扎根課本借題發揮

王媛

扎根課本借題發揮

王媛

判定一條直線是圓的切線主要有以下兩種方法：與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

解題時，要根據已知條件的特征，選擇適當的判定方法.當已知直線過圓上某一點時，則作出過這點的半徑，說明直線垂直于這條半徑，即“作半徑，證垂直”；當直線與圓的公共點沒有確定時，則應過圓心作直線的垂線，說明圓心到直線的距離等于半徑，即“作垂直，證半徑”.

（蘇科版《數學》九年級上冊第67頁例2）如圖1，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由.

圖1

【分析】根據圖形我們可猜測直線AD與⊙O相切，證明直線與圓相切，已知半徑證垂直即可.

【解答】直線AD與⊙O相切.

理由：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°.

又∵∠CAD=∠ABC，∴∠CAD+∠BAC=90°，

即AD⊥AB，

∴直線AD與⊙O相切.

【變式一】（2015·武威）已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF.

（1）如圖2所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件（要求寫出兩種情況）：____________或者____________.

圖2

（2）如圖3所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎?試證明你的判斷.

圖3

【分析】第一問是例題的逆命題.要使EF成為⊙O的切線，已知半徑，添加的條件能使得半徑與EF垂直即可.第二問，將例題的條件“直徑”弱化成“弦”，如果我們將“弦”重新轉換成直徑，利用“同弧所對的圓周角相等”，就可以將這道題轉化為例題解決.

【解答】（1）∠BAE=90°；∠CAE=∠B.

（2）EF是⊙O的切線.

證明：作直徑AM，連接CM，

圖4

則∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°.

∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90°，

∴EF⊥AM，

∵AM為直徑，

∴EF是⊙O的切線.

【變式二】（2016·宿遷）如圖5，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圓.

圖5

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）當BD是⊙O的直徑時（如圖6），求∠CAD的度數.

圖6

【分析】看到要證明切線，可以“做半徑，證垂直”，或者“作垂直，證半徑”.此題通過外角性質，可將題目條件：“∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3”轉化為“∠ABC=∠CAD”，這樣第一問就轉化成變式一的第二小問，按同樣的方法可解決問題.第二問利用“直徑所對的圓周角是直角”即可解決問題.

【解答】（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖7所示.

圖7

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，

∠ADB=∠ACB+∠CAD，

∴∠ABC=∠CAD，

∵AE為⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°-∠AED，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD，

∴∠EAD=90°-∠CAD，

即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線.

（2）∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，

∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°.

教材中的例題是把我們所學的知識技能和思想方法聯系起來的一條紐帶.對一道題目進行條件變換、結論探索、逆向思考等多角度、多方位的探討，將一個題變為一類題，可以達到舉一反三、觸類旁通的目的，有利于培養同學們良好的思維品質及探索、創新的能力.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）