淺析數學復習中分類討論思想的滲透

樊建斌

所謂分類討論，主要指當問題所顯示的對象不能采取統一研究的方法進行解答時，根據題目給出的分類標準進行分類，再逐類討論，最后對綜合性問題做出完整解答.諸如此類先進行分類，再進行討論，把問題“分而治之，逐個擊破”的思維方式就是分類討論的思想.其實質也是一種化繁為簡、化難為易的解題策略.

在數學思維中，分類討論思想占據著較為重要的地位，影響著學生對基礎性知識的理解、對基礎性技能的掌握以及思維能力的發展、數學素養的形成等.近年來，很多中考題都以考查分類討論思想為目的，但是得分率卻相對較低.究其緣由，一是教師對學生知識的生成關注過多，缺少對解題思維的滲透；二是教師側重對題型的討論，缺少對思想方法的提煉；三是教師注重學生系統知識的積累，缺少對思想方法的歸納.下面筆者從實際課堂教學出發，淺析初三階段數學復習教學中對學生分類討論思想的培養策略.

一、了解學生的認知局限，培養學生的分類討論意識

在著名的教育、發展心理學家皮亞杰看來，學習是人們構建其內部心理表征的一系列過程，因而學習者在這一活動過程中并不是簡單地將其外部的知識“搬運”到記憶中，而是將原有的知識、經驗作為基礎，然后與外部的環境、條件發生相互作用，以此來構建屬于自己的新圖式.在進入初三的復習階段后，學生接觸的與分類討論相關的問題已經不在少數，但是仍有大部分學生缺少分類討論意識，不會運用分類討論方法.為了逐步使學生養成分類討論的意識，教師應在教學中遵循逐層遞進、適時滲透、深化漸進的原則.

（一）在思維展示中培養分類討論意識

當碰上分類討論問題時，教師應先從了解學生的基礎性認知能力入手，通過創設平臺，給足機會，引導、鼓勵學生，讓學生將解題思維過程與解題策略進行自我表述，進而使其不足與缺陷充分暴露，教師根據實際情況采取有針對性的指導措施.

例1：一個外角為110°的等腰三角形，它的3個內角應分別為多少？

這個題目看似簡單，但答案并不唯一.答案一，分別為“70°、70°、40°”；答案二，分別為“55°、55°、70°”.大多數學生通常情況下只能找到一個答案，教師要引導學生分享自己的解答思路，從中找到其個人化的不足之處，進而培養學生分類討論的能力，避免“漏解”現象的發生.

（二）在自我探究中培養分類討論意識

初三階段的課堂教學要以學生的生理、心理階段性特征、認識水平、知識結構等為基礎，促使學生在學習過程中形成自我探究的意識.

例2：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）均為y=■這一反比例函數圖像上的點，且x1>x2，那么y1與y2是什么關系？

對于這樣的題型，一般情況下，大多數學生會從“負數小于正數”入手，將x1放置在x軸的正方向上，將x2放置在x軸的負方向上，從而得到答案y1>y2.此時，只要教師提醒學生注意關鍵條件：x1>x2，學生可能馬上就會意識到其所在位置的特殊性——不確定性，發覺x1、x2的對應點可能會出現在x軸的正方向上，也可能出現在x軸的負方向上，進而提升分類討論意識.

二、正視學生的認知規律，培養學生的分類討論能力

數學教學不僅要教授學生數學知識，更要注重對學生數學思維的培養.因此在開展分類討論教學的過程中，教師應正視學生的認知規律，根據學生的實際認知能力開展教學活動，同時，教師要關注學生的知識生成與發展過程，最終培養學生的分類討論能力.

