關(guān)于素?cái)?shù)的兩個(gè)著名猜想的證明

相振泉王龍（西安市第68中學(xué)，陜西西安710086）

關(guān)于素?cái)?shù)的兩個(gè)著名猜想的證明

相振泉王龍
（西安市第68中學(xué)，陜西西安710086）

文章采用《新篩法導(dǎo)論》一書中區(qū)間法論的思想和《九章算術(shù)》中的“法實(shí)相推”的理論，結(jié)合同余性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法，研究了關(guān)于素?cái)?shù)的兩個(gè)著名的猜想：當(dāng)n＞1時(shí),n2和n2+n之間最少有1個(gè)素?cái)?shù)；當(dāng)n≥1時(shí)，n2和(n+1)2之間最少有1個(gè)素?cái)?shù)，文中對(duì)這兩個(gè)定理進(jìn)行了證明。

基礎(chǔ)教育成果；開區(qū)間篩法；同余性質(zhì)；數(shù)學(xué)歸納法；法實(shí)相推

這兩個(gè)著名猜想出自于文［1］。文［2］是基礎(chǔ)教育的優(yōu)秀成果。筆者認(rèn)為文［2］中開區(qū)間篩法論的思想和數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》的結(jié)合是證明這兩個(gè)猜想的關(guān)鍵；動(dòng)態(tài)的“法實(shí)相推”和“新篩法”是數(shù)學(xué)思想的重大突破，也是數(shù)學(xué)工具的重大突破。

引理1（開區(qū)間篩法第一小定理［2］）m≥8時(shí)，在開區(qū)間（m，2m）中任意整數(shù)ai滿足篩法式

引理2（帶余數(shù)除法定理［3］）如果a是整數(shù)，b是正整數(shù)，那么，有唯一的整數(shù)b，r滿足a=b×q+r，0≤r＜b，當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)，b│a。

引理3自然數(shù)階乘定理n≥8時(shí)，n!＞(3n)3。

證明：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法

Ⅰ：當(dāng)n=8時(shí)，8!==40320＞(3·8)3=13824引理成立。

Ⅱ：當(dāng)n=k(k是自然數(shù))假設(shè)引理成立。k!＞（3k）3…①，根據(jù)(3k+3)3=(3k)3+3(3k)2·3+3(3k)·9+27＜(3k)3(k+1)…②，由②結(jié)合①有(3k)3(k+1)＜k!(k+1)=(k+1)!…③由②③有（k+1）!＞(3(k+1))3也就是n=k+1時(shí)，

(k+1)!＞(3(k+1))3引理也成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法Ⅰ，Ⅱ知引理成立。

引理4（同余定理［4］［5］）b1，b2，b3，…，bk，a1，a2，a3…ak都是整數(shù)，k，m是正整數(shù)，當(dāng)b1≡a1（modm），b2≡a2（modm），b3≡a3（modm）…bk≡ak（modm），則：b1b2b3…bk≡a1a2a3…ak（modm）。

證明：定理1，用數(shù)學(xué)歸納法：Ⅰ:列表驗(yàn)證歸納

定理2n≥1時(shí)，n2和(n+1)2之間最少有1個(gè)素?cái)?shù)。

證明：Ⅰ:當(dāng)n=1時(shí)，1和4之間有2和3兩個(gè)素?cái)?shù)。Ⅱ:根據(jù)定理1知n≥2時(shí)，n2和n2+n之間間最少有1個(gè)素?cái)?shù)。又因?yàn)椋╪2,n2+n)?(n2,（n+1）2）,所以，n≥2時(shí)，n2和（n+1）2之間最少有1個(gè)素?cái)?shù)。再結(jié)合Ⅰ，當(dāng)n=1時(shí)，1和4之間有2和3兩個(gè)素?cái)?shù)。所以，當(dāng)n≥1時(shí)，n2和(n+1)2之間最少有1個(gè)素?cái)?shù)。定理2得證。

［1］胡作玄.數(shù)學(xué)考難題［M］.福州：福建科學(xué)技術(shù)出版社，2000：31-33.

［2］相振泉.新篩法導(dǎo)論［M］.西安:陜西人民出版社，2016:140-150.

［3］潘承洞，潘承彪.簡明數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1998:12，198.

［4］相振泉，王龍.莫忘基礎(chǔ)教育成果的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（9）.

［5］相振泉，王龍.新篩法及其一個(gè)例證［J］.科技展望，2016（26）.

（責(zé)任編輯：萬丙晟）