三點法求最值

顧頌恩

摘 要 解決二次函數動軸定區間求解最值問題，需要對軸的位置進行多次討論，特別是針對二次函數開口未知的情況，討論起來非常復雜易錯。本文方法參考導數極值點思想：連續函數在定區間內的最值，必在極值點或者邊界點處取得。二次函數的極值點為頂點，閉區間包括兩個邊界點，討論以上三點函數取值情況，便可以了解二次函數在定區間內的最大最小值情況。故稱這一方法為“三點法”。

關鍵詞 三點法 二次函數 最值

中圖分類號：R969.1 文獻標識碼：A

例1，已知函數f（x）=ax2+（2a-1）x+1上[，2]的最大值為3，求a的值。

法一：常規討論

解： a=0∴f（x）=-x+1

∴f（x）在[，2]的最大值為

a>0，且>，時即a∈（0，），時

f（x）max=f（）=3，解得a=（舍）

a>0且<，時

即a∈（，+∞）

此時f（x）max=f（2）=3解得a=

④a<0時，>，即a∈（-∞，-1）

f（x）max=f（）=3，解得a=（舍）

⑤a<0時，，≤即a∈[-1，0）

此時f（x）max=f（）=3解得a=

綜上，a=或

諸如此類涉及多次分類討論，其復雜性不言而喻，稍有一點出錯就會導致扣分，下面使用“”“三點法”解決該題。

法二， 解假設在f（）取最大值

∴f（）=3

∴a=

對稱x0=

如圖，符合假設

∴a=成立。

假設在取最大值

f（2）=3

∴a=

對軸x0=0

如圖，符合假設

假設在f（x0）取最大值

解得：a=，x0=2

不符合假設

綜上：a=或

此方法可以迅速解出動軸空區間的問題，但它適用的條件為：已知區間為空區間 最值已知此方法成立的原理是：已知空區間和動拋物線，拋線在其空區間上，必定存在最大值與最小值，且最值的取值必為對軸橫坐標或端點橫坐標。

鞏固練習：

已知f（x）=ax2+（2a1）x3在區間[，2]上最大值為1，求實數a的值。

答案：endprint