圓外切三角形與圓的關系

王玉珍

圓外切三角形與圓的關系

王玉珍

我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形.

三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等，都等于半徑.

我們如何運用這些知識解決問題呢？我們一起看下面這個例子.

已知1：如圖1，⊙O內切于△ABC，切點分別D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，⊙O的半徑是r.

求證：∠BOC=90°+∠BAC.

圖1

【分析】由題可知，點O是△ABC的內心，要求角的關系，聯想到“三角形的內心是三角形三條角平分線的交點”，再用前面學的角平分線的知識完成.

證明：∵⊙O內切于△ABC，

∴OB和OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

【總結】通過本小題的解答我們發現，由“⊙O內切于△ABC”得到“點O是內心”進而得到“OB和OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線”這個結論，從而解決了問題.如果我們把題目的條件改為“已知：如圖1，OB和OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線”，解題過程還是一樣的.

【拓展一】已知條件不變，求證：△ABC的面積

【分析】三角形的面積等于底乘高除以2，但題目中沒有告訴高，看到切點聯想到切線的性質“圓的切線垂直于過切點的半徑”，由“⊙O內切于△ABC”得到“點O是內心”，而內心到三角形三邊的距離相等，都等于半徑，想到把這個大三角形分成三個小三角形，進而求出三個小三角形的面積來解決.

圖2

證明：如圖2，連接OD、OE、OF、OA.

因為點D是切點，

所以OD⊥AB，

【總結】本小題考查了切線的性質和內心到三角形三邊的距離相等，利用把大三角形分成三個小三角形解決了問題.

【拓展二】已知條件不變，若∠ACB=90°，求證：

【分析】要證的結論里出現了半徑r，必然想到作輔助線：連接OE、OF，如圖3，由切線的性質得OE⊥BC，OF⊥AC，又∠ACB是直角，那么四邊形OFCE是矩形，而OF=OE=r，所以四邊形OFCE是邊長為r的正方形，由切線長定理可知，AD=AF，BD=BE，所以a+b-c=BC+ACAB=BE+CE+CF+AF-BD-AD=CE+CF=2r，整理之后即可得到答案.

圖3

這幾個問題都借助了圓的外切三角形的知識，有的問題可能只用其中的一個結論就能解決，究竟如何選擇，需要我們開動腦筋思考，前后進行聯系，這樣才能靈活運用相關知識解決問題.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）