值始終是最大的，這也說明其相關性是最大的。然而，利用所提技術與參考文獻[6]、參考文獻[11]加密后，這種不利因素被充分削弱，Cxy明顯降低，在3種加密機制中，本文算法的密文Cxy值始終是最低的。

表2 不同方向的Cxy值統計結果

4.3 抗明文攻擊能力對比測試

在未知網絡中傳輸圖像時，選擇明文攻擊對其安全性威脅較大，因此，數字圖像加密技術應該具備較強的抗明文攻擊能力，確保密文安全傳輸[13]。根據國內外研究成果可知，像素變化率NPCR與平均變化響度（UACI）是評估圖像加密技術抗明文攻擊能力的有效指標[14]。為此，利用參考文獻[14]的計算方法，得到本文算法、參考文獻[6]算法、參考文獻[11]算法3種技術的抗明文攻擊能力評估結果，如圖 9所示。根據測試結果可知，所提加密技術的NPCR、UACI的值均要高于參考文獻[6]與參考文獻[11]的值，且分別為99.83%、34.58%。其原因是本文利用Radon變換與混沌映射對明文完成了雙重置亂，降低其置亂周期性，且利用明文像素來生成一組密鑰流，從多個方向來擴散圖像，使得整個圖像加密過程與明文密切相關，從而提高了密文的抗明文攻擊能力。而參考文獻[6]、參考文獻[11]兩種算法的加密過程均忽略了明文自身特性，單純地利用混沌理論來實現圖像加密，使其輸出密文的抗明文攻擊能力不理想。

圖9 3種算法的抗明文攻擊能力量化測試結果

5 結束語

為了從多個方向提高像素的擴散程度，本文設計了基于多方向像素連續折疊機制與Radon變換的圖像加密算法。引入Radon變換機制，對明文均等分割后的左、右子塊進行0°～180°的Radon變換，輸出兩個Radon投影譜；再利用Arnold映射與引力模型對二者進行交叉獨立置亂；設計 4個方向連續折疊機制，利用 4個不同方向對應的擴散函數來改變像素值，實現圖像加密，從而有效地提高了密文安全性，且充分降低了密文周期性。通過與當前混沌加密技術進行對比測試，驗證了本文所提加密機制的安全性與優異性。

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Image encryption algorithm based on multi-direction pixel continuous folding mechanism and Radon transform

SUN Li1, HUANG Zhengqian2, XIANG Zhenmao1
1. Department of Computer and Information Technology, Zhejiang Police College, Hangzhou 310053, China 2. School of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China

The image encryption algorithm based on multi-direction pixel continuous folding mechanism and Radon transform was proposed. Firstly, the initial plaintext was equally segmented to get left and right sub-blocks. Then the Radon transform was used to obtain the radon projection spectrum image by processing the left and right blocks at 0～180 degrees. And Radon projection spectrum image of left block was permutated by Arnold map, while the Radon projection spectrum image of right block was permutated based on gravity model to get two su-scrambling ciphers, then the entire scrambled image is formed by combining them. To diffuse pixels from multiple directions in space, four direction continuous folding mechanism was designed to change the pixel values by using the diffusion function corresponding to four different directions for realizing image encryption. The experimental results show that this algorithm has higher security and attack resistance with more uniform of pixel distribution in output cipher compared with the current image encryption technology.

image encryption, multi-direction pixel continuous folding, Radon transform, Radon projection spectrum, Arnold mapping, Gravity model

s: The National Natural Science Foundation of China—Zhejiang Joint Foundation for the Integration of Industrialization and Informatization (No.U1509219), Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of China (No.LQ13F030013)

TP391

：A

10.11959/j.issn.1000-0801.2017236

孫力（1962-），男，浙江警察學院計算機與信息技術系講師，主要研究方向為圖像處理、信息安全。

黃正謙（1963-），男，浙江大學計算機科學與技術學院講師，主要研究方向為圖像處理、網絡信息安全。

項振茂（1964-），男，浙江警察學院計算機與信息技術系教授，主要研究方向為信息安全、計算機取證。

2017-04-20；

：2017-06-01

國家自然科學基金——浙江省兩化融合聯合基金資助項目（No.U1509219）；浙江省自然科學基金資助項目（No.LQ13F030013）