超空泡航行體的反饋控制設計

何朕， 龐愛平

(哈爾濱工業大學 控制科學與工程系，黑龍江 哈爾濱 150001)

超空泡航行體的反饋控制設計

何朕， 龐愛平

(哈爾濱工業大學 控制科學與工程系，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對超空泡航行體的弱阻尼和耦合特性，提出采用內外回路的設計思想。用俯仰角反饋來對弱阻尼的動態特性進行鎮定，并與運動學進行解耦。再根據深度信號作為輸出，對以運動學方程為主的主回路進行設計。對所設計的系統用Nyquist法進行了理論分析，結論是這種用回路和帶寬來確定反饋增益的做法是很有效的，既能滿足深度控制的良好性能要求，又能保證姿態回路的穩定性。通過在擾動作用下的仿真對這個結論進行了驗證。所提出的這種設計的每一步都有明確的物理解釋，為狀態反饋設計提供了一種新的思路，具有推廣價值。

超空泡；超空泡航行體；反饋控制；頻域解耦；滑行力；深度控制

0 引 言

超空泡航行體作為一種自行式的水下攻擊性武器，使其快速準確的射中目標是戰爭取得勝利的關鍵。然而，水的阻力極大限制了常規水下航行體的速度。為了提高水下武器的速度，俄羅斯最先使用超空泡減阻技術研制新一代的超空泡魚雷，目前其研制的“暴風”超空泡魚雷速度可達到200 m/s以上[1]。超空泡技術的應用突破了水下武器速度的瓶頸，提高了水下武器的戰斗力，具有重大的科研意義和軍事應用前景。

在超空泡狀態下，水下航行體在阻力大幅度減小的同時，大部分表面被空泡包裹失去了水的浮力作用而容易失穩，必須通過控制來保持運動穩定性。超空泡航行體的水動力特性極其復雜，使得超空泡航行體的控制設計成為挑戰性問題。Kam[2]在關于美國海軍研究辦公室的超空泡高速航行體項目的綜述中指出：控制技術的研究是超空泡武器研制的關鍵問題之一。

近年來，國內外研究人員在超空泡流體動力學機理研究有了一定進展的情況下，對超空泡航行體的建模與控制問題進行了一系列的研究[3-4]。烏克蘭學者Savchenko[5]分析了航行體各個部分與空泡的作用關系，建立了超空泡航行體運動方程，仿真分析了超空泡航行體運動的開環穩定性，同時指出可以采用主動控制方法對超空泡航行體運動穩定性進行控制。Kirschner等[6]建立了超空泡航行體運動方程，采用四個尾翼和空化器作為控制面，設計了線性二次調節(LQR)前饋反饋控制系統，其仿真表明，采用的LQR控制可以有效保持航行體的運動穩定性。Dzielski等[7]研究了超空泡航行體的基本模型和控制問題，給出了超空泡航行體的基準參數，建立了該參數下的縱向平面的運動方程。Lin等[8]在Dzielski的研究基礎上，討論了通過調整反饋控制律比例系數來減小航行體穩態情況下的極限環震蕩[9]。Vanek等[10]的研究中還考慮了空泡的記憶效應，Mao等[11]對超空泡航行體的時滯模型進行研究，采用李雅普諾夫函數的方法，給出時滯依賴的控制設計。

在正常情況下，超空泡航行體位于空泡內部，但當垂向速度超過一定的值時，航行體的尾部就會與空泡壁碰撞產生滑行力，所產生的滑行力又將航行體推回空泡內，航行體就是以這樣的方式尾部拍打著空泡壁以速度V向前推進。由于空泡半徑很小，故在滑行力這個外脈沖擾動作用下，如果控制系統設計不當，就會導致航行體反方向沖向空泡壁的另一側，引起惡性循環造成不穩定。超空泡航行體設計的主要問題是保證在這種脈沖型的外力作用下系統具有良好的穩定性能。

本文的第一部分為超空泡航行體及其動力學模型，第二部分為其反饋控制設計，第三部分為仿真分析，最后為結論。

1 動力學模型

本文采用文獻[7]所提出的超空泡航行體的標準結構，其主體為長度1∶2的圓錐段和圓柱段組成，如圖1所示[7]。航行體長度為L，半徑為R，密度ρv=mρ，其中ρ為水的密度，m為密度比。航行體的俯仰角記為θ，俯仰角速度記為q。航行體前進速度為V，垂向速度為w，深度為z。

圖1 超空泡航行體示意Fig.1 Schematic diagram of the supercavitatingvehicle

超空泡航行體的大部分被空泡包裹，只有頭部的圓盤形空化器和部分的尾翼與水接觸產生水動力。并且當其垂向速度w增大到一定閾值時，尾部就會與空泡壁接觸產生滑行力[7]。在航行過程中，空化器和尾翼產生的水動力與滑行力共同平衡重力，并保證航行體的力矩平衡。

