有關“一元二次方程”的那些錯

孫偉剛

有關“一元二次方程”的那些錯

孫偉剛

“一元二次方程”是刻畫現實世界數量關系的有效數學模型.這塊內容地位重要，向前可聯接一次方程，向后可聯接二次函數，因此在各地中考試卷中，該內容常常作為核心知識加以考查，旨在發展同學們的數學應用意識和能力，體現數學價值.

同學們，你們知道“一元二次方程”中哪些核心知識會受到命題老師的青睞和眷顧嗎？其實，考點不外乎本章的重點和難點.具體說來，理解一元二次方程有關概念，會根據不同方程的特點選擇恰當的方法解方程，會根據根的判別式判斷一元二次方程根的情況以及運用一元二次方程解決實際問題等是本章的學習重點，其中概念的準確理解、解法的靈活運用及如何綜合運用相關知識解決問題等是本章的學習難點.筆者想通過舉例予以說明，請同學們慢慢往下看，從中體會與感悟.

一、一元二次方程的有關概念

例1下列關于x的方程中，是一元二次方程的有（填序號）_______.

【考點】一元二次方程的定義.

【錯解】①②③④.

【錯因分析】首先要明確一元二次方程具有以下特點：（1）該方程為整式方程；（2）該方程有且只含有一個未知數；（3）該方程中未知數的最高次數是2.其次要知曉一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）.再次要學會判斷方法，即：要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理，如果能整理為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，則這個方程就是一元二次方程.

【正解】①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要組成部分，當a=0，b≠0時，它就是一元一次方程，因此①不能確定是一元二次方程；②該方程不是整式方程，當然就不是一元二次方程了；③符合一元二次方程的定義，因此它是一元二次方程；④該方程中未知數的最高次數是3，不是2，所以它也不是一元二次方程.綜上所述，正確答案為③.

二、解一元二次方程

例2解方程：x2=2x.

【考點】一元二次方程的解法.

【錯解】方程兩邊同時除以x，得x=2，即原方程的解為x=2.

【錯因分析】解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法.對本題來講，同學們任意選擇一種方法都是可以的（當然以恰當、簡便的方法為首選），但不管哪一種方法，其理論依據就是等式的兩條基本性質.等式的基本性質2指出，“等式兩邊同時乘（或除以）同一個不為0的數（或整式），所得的結果仍是等式”.對于本題，方程兩邊同時除以x，由于不明確這里的x是否為0，因此不滿足“等式的基本性質2”的使用條件，否則，就會出現失根現象.事實上，對于一元二次方程來說，要么沒有實數根，要么就一定有兩個實數根.因此，對于方程x2=2x的解，不可能只有x=2這一個解的情況.

【正解1】移項，得x2-2x=0，左邊分解因式，得x（x-2）=0，所以x=0或x-2=0，

解得x1=0，x2=2.

【正解2】當x≠0時，方程兩邊同時除以x，得x1=2，當x=0時，顯然能滿足方程，因此x2=0，

所以x1=2，x2=0.

三、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

例3（2016·聊城）如果關于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實根，那么k的取值范圍是_______.

【考點】根的判別式.

【錯解】方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實根，則Δ＞0，即（-3）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-

【錯因分析】解決有關一元二次方程ax2+ bx+c=0的問題，應首先考慮a≠0這一前提條件，否則，像這一題，如果k=0，方程就成為-3x-1=0，這個一元一次方程當然只有一個根，根本談不上“有兩個不相等的實根”了.然后再考慮Δ的正負情況，即當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根.因此，解這類問題的思路是：（1）二次項系數不等于0；（2）考慮Δ＞0（或Δ≥0）.

【正解】∵關于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實數根，

∴k≠0且Δ＞0，即（-3）2-4×k×（-1）＞0，

解得k＞-且k≠0.

故答案為：k＞-且k≠0.

四、運用一元二次方程解決實際問題

例4據報道，某省農作物秸稈的資源巨大，但合理利用十分有限，2014年的利用率只有40%，大部分秸稈被直接焚燒了.假定該省每年產出的農作物秸稈總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2016年的利用率提高到57.6%，求每年的增長率.

【考點】一元二次方程的應用.

【錯解】設該省每年產出的農作物秸稈總量為a，每年的增長率為x，根據題意，得

40%a（1+x+x）=57.6%a，解得x=0.22，即每年的增長率為22%.

【錯因分析】根據上述假設的未知數可知，2014年秸稈的合理利用總量為40%a，2015年合理利用總量則為40%a（1+x）.由于2016年的秸稈合理利用總量比2015年又增長x，因此2016年的秸稈合理利用總量為40%a（1+x）+40%a（1+x）x=40%a（1+x）2.一般地，有關增長率問題有正、負兩種類型：對于正的增長率問題，弄清楚增長的次數和問題中每一個數據的意義，即可利用公式m（1+x）2=n求解，其中m＜n；對于負的增長率問題，若經過兩次下降相等，則可利用公式m（1-x）2=n求解，其中m＞n.當然，還需檢驗所得方程兩根是否符合實際意義.

【正解】設該省每年產出的農作物秸稈總量為a，每年的增長率為x，根據題意，得

40%a（1+x）2=57.6%a，

解得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）.

∴每年的增長率為20%.

同學們，上述幾個問題的錯誤解法具有典型性，反映出我們對一元二次方程有關概念認識模糊或理解不深；在解一元二次方程的方法選擇上還缺乏有效性；再有，忽視了問題中的隱含條件.如有關一元二次方程的問題，不注意考慮二次項系數不等于0的情況；又如，在實際問題中，不考慮解是否符合實際背景等.希望同學們能從中吸取教訓，舉一反三，優化思維品質，從而促進思維發展.

（作者單位：江蘇省無錫市港下中學）