運(yùn)用行列式求解平面法向量

汪澤辰

摘 要 在求解有關(guān)立體幾何的問題時，常常要用到法向量。用法向量求解決有關(guān)二面角的問題。相比如其它方法更直接也容易下手，而在求法向量的過程中往往會出錯，因?yàn)樾枰?lián)立三元一次方程，計算量大。因此，可以用一種更為簡單且不易出錯的方法求解法向量，這便是行列式。

關(guān)鍵詞 行列式 法向量 求解

中圖分類號：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1什么是行列式？

行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式，是取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和。

對于二階和三階行列式計算比較容易，中學(xué)生通過基本定義可以快速理解。

2應(yīng)用行列式求法向量

然而行列式對于立體幾何求解法向量，可以大大的降低運(yùn)算，尤其針對動點(diǎn)問題。如下：

已知平面內(nèi)不共線的兩向量

設(shè)其法向量為，在三個方向的分項(xiàng)是為

則有：

即

3例題分析

例1：平面，是矩形，與平面所成角是，點(diǎn)下是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動，當(dāng)為何值時，二面角的大小為

分析：因?yàn)槊妫敲礊槊娴姆ㄏ蛄磕敲纯梢栽O(shè)面的法向量為，并用將表示。

解：設(shè)

以為原點(diǎn)，

為軸正方向

為軸正方向

為軸正方向

建立空間坐標(biāo)系：

解得：

例2：（2013，湖南）在直棱柱中，，，，，求直線與平面所成角的正弦值

分析：題中無虛設(shè)未知數(shù)，那么可以求出平面的法向量

解：常規(guī)解法

設(shè)是平面的一個法向量，

則 令，則

設(shè)于平面所成角為

使用行列式求解

解得法向量

評注：若與互相垂直的向量坐標(biāo)都不為0，那么運(yùn)算量不僅大，驗(yàn)算也很麻煩。若用行列式，便顯得簡潔明了，以減少計算中出現(xiàn)不必要的錯誤。endprint