空化器流體動力：航行體頭部的圓盤形空化器直接與水接觸用以產生和維持超空泡，還可以偏轉一定的角度作為一個控制面產生水動力，在縱平面上其升力分量為[7]

Fcav≈Cx(αc-α)=Cxδc。

(1)

其中，

(2)

cx=cx0(1+σ)；cx0為圓盤形空化器與來流垂直時的零空化數阻力系數；σ為空化數；Rn為空化器半徑；δc為空化器偏轉角度；αc為空化器與來流形成的攻角。

尾翼流體動力：航行體的尾翼的一部分穿透空泡壁與水相接觸也產生一定的水動力，在超空泡狀態下，尾翼可以看做特殊形狀的空化器來進行水動力計算，其升力分量為[13]:

Ffin=Cfαf=-nCxαf,

(3)

(4)

其中：n為尾翼效率；αf為尾翼與來流形成的攻角；δf是尾翼偏轉角度。

滑行力：航行過程中，除了空化器和尾翼提供的水動力，航行體尾部有時與空泡壁接觸產生與航行體垂直的滑行力，其計算公式[13-14]如下：

(5)

(6)

(7)

在小角度情況下考慮運動學方程：

(8)

(9)

根據運動方程(1)～式(9)和剛體基本動力學方程，可以得到超空泡航行體四自由度運動方程

(10)

根據參數表1[7]，算得方程式(10)中的系數如下：

其中：

C=Cx；

文獻[12] 對空化器升力的計算公式提出了更正，式(10)為更正升力后推導的超空泡航行體動力學模型，與文獻中已有的模型并不完全相同。

2 反饋控制設計

2.1 控制設計思想

根據滑行力計算公式(5)，滑行力與垂向速度w的關系如圖2所示。為了具有一個可比的量綱(m/s2)，這里畫出的是滑行力乘以系數d2后的值。從圖中可見：當w超過閾值1.64 m/s后，滑行力迅速增長，達到重力加速度g的10余倍，所以垂向速度一旦超過這個閾值就會引發一個很大的反推力將航行體推回空泡內部。

圖2 垂向速度與滑行力Fig.2 Planing force vs vertical velocity

這個系統的穩定性問題的特殊性在于，因為滑行力存在著死區，在空泡內的運動是沒有滑行力的，所以將滑行力看做為外擾動，來分析無外擾下在空泡內的穩定性。當航行體尾部一旦偏移至空泡壁，就會受到一個脈沖的外擾(滑行力)，如果這時的穩定性欠佳，在這個脈沖擾動的作用下，航行體的尾部就會撞向另一側空泡壁，從而又受到反向的滑行力脈沖，如此反復上下碰撞形成惡性循環，直至運動發散。所以要求控制設計應在一兩次的沖撞后能回到正常工作狀態，這時航行體尾部僅周期性碰撞空泡下壁產生向上的滑行力(脈沖)，這個滑行力的平均值與航行體的重力相平衡，航行體微抬頭，尾部拍打空泡壁滑行前進。由于航行體的本身就具有一種弱阻尼的振蕩特性，要使這樣一個容易起振的航行體在狹小的空間內在碰撞幾次后即穩定下來便是這個控制設計需要解決的問題。

注意到式(10)所表示的是空化器轉角δc和尾翼的轉角δf的雙輸入系統，但從輸入陣的系數[0b210b41]T和[0b220b42]T來看，兩者對應的正負號均相同，且數值之間存在相似的倍數關系。故雖然尾翼對航行體的穩定性有重大作用，但對于控制系統設計，這兩者只是一個增益分配的問題，即不要使其中的一個過早地進入飽和。為了能更清楚地說明此航行體的控制設計中的特殊性以及本文的設計思想，所以文中將尾翼偏轉固定為零度，即不參與控制，這樣方便采用傳遞函數和零極點的觀點來分析討論。

不考慮外力時，式(10)就是一個線性方程。圖3為其對應的信號流圖，信號流圖清楚地表明了w和q之間的動態耦合關系。

圖3 控制系統信號流圖Fig.3 Signal-flow diagram of the system

從信號流圖3可見，狀態變量z需要通過一個積分環節才能得到。所以系統中z的變化相對于其他變量是比較慢的，故控制設計中可以將系統設想為快慢兩個回路。用一個快速的內回路將具有動態耦合的姿態回路先鎮定住，再來設計外回路，即z回路。由于z回路是個慢回路，只要考慮內回路的低頻模型即可。這種雙回路的設計思想，無論是對設計還是對系統調試都是方便的，并且有明確的物理概念。下文按照內外回路的順序來說明超空泡航行體的控制律設計。

2.2 內回路設計

圖4中的Gw(s)和Gq(s)是從輸入δc到w和q傳遞函數，根據式(10)將各系數代入后可分別求得

(11)

