數形結合，建構運算律的基本模型

胡芳

[摘 要]小學階段，運算律是運算教學的難點之一，尤其是乘法分配律。教材中，簡便運算的題型與計算的練習量都偏少，通過對學生錯例的分析，給出相應的教學策略，以幫助學生掌握乘法分配律。

[關鍵詞]乘法分配律;簡便運算;數形結合;模型

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）26-0021-02

數學教材中，知識點的編排往往承襲兩個順序，一是數學知識內在的邏輯順序，二是學生認知發展的順序。人教版教材把簡便運算編排在四年級下冊，除了五條基本運算定律外，連減、連除的簡便計算及加、減、乘、除的靈活應用等相關內容也編排在同一單元。這樣的編排與系列位置效應理論是相悖的，因為心理學系列位置效應理論指出：“如果學習材料中各部分的位置不同，學習效果就不同。”乘法分配律與乘法結合律在形式上較為相似，這兩個內容的例題和引入方式也十分相似，學生在學習時會混淆是情理之中的事。

在學習完一節課的內容后，學生都能較好地理解運算定律，大部分學生還能根據運算定律舉一反三，但是在學習整個單元的內容后，學生做題時就會出現五花八門的錯誤：有的學生只是盲目地套用，沒有進行客觀的分析和思考;有的學生的簡便運算意識薄弱，不知道如何靈活運用;有的學生混淆定律，張冠李戴，對定律認識不深刻。

對此，在每個單元的學習結束后，我專門安排一節課來幫助學生糾正易錯題，我稱這樣的課為“曬錯題”課。“曬錯題”可以放大錯誤，把易錯題集中在一起，讓學生任意選擇，然后分析易錯題、尋找錯因、猜測做題者的想法，進而從根源上深刻認識運算定律的本質。

【錯例一】乘法結合律和乘法分配律的形式較為接近，相似的題型會干擾學生，導致出現負遷移。如（8×4）×125=（8×125）×（4×125）。

【錯例二】盲目運用“湊整思想”，導致學生的簡便計算意識出現混亂。如578-36+64=578-（36+64）。

【錯例三】在練習中滲透較少的定律，學生容易忽略，從而造成錯誤。如482-（82-35），去掉括號應變成482-82+35，很多學生卻寫成482-82-35;又如45+55-45+55，應該帶著符號“搬家”，變成45-45+55+55=110，但有的學生遺漏了符號，寫成45+55-45+55=100-100=0。

【錯例四】25×32×125=（25×4）+（8×125）;

27×99=27×（99+1）=27×100=2700;

25×（40+4）=25×40+4。

分析學生的表現和出錯的原因，我總結出兩點：一是學生對運算定律內涵的理解只停留在淺表層次，雖能理解但缺乏結構化的認識;二是對運算定律內涵的理解只停留在工具性理解層面，缺乏關系性的理解。

因此，在簡便運算中不能只看到“數”，只想到“算”，還要想到運算定律的本質內容。通過以形表數，讓學生觀察數與形的一一對應的關系，可促進學生認識運算律的本質。在教學中，教師要將直觀的“形”與抽象的“數”對應起來，以形表數，建構運算定律的直觀模型，是使學生最終掌握抽象運算定律的必經過程。

在教學“乘法分配律”時，我調整了原有的教學方案：先出示教材情境圖，再從現實原型出發，給出計算實例，解釋算理，然后采用數形結合的方式讓學生看圖想算式、看算式畫圖、看公式想象，從而抽象出乘法分配律的字母公式，幫助學生建立幾何模型。

題目：有25組學生參加了植樹活動，每個小組均有4個男學生和2個女學生，求一共有多少名學生參加了這次植樹活動。

方法一：（4+2）×25=6×25=150。

方法二：4×25+2×25=100+50=150。

由此可知，（4+2）×25=4×25+2×25，利用不同的算式得到相同答案直觀展示了乘法分配律的本質，教學水到渠成。

我還利用數形結合的方法滲透幾何模型的結構。

四（1）班栽樹的地點是一塊長5米、寬3米的長方形平地。請用兩種方法求這塊長方形平地的周長。

在學生得出“5×2+3×2=16”和“（5+3）×2=16”后，我要求學生指出式子中的每一步運算對應的是圖上的哪一部分，讓學生感受圖形與數的一一對應關系，這樣學生就很容易理解“5×2+3×2=（5+3）×2”的意義。隨后，我引導學生由特殊歸納出一般情況“（長+寬）×2=長×2+寬×2”，并提問：“等式的左邊乘了一個2，右邊乘了兩個2，左右兩邊還相等嗎？‘（長+寬）×2=長+寬×2錯在哪里？”很多學生都知道“（長+寬）×2=長+寬×2”不正確，但又說不出理由，這時我就用畫圖的方式引導學生找出問題所在。

在由直觀模型向符號模型轉化的過程中，教師可借助抽象程度不同的“形”引導學生一步步經歷符號化的過程，最終提取運算律的符號模型。“（長+寬）×2=長×2+寬×2”這一乘法分配律的直觀模型是建立在計算長方形周長的基礎上的，能夠培養學生構建數學模型解決問題的意識。因此，教師可進一步提問：“將長方形的長和寬分別變成a和b時，周長怎樣算？a和b可以是多少？” “如果把2改成3，兩個式子還相等嗎？”……讓學生模仿之前的模式，通過作圖證明自己的想法。

接著，借助長方形的周長與組成長方形的四條線段之間的關系推理出“（a+b）×3=a×3+b×3”。

最后，通過不斷添加線段，由形的延伸帶動數的擴張：（a+b）×4=a×4+b×4，（a+b）×5=a×5+b×5，…，（a+b）×c=a×c+b×c，即乘法分配律。

在數形結合的過程中，學生通過乘法分配律的直觀模型對乘法分配率的本質有了更深刻的理解，以后就不會犯類似“（5+3）×2=5+3×2”的錯誤了。可見，數形結合不但能幫助學生建構新知，理解運算定律的本質，還能提高學生簡便計算的技能。

從生活出發，采用數形結合的方式讓學生在腦海里構建運算定律的基本模型，那么學生對于乘法分配律的認知會更加深刻，由此構建的知識結構也更加完整，對學生的計算能力、數形結合意識、符號意識也會起到“潤物細無聲”的滲透作用。

（責編 童 夏）endprint