基于卡爾曼濾波的改進(jìn)案均賠款法

蘇瑞

【摘要】傳統(tǒng)的確定性方法對(duì)歷史數(shù)據(jù)要求較高，引入卡爾曼濾波法對(duì)準(zhǔn)備金估計(jì)方法進(jìn)行隨機(jī)化處理，估計(jì)狀態(tài)空間的轉(zhuǎn)換參數(shù)，對(duì)歷史錯(cuò)誤數(shù)據(jù)進(jìn)行一定程度的自動(dòng)修正，消除歷史錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)的影響，提高準(zhǔn)備金估計(jì)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)健性。

【關(guān)鍵詞】卡爾曼濾波 案均賠款 馬爾科夫

一、概述

未決賠款準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司責(zé)任準(zhǔn)備金中最重要的部分，也是準(zhǔn)備金精算師日常工作的主要部分。未決賠款準(zhǔn)備金作為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司財(cái)務(wù)報(bào)表中最大的負(fù)債科目，而現(xiàn)階段國(guó)內(nèi)保險(xiǎn)公司普遍存在歷史數(shù)據(jù)缺乏以及數(shù)據(jù)質(zhì)量不高的問題，因此，為了保證非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司的穩(wěn)健經(jīng)營(yíng)，提高準(zhǔn)備金估計(jì)的精確性具有非常重要的意義。

在諸多未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)的確定性方法中，案均賠款法對(duì)歷史信息的利用更加充分，包括賠款數(shù)據(jù)和案件數(shù)，但確定性方法無法判斷預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差，無法度量不確定性風(fēng)險(xiǎn)。因此，本文將卡爾曼濾波法引入到案均賠款法中，預(yù)測(cè)損失頻率和損失程度，得到未決賠款準(zhǔn)備金的動(dòng)態(tài)估計(jì)，提高估計(jì)準(zhǔn)確度，為保險(xiǎn)公司預(yù)留準(zhǔn)備金提供依據(jù)。

二、傳統(tǒng)案均賠款法

案均賠款法通過對(duì)賠款案件數(shù)和賠款金額的流量表使用鏈梯法，估計(jì)出各案件的最終案件數(shù)與案均賠款額，從而計(jì)算出最終賠款金額和未決賠款準(zhǔn)備金（IBNR）。根據(jù)是否已結(jié)案，案均賠款法分為已報(bào)案案均賠款（PPCI）法和已結(jié)案案均賠款（PPCF）法，本文只針對(duì)已報(bào)案均賠款法進(jìn)行分析和改進(jìn)。

記累計(jì)已報(bào)案賠款為Ci，j，累計(jì)已報(bào)案件數(shù)為Ni，j，首先計(jì)算已報(bào)案案均賠款Xi，j，

（2.1）

根據(jù)已報(bào)案案均賠款Xi，j計(jì)算逐年進(jìn)展因子fj及其平均值。

（2.2）

根據(jù)進(jìn)展因子即可預(yù)測(cè)已報(bào)案案均賠款流量三角形的下三角部分，再通過Ni，j利用鏈梯法預(yù)測(cè)最終案件數(shù)。兩流量三角形對(duì)應(yīng)相乘即得最終賠款，減去累計(jì)已報(bào)案賠款流量三角形的主對(duì)角線數(shù)據(jù)即得未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)。

三、基于卡爾曼濾波的案均賠款模型

卡爾曼濾波在數(shù)學(xué)上是一種統(tǒng)計(jì)估算方法，通過處理帶誤差的數(shù)據(jù)得到的物理參數(shù)的最佳估計(jì)。通過建立狀態(tài)空間模型來描述數(shù)據(jù)的狀態(tài)參數(shù)變化的關(guān)系。

設(shè)yt是包含k個(gè)變量的k×1維可觀測(cè)向量，這些變量與m×1維向量βt有關(guān)，βt即為狀態(tài)向量。（3.1）被稱為“量測(cè)方程”。

（3.1）

表示成一階馬爾科夫過程，其狀態(tài)方程如下：

（3.2）

由于馬爾科夫過程的限制，這里首先需要先將案均賠款法中的累計(jì)賠款次數(shù)和累計(jì)案均賠款金額流量三角形轉(zhuǎn)化為增量數(shù)據(jù)。

兩個(gè)流量三角形的每一個(gè)支付年都是一個(gè)時(shí)間序列，形如，增量賠款次數(shù)和增量案均賠款金額的觀測(cè)向量數(shù)列分別表示為和。

根據(jù)Evans（2017）[1]的研究結(jié)果，假設(shè)增量擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布，則損失頻率估計(jì)的量測(cè)方程為

（3.3）

其中，βt是待估計(jì)參數(shù)向量，Xt是t時(shí)刻觀測(cè)矩陣，υt是t時(shí)刻擾動(dòng)項(xiàng)。James Sullivan（2006）[2]提出賠付變量隨進(jìn)展年m服從關(guān)系（3.4）

（3.5）

則量測(cè)方程矩陣表示為

其中。

根據(jù)式（3.2）可以動(dòng)態(tài)更新β數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到累計(jì)賠款次數(shù)和累計(jì)案均賠款金額的最終估計(jì)值，最終得到未決賠款準(zhǔn)備金的最優(yōu)估計(jì)。

參考文獻(xiàn)

[1]J.Evans，F(xiàn).Schmid.Forecasting Workers Compensation Severities and Frequency Using the Kalman Filter.CAS Forum，Winter 2007：43-65.

[2]Greg Taylor，Graine Mc Guire，James Sullivan.Individual Claim Loss Reserving Condituined by Case Estimates.Taylor Fry Consulting Actuaries Paper，2006（11）：1-66.endprint