(12)

注意到式(12)中的符號是負的，要構成負反饋，內回路的控制器輸出加到偏轉角的符號應該取正號，即內回路的控制律為

(13)

式中

Td=kq/kθ。

(14)

根據式(12),式(13)和圖4可知,內回路的開環傳函為

(15)

從式(15)可以知道：內回路應有一個實數極點位于0到-1.317之間，這是內回路的低頻模態；內回路還有一對復數極點位于-1.547±15.521i出發的根軌跡上，這一對極點就是內回路動態部分的主導極點。上面已經指出內回路是快速回路，故這里以100 rad/s的量級來作為其主導極點。以100 rad/s這么大的數來說，根據根軌跡法的基本理論可以知道，這個內回路的根軌跡近似是以負實軸上s=-1/Td為圓心的，從復數極點出發的一個圓。圖5為取Td=0.01 s時內回路的根軌跡，圖中標記出了Kθ=30的極點-113.7±99.41i。這對極點具有足夠的阻尼，可以滿足系統的穩定性要求。

圖4 反饋控制框圖Fig.4 Block diagram of the system

2.3 外回路設計

外回路的控制對象就是圖4中所示的從u到z的G0(s)，將式(11)和式(12)代入，可得傳遞函數為

(16)

式(16)極點s=-1.303就是內回路的一個實數極點(見圖5)，代表了內回路的低頻段特性，式(16)中的復數極點s=-113.7±99.41i就是內回路的高頻模態。現在外回路是慢回路，其帶寬在10 rad/s的量級，所以當定性考慮外回路的設計時，可以忽略內回路的高頻模態，只保留其低頻模態。降階處理時系統的低頻段增益要保持不變。這樣得到降階后的外回路特性為

(17)

為使控制器結構盡可能簡單，外回路只取航行體的深度信號，并采取比例控制，即控制律為

u=-kzz。

(18)

式中kz為待設計的控制器增益，而負號表示負反饋。

圖5 內回路根軌跡圖Fig.5 Root locus of the inner loop

注意到這對復數零點與內回路設計無關。因為系統的零點是由前向通道的零點決定的。從圖4中u到z的傳遞函數構成可以看出，傳遞函數G0(s)的零點是由Gw(s)和Gq(s)的分子多項式nw和nq所決定的(參見公式(11)、(12))，而與內回路的反饋控制器參數無關。

這個容易起振的特性，在一般魚雷的深度控制中也都是存在的。魚雷和超空泡航行體不同，魚雷直接與水相接觸，所以其動力學方程是不同的，但同樣也有動力學和運動學之間的耦合問題。早期的魚雷，會因為深度控制時上下沉浮的幅度過大而從目標艦下面穿過而沒有擊中目標[15]。當然早期的控制問題中傳感器的靈敏度不高也是導致沉浮過大的一個主要原因， 但是動力學與運動學之間的耦合使深度控制容易起振是一個根本的原因。

圖6 外回路根軌跡圖Fig.6 Root locus of the outer loop

上面采用低頻模型是為了說明外回路容易起振的本質，現在來確定外回路的增益，圖7為kz=1時系統的Bode圖，當kz增加時，幅頻特性曲線將向上移動，或者說圖中的0 dB線(線1)相應的往下移，當增大到kz=15，相應的0 dB線將移至線2的位置，此時系統還能將0 dB線以上的低頻特性和0 dB線以下的高頻特性分隔開，即在頻域上是解耦的，便于保證外回路的穩定性能。當然增益小系統的穩定性能會更好，但是航行體是處在空化器升力、滑行力、及重力平衡的狀態下運行的，力平衡下的比例控制存在誤差，如果增益變小，相應的深度的靜差就會增大，有可能超出空泡的內徑使航行體脫離空泡運行，所以kz應該大一些為好。綜上所述，從Bode圖上分析，kz=15為較為合適的值。

2.4 設計的Nyquist法分析

圖8為kz=15時系統的Nyquist圖。圖中ωc是Nyquist圖線穿越單位圓時的頻率，ωc=5.55 rad/s。從圖中可見，ωc之前的特性是一種典型的具有良好性能的二階系統的特性，而俯仰角姿態回路的動態特性在本文的設計思路下已被壓縮到單位圓內，不再影響外回路的特性。由此可見，本文提出的這種用回路和帶寬來確定反饋增益的設計方法可以保證系統具有良好的穩定性能。

圖7 外回路Bode圖Fig.7 Bodediagarm of the outer loop

圖8 外回路Nyquist圖Fig.8 Nyquist diagarm of the outer loop

將上面設計的外回路控制律(式(18))與內回路控制律(式(13))合在一起，根據圖4可以得到：

δc=u+v=

-kzz+kθθ+kqq。

(19)

