一類軸承轉子系統的全局動力學行為分析

劉熙娟，劉 云，褚衍東，郭麗峰

(1.塔里木大學信息工程學院，新疆 阿拉爾 843300； 2.蘭州交通大學數理學院，甘肅 蘭州 730070)

一類軸承轉子系統的全局動力學行為分析

劉熙娟1，劉 云1，褚衍東2，郭麗峰1

(1.塔里木大學信息工程學院，新疆 阿拉爾 843300； 2.蘭州交通大學數理學院，甘肅 蘭州 730070)

研究了一類電磁軸承轉子系統在1∶2內共振情形下的全局動力學行為.用數值仿真驗證了理論的正確性.其分析結果對抑制轉子系統的內共振運動有重要意義.

多尺度法；同宿軌道；電磁軸承轉子系統；范式理論

電磁軸承轉子屬于軸承轉子中的一類，和傳統轉子相比具有低摩擦、低功耗、非接觸等優點，因此在各個領域被廣泛應用.但隨著人們的使用，發現該類軸承轉子的運動是很不穩定的，時常有混沌現象發生，這直接影響磁懸浮軸承轉子系統的使用性能.對軸承轉子系統的動力學行為的研究，前人已做了大量工作.[1-5]本文從理論上分析了一類二自由度電磁軸承轉子系統的混沌特性，并采用數值模擬來驗證理論分析的正確性.

1 數學模型

電磁軸承轉子系統的運動方程[6]可表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 多尺度法獲得規范型

利用Taylor展開式，可得(3)與(4)式在原點處的泰勒多項式，省去高階項，有

(6)

同理，對(5)式在原點處進行Taylor展開，并保留三階項，可得其Taylor多項式

其中

(7)

其中

為了對電磁軸承轉子系統進行控制，可改變系統的剛度.比如令控制器的比例系數為k1=k0+kcosΩt，得到變剛度的轉子動力學方程.將變剛度的電磁軸承轉子系統的無量綱方程改寫為

為便于多尺度法的研究，引進小參數ε，則原系統方程可表示為

(8)

本文只考慮系統發生1∶2內共振的情形，ε為小擾動參數，共振關系為

其中σ1，σ2為調諧參數，為了方便研究取Ω=2.

(9)

ε1：

(10)

方程(9)的通解為

(11)

(12)

令

A1(T1)=x1(T1)+iy1(T1)，A2(T1)=x2(T1)+iy2(T1).

(13)

把(13)式代入(12)式，分離所得結果的實部和虛部可得直角坐標形式下的平均方程

(14)

在沒有擾動參數ε的情況下，系統(14)有零解(x1，y1，x2，y2)=(0，0，0，0)，此零解的雅可比矩陣為

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(15)

系統(15)的雅可比矩陣為

系統(15)是四階三維系統，由文獻[10]中Maple程序可得其規范型.系統(14)帶參數的規范型為

(16)

為了獲得全局分岔所需的標準型，引入線性變換

(17)

(18)

其中

(19)

此處的Hamilton函數H為

(20)

3 未擾動系統的全局分岔分析

令ε=0，得到系統(18)的未擾動方程

(21)

顯然系統的前三個方程與φ無關，I為常數，從而(u，v)平面的動力學行為與(I，φ)平面的行為是互相解耦的.(u，v)相空間中的所有平衡點可描述為

(22)

(23)

是一個二維不變流形，且由文獻 [11] 可知其為一個正規雙曲的二維不變流形，該二維正規雙曲不變流形包括三維穩定和不穩定流形，分別用Ws(M0)，Wu(M0)表示.

