行列式巧求平面法向量

董方翔

摘 要 在高考中，線面角，二面角問(wèn)題無(wú)疑是出題頻率最高的。解決這類(lèi)問(wèn)題最高效的解法無(wú)疑是運(yùn)用空間向量求其平面的法向量。在此筆者推廣一種新穎的巧求平面法向量的方法，即行列式巧求平面法向量。

關(guān)鍵詞 線面角 二面角 行列式巧求平面法向量

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 行列式背景及簡(jiǎn)單介紹

一階

二階

三階

四階

2 引入行列式法求法向量法

已知平面內(nèi)不共線的兩向量

設(shè)其法向量為，在三個(gè)方向的分項(xiàng)是為

則有：

即

3 典型例題

例1，在四棱錐中，底面，，，，，分別為中點(diǎn)，求面的法向量

解，以為原點(diǎn)，

為軸正方向

為軸正方向

過(guò)作底面垂線為軸正方向

建立空間坐標(biāo)系：，

設(shè)，則

法向量

在此題中，若用常規(guī)方法，則要分別用，解兩個(gè)方程來(lái)求解，其中還有參數(shù)。所以，在碰到求空間法向量，特別是平面內(nèi)向量海帶有參數(shù)時(shí)，行列式將是一種很簡(jiǎn)潔巧妙的方法。在二面角的求解中，此方法更有妙用。

例2如圖，平面，是矩形，，與平面所成角為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，

求：當(dāng)為何值時(shí)，二面角的大小為

以為原點(diǎn)，

為軸正方向

為軸正方向

為軸正方向

建立空間坐標(biāo)系：

令面法向量為

又

總結(jié)，在立體幾何中，線面角二面角問(wèn)題固然棘手，但有了此方法后，計(jì)算繁復(fù)等困擾考生的問(wèn)題便迎刃而解，更是省時(shí)省心的不二之選。endprint