其中：kz=15，kθ=30，kq=0.3。即控制律為：

K=[15 0 -30 -0.3]。

(20)

從最終的控制律式(20)看，這也是一種狀態反饋，只是這里是將動力學各狀態變量之間的強耦合和動力學與運動學之間的耦合分隔開來處理而得到的控制律。雖然最終系統主導極點的阻尼較低，但這是運動學與動力學之間的耦合所造成的固有特性，與現有的控制設計無關。應該說這已是一個較為理想的設計，如果用一般的狀態反饋設計，或者說換掉式(20)中的各項系數，系統的動力學與運動學之間就會交叉影響，使原本就容易起振的系統特性更趨惡化。

3 性能的仿真分析

上文是從提高回路的穩定性的角度來設計控制律，而在實際工作情況下，有滑行力和重力的作用，下面來分析有外力作用下的系統的穩定性能。

設初始狀態為零，在本文所設計的反饋控制律(20)作用下，各個狀態變量的響應曲線如圖9所示，相對應的空化器偏轉角及滑行力如圖10所示。

圖9 系統的響應曲線Fig.9 Responses of the system

從圖中可見：在這個反饋控制作用下，航行體很快進入了小振幅的穩態運動狀態。在航行過程中，由于受到重力的作用，當垂向速度w達到產生滑行力的閾值時，尾部就會與空泡壁碰撞，所產生滑行力又將航行體“彈起”，滑行力消失，航行體受到重力的作用又會再一次與空泡壁碰撞，如此反復呈現周期性的滑水現象。

圖10 滑行力和空化器偏轉角Fig.10 Responses of the planing force and the cavitator for feedback stabilized HSSV

當航行體受到某種擾動的情況下，設這種擾動使航行體的相對速度出現了一脈沖型的波動Δw，脈沖幅度為3 m/s，延續時間為0.2 s，圖11為這個脈沖擾動下航行體的垂向速度的響應過程，圖12為其相應的空化器轉角及滑行力。

圖11 垂向速度的擾動響應Fig.11 Response of the vertical velocity under disturbance

從圖11中可見，在所設計的控制律(20)作用下，經一次反沖后系統就恢復了原來的穩態的運動狀態。這說明了設計的控制律具有良好的穩定性能，滿足設計要求。從圖12中的空化器轉角曲線可見，如果kz>15，在調節過程中，其正反向的峰值都會超過0.5 rad(圖略)，即當增益過大時執行機構很容易進入飽和區，實際上也達不到理想的效果。所以這里的仿真分析與理論的Nyquist圖(圖8)分析是一致的，即外回路的增益kz=15是一個較合理的選擇。

圖12 擾動作用下的滑行力和空化器偏轉角Fig.12 Planing force and the deflection angle of cavitator under disturbance

4 結 論

超空泡航行體的沉浮和俯仰運動之間存在著較強的動態耦合，而且航行體的動力學與運動學之間還存在著耦合。由于動力學方面的響應一般是比較快的，所以動態耦合引起的穩定性問題用姿態回路先來鎮定。運動學方面的耦合關系一般是比較慢的，可以只用內回路的低頻模型來處理外回路的設計問題。這樣的設計處理其物理概念清楚，而且每個回路設計時的階次又比較低，也便于設計。雖然這個設計結果相當于是狀態反饋，但是這里的每一個狀態反饋增益的選取都有明確的物理含義。也可以說，本文所提出的方法可以為復雜系統的狀態反饋設計提供一種新的設計思路。

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Feedbackcontroldesignforsupercavitatingvehicles

HE Zhen， PANG Ai-ping

(Department of Control and Engineering, Harbin Institute of Technology,Harbin 150001，China)

Because of the coupling effect and lightly damped dynamics of the high-speed supercavitating vehicle(HSSV), a decoupling inner-outer loop design is proposed. The pitch angle can be considered as a feedback signal of the inner loop which is used to stabilize the lightly damped mode and to decouple the vehicle dynamics from the kinematic movement. The depth signal was then used as an output for the main loop which was dominated by the kinematic equations of the vehicle. The resulting design was theoretically verified by the Nyquist theory. It is noticed that the determination of system gain by using the concepts of loops and bandwidth is proved to be useful. Simulation result for HSSV under external disturbances was presented.It is noticed that there are explicit physical meanings in each of the design steps, so the proposed method may be further used as an alternative approach for state feedback design.

supercavitation; supercavitating vehicle; feedback control; frequency domain decoupling;planing force;depth control

(編輯：劉素菊)

2017-03-08

國家自然科學基金重點資助項目(U1564207)

何 朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向為魯棒控制、H-inf控制等； 龐愛平(1986—)，女，博士研究生，研究方向為控制理論、H-inf控制、水下航行體控制與制導。

龐愛平

10.15938/j.emc.2017.08.014

TP 273

:A

:1007-449X(2017)08-0101-08