為分析系統(21)的異宿分岔，得到未擾動系統的異宿軌線的分析表達式

(24)

此外，常規雙曲流形M0由下面的方程決定：

(25)

(26)

4 擾動系統的全局分岔分析

本節將用到兩種不同的坐標集合(u，v，I，φ)和(u，v，h，φ).由(23)式知M0是正規雙曲不變流形，在充分可微的小擾動下，M與它的穩定流形和不穩定流形是不變的，因此M0→Mε.從而限制在Mε上的系統(18)的擾動方程可以描述為

(27)

將以上變換代入(27)式可得

(28)

令ε→0，系統(28)變為

(29)

未擾動系統(29)是帶有Hamilton函數的Hamilton系統，其Hamilton函數為

系統(29)的不動點為

(30)

對上述不動點對應的雅可比矩陣進行分析可知，p是鞍點，q是中心.于是存在一個同宿軌道連接p和它本身.根據Kovacic[11]的分析，對于充分小的參數ε，q會成為匯qε，p依然是鞍點pε.此時中心點q的周圍不存在周期軌道，連接p和p自身的同宿軌道也隨之消失，并有不穩定流形慢慢靠近qε.

(31)

由文獻[12] 可知對一個擾動系統來說，鞍焦點qε有一條同宿軌道，該同宿軌道從環形區域出發，又返回到該環形域，最后產生了Silnikov型同宿環.

為證明Silnikov型同宿軌道的存在，需分兩步驗證.[11]首先通過高維Melnikov理論找到Wu(qε)?Ws(qε)的條件，即離開qε的軌線是否會回到Aε的鄰域內.其次確定軌道是否回到Aε的吸引域里.Silnikov理論可以探測到Wu(qε)和Ws(qε)之間的距離，根據上述分析以及參考文獻中的結論，得到高維系統的Silnikov函數

(32)

其中函數H，gv，gI的表達式由(19)和(20)式給出.

對(32)式的前三項進一步簡化，最后可得Melnikov函數的表達式

(33)

為確定Silnikov型同宿軌道的存在性，首先要求Melnikov函數有一個簡單零點，即

(34)

若Wu(qε)能夠回到qε的吸引域，則需滿足

φs<φc+Δφ+mπ<φn，

(35)

其中m是整數，φs，φc，φn分別由方程(30)和(31)給出.

若(34)式存在簡單零點，則(35)式也成立.這表明系統(18)存在Silnikov型同宿軌道，即系統(18)可以產生Smale馬蹄意義下的混沌現象，這說明在整個四維系統中存在混沌運動.

5 數值仿真

選取系統的參數為W=0.0，a=0.24，P=1.1，D=0.03，μ=0.3，U=0.2，K=2.0，對方程(2)進行數值模擬，對應的相圖見圖1.

(1)x-dx相圖 (2)x-dy相圖

接下來對系統的平均方程(14)進行數值仿真，為了方便研究，這里忽略掉參數的機械意義.取系統的初值為(0.1，0.8，0.15，0.01)，其對應的相圖如圖2所示.

(1)x1-y1相圖 (2)x1-y2相圖

平均方程(14)和原系統方程(2)的數值仿真結果表明：在一定條件下，平均方程中的混沌運動導致了原系統方程中的調幅混沌運動.從理論分析和數值模擬都可以看出，利用平均方程可以定性、定量地分析原系統的混沌動力學行為.

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(責任編輯：李亞軍)

Globaldynamicsofaclassofbearing-rotorsystem

LIU Xi-juan1，LIU Yun1，CHU Yan-dong2，GUO Li-feng1

(1.College of Information Engineering，Tarim University，Aral 843300，China； 2.School of Mathmatics and Physics，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)

The internal resonance is studied by adopting the method of multiple scales and the normal form theory，and the global bifurcation dynamics of the system are obtained.This precedes a new theoretical basis in protecting the rotor from the resonant failures in the turbine machinery.

the multiple scales；homoclinic orbit；magnetic bearing rotor system；normal form theory

1000-1832(2017)03-0022-07

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.006

2015-11-03

國家自然科學基金資助項目(11161027).

劉熙娟(1988—)，女，講師，主要從事非線性動力學研究；通信作者：郭麗峰(1983—)，男，講師，主要從事混沌控制和應用研究.

O 193 [學科代碼] 110·5110

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