（一）確定分類的對象

當數學題中出現較為隱含的關系時，例如相等關系、不等關系，我們首先要將能確定關系的數量作為分類對象

例3：某超市自6月3日起就開始提供有償、可循環使用的環保購物袋（3種），每只的售價不同，分別為1、2、3元，每只的最大容納量分別為3、5、8千克.6月10日那天，小紅和爸爸一起在該超市購買了20千克的散裝大米，他們分別選購了環保袋，總共3只，試問他們應付多少錢于所選購的環保袋？

對于這個題目，教師可以引導學生先確定分類對象，如“選購環保袋的總數為3只”，因而可以確定的數量是3，從而可以將其確定為分類對象.類似的，若題中出現的是關于直角三角形、平行四邊形、梯形等圖形時，我們可以從其邊長或角度等入手，確定分類對象，進而確定解題思路.

（二）選擇分類的標準

確定題中的分類對象是解題的前提，那么接下來就要確定分類標準.根據問題所給的條件、所涉及的概念、結論等內容尋找題中分類的標準點.如例3中，已將環保購物袋的數量確定為3，選定分類標準：如題可知，3種購物袋的價錢分別為1、2、3元，因而可能存在①3只均為1元或2元、3元；②有2只為1元，1只為2元；③2只為1元，1只為3元；④2只為2元，1只為1元等諸多情況.

（三）推理嚴密、不重不漏

確定分類的對象、選定分類的標準之后，要完成逐類求解，需要我們密切關注題中所給的條件以及所涉及的知識點，并結合嚴密、合理的推理，做到不重不漏.

例4：兩個三角板疊放在一起，將△AOB固定，讓△ACD繞著點A順時針旋轉（α度），試問當△ACD的一邊與△AOB的一邊平行時，其角度應為多少？（0<α<180）.

大多數學生選擇借助三角板進行解題，結果往往會出現遺漏.教師可以指導學生注重審題與分析題干中的條件，例如角的范圍，進而從多角度進行討論，最終做到不重不漏.

三、對學生進行專題性、系統性訓練，提升其分類討論能力

分類思想的掌握不是一朝一夕的事，教師在教學中要重視對學生進行專題性、系統性的訓練，進而提升他們的分類討論能力.

（一）利用題中的不確定性字詞，捕捉隱含性信息

1.隱含點的不同位置

隱含點不同位置情況：（1）點 A 在 x軸上（可能在正半軸，也可能在負半軸，或在原點）；（2）拋物線與x 軸間有公共點（可能是一個，也可能是兩個）等.

2.隱含線的不同位置

隱含線不同位置情況：（1）直線平移時與⊙O相切（可能是一次，也可能是兩次）；（2）函數圖像y=ax2-ax+3x+1 與 x 軸有且只有一個交點（沒有確定是何種函數，因而可能是一次函數，也可能是二次函數）等.

3.隱含圖的不同位置

隱含圖形不同位置情況：矩形ABCD在滑動中被 x 軸分成兩部分，其面積比為 1∶4（不確定其上下兩部分的具體面積比值，可能是 1∶4，也可能是4∶1）等.

（二）借助圓規，尋找數形結合的捷徑

對于涉及到線段、角度等問題的題目，可以提倡學生借助圓規等工具進行解決.

例5：在平面直角坐標系中，△ABC為直角三角形，其中點A、點B分別為A（-4，0）、B（2，0），若點C處于y=-■x+2上，那C點的坐標是？

此題中，A、B、C三點均可能是直角的頂點，已知A、B兩點的坐標，因而可借助圓規、利用相關定義來畫圓，進而將C點坐標找出.

（三）重操作能力，降低分類討論難度

運動型、折疊型問題極易在變化的過程中產生不同的結果，因而對大多數學生而言，難度相對較高，因而更需要采取分類討論的方法.例如教師可以鼓勵學生動手剪出與題中相同的圖形后按照其運行軌道、折疊方式進行操作.雖然這一方法在實際的解題中會受到限制，卻可以激發學生的積極性，增強其討論的興趣，有利于分類討論思維的形成.

“分類討論思想”不僅考查學生數學基本知識與方法的儲備情況，也考查學生思維的深刻性，作為初中階段的引導者，教師不可輕視其重要性，以學生的實際情況為基礎，設計適宜的習題訓練，從而提高學生全面考慮問題的能力以及數學思維的周密性與嚴謹